Многогранники. Работа с многогранниками в программе Cabri 3D 10 класс

1. Многогранники. Работа с многогранниками в программе Cabri 3D

10 «а» класс (хим-био
группа)
Авторы:
Учитель математики: Луштей Татьяна Николаевна
Учитель информатики: Романова Марина Игоревна
2014 г.

2.

3. «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины

различных наук».
Л. Кэрролл

4.

Цели создания
проекта:
Обучающая цель: Закрепить понятие о выпуклых многогранниках, их
некоторых свойствах, выработка навыков решения задач на построение
сечений многогранников в программе Cabri 3D, показать связь
математики и информатики с жизнью. Повторение формул для
вычисления площадей геометрических фигур, площадей поверхностей
многогранников; привитие практических навыков решения заданий ЕГЭ;
умения работать в программе Cabri 3D.
Развивающая цель: формирование компетентности в сфере
самостоятельной познавательной деятельности, навыков
самостоятельной работы с большим объёмом информации,
формирование навыков работы в команде, развитие творческих
способностей личности, умений сравнивать, выявлять закономерности;
развитие логического мышления, памяти и математической речи;
графической культуры.

5. Задачи нашего проекта:

Обобщение и систематизация знаний
Расширение спектра задач, доступных учащимся
Формирование у учащихся устойчивого интереса
к геометрии и информатике, выявление
способностей учащихся к данным предметам
Ориентация на профессию, существенным
образом связанную с математикой и
информатикой, подготовка к сдаче ЕГЭ и
обучению в ВУЗе

6. Наглядная топология как средство познания реального мира

Понятие поверхности
Аналитическое задание поверхности
Параметрические уравнения
Примеры гомеоморфных
поверхностей

7. Ход работы:

На уроках геометрии ознакомились с
многогранниками
Изготовили модели правильных
многогранников
Составили и решили задачи разного
типа на тему «Многогранники»
Разделились на 4 группы:

8. 1 группа «Призмы»

Создать презентацию на повторение
данной темы: определение призмы, виды
призм, элементы призмы, формулы для
вычисления площади поверхности
призмы (боковой и полной)
Научиться строить призму в программе
Cabri 3D
Составить и решить 3 задачи на
применение формул для вычисления
площади призмы, изготовить модель
фигуры.

9.

10.

: основания – равные n – угольники,
лежащие в параллельных
плоскостях, боковые грани –
параллелограммы.
Наклонная – боковые грани – параллелограммы.
HH1 – высота призмы
AH (k) – боковое ребро призмы
H
k
M
N
P
F
D
A
FMNPD – сечение, перпендикулярное
боковому ребру
H1
Sбок. Pсеч. k
Sп.п. Sбок. 2Sосн.
V Sсеч. k

11.

Прямая призма – боковые грани – прямоугольники.
все грани - квадраты
V a
а
d
3
H
а
d 3 a
2
а
V Sосн. H
Lкаркаса 12 a
Sбок. Pосн. H
S п.п. 6 a
2
2

12.

D1
A1
C1
Дано:
ABCDA1D1C1D1-прямая призма,
AA1=10 см, AB=6см, BC=8см.
Найти:
Площадь АА1С1С
B1
D
C
A
B

13.

Решение:
Диагональные сечения данной призмы равны, так как равны диагонали
основания и боковые ребра.
Диагональное сечение АА1С1С-прямоугольник. Сторона АС есть диагональ
основания ABCD. Из прямоугольного тр-ка АВС по теореме Пифагора
АС= 6^2 + 8^2= 10 см. Поэтому
Saa1c1c=10*10=100 см^2
Ответ:100см^2

14.

Диагональ куба равна .
Найдите его объем.
Решение:
Диагональ куба в раз
больше его
ребра. Получим, что ребро равно a=
Тогда объем куба V= a3 = 8
Ответ: 8

15. 2 группа «Пирамиды»

Создать презентацию на повторение
данной темы: определение пирамиды,
виды пирамид, элементы пирамид,
формулы для вычисления площади
поверхности пирамиды (боковой и
полной).
Научиться строить пирамиду в
программе Cabri 3D
Составить и решить 3 задачи на
применение формул для вычисления
площади пирамиды, изготовить модель
фигуры.

16.

17.

– это многогранник, состоящий из nугольника А1А2А3...Аn (основание) и n
треугольников (боковые грани),
имеющих общую вершину (Р).
РА1; РА2; РА3; ... ; РАn –
боковые ребра
Р
А1А2; ... ;А1Аn –
ребра основания
h
А3
А2
А1
РH – высота
пирамиды - h
S п.п. Sбок. Sосн.
H
Аn
1
V S осн. h
3

18.

• основание
– правильный многоугольник, вершина
проецируется в центр основания;
• боковые ребра – равны;
• боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
H – высота, h – апофема
1
S бок. Pосн. h
2
H
S п.п. Sбок. Sосн.
h
1
V S осн. h
3

19.

Правильная треугольная пирамида
H – высота, h – апофема
AB = BC = AC = a
S
1
DO AD
3
h
B
H
D
O
S бок.
S п.п.
AO
3
a h
2
3
a2 3
a h
2
4
A
a
C
2
AD
3
1 a2 3
V
H
3
4

20.

Правильная четырехугольная пирамида
h – апофема,
H – высота,
а – сторона основания
AB = BC = CD = DA = a (в основании – квадрат)
К – середина DC
P
1
OK a
2
h
H
S бок.
B
C
a
К
O
A
a
D
BD a 2
1
4a h 2 a h
2
S п.п. a 2 2 a h
1 2
V a H
3

21.

PA1A2…An – произвольная
пирамида
P
||
B2
B1
A2
B3
O
β – секущая плоскость,
Bn
H
A3
α
PB1B2…Bn – пирамида
B1B2…Bn – верхнее основание
A1A2…An – нижнее снование
A1B1B2A2; …; AnBnB1A1 –
боковые грани – трапеции
O1
A1
α – плоскость основания
β
An
A1B1; A2B2; …; AnBn –
боковые ребра
OO1= H – высота
Sп.п. Sбок. Sв.осн. S н.осн.
1
V H ( S в.осн. S н.осн. S в.осн. S н.осн. )
3

22.

Правильная треугольная усеченная пирамида –
боковые грани – равные между собой равнобокие трапеции.
Δ ABC и Δ A1B1C1 –
B1
равносторонние
OO1 = H – высота
a
A1
O
K
C1
H
B
h
КК1 = h – апофема
Pн.осн. 3 b
Pв.осн. 3 a
S в.осн.
b
O1
A
C
K1
a2 3
4
S бок.
b2 3
S н.осн.
4
1
h ( Pв.осн. Pн.осн. )
2
S бок.
3
h ( a b)
2
1
a 2 3 b2 3 a b 3
1
a 2 3 b2 3
a 2 3 b2 3
V H (
)
V H (
3
4
4
4
4
3
4
4
4

23.

Правильная четырехугольная усеченная пирамида –
боковые грани – равные между собой равнобокие трапеции.
A1
a
B1
O1
ABCD и A1B1C1D1 –
квадраты
C1
D1
K1
OO1 = H – высота
KK1 = h – апофема
Pн.осн. 4 b
Pв.осн. 4 a
h
H
B
C
b
K
O
A
D
S в.осн. a 2
S бок.
S н.осн. b 2
1
h ( Pв.осн. Pн.осн. )
2
Sбок. 2 h (a b)
S п.п. a 2 b 2 2 h ( a b)
1
V H (a 2 b 2 a 2 b 2 )
3
1
V H ( a 2 b 2 a b)
3

24.

Задача 1.
Основанием пирамиды служит квадрат, две боковые грани
этой пирамиды перпендикулярны к плоскости её основания,
две другие её боковые грани образуют с плоскостью основания
равные двугранные углы, каждый из которых равен 300 .
Высота пирамиды равна
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

25.

Задача №2.
Высота и сторона основания
правильной четырехугольной
пирамиды соответственно равны 24
и 14. Найдите апофему пирамиды.

26.

Решение.
Поскольку пирамида правильная, то в ее
основании лежит правильный
четырехугольник - квадрат. Кроме того,
высота пирамиды проецируется в центр
квадрата. Таким образом, катет
прямоугольного треугольника, который
образован апофемой пирамиды, высотой и
отрезком, их соединяющим, равен
половине длины основания правильной
четырехугольной пирамиды.
Откуда по теореме Пифагора длина
апофемы будет найдена из уравнения:
72 + 242 = x2
x2 = 625
x = 25
Ответ: 25 см

27. 3 группа «Правильные многогранники»

Создать презентацию на повторение
данной темы: определение правильных
многогранников, виды правильных
многогранников,свойства
многогранников,объяснение
ограниченного количества видов
правильных многогранников.
научиться строить развертку данной
фигуры в программе Cabri 3D
составить и решить 3 задачи на данную
тему, изготовить модель фигуры.

28.

29.

Платон
Учение о правильных многогранниках изложил в
своих трудах Платон. С тех пор правильные
многогранники называют Платоновыми телами.
Существует пять видов правильных
многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб),
октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

30.

Многогранник- это поверхность,
составленная из многоугольников и
ограничивающая некоторое
геометрическое тело.

31.

Выпуклый многогранник называется
правильным, если его грани являются
правильными многоугольниками с одним и тем
же числом сторон и в каждой вершине
многогранника сходится одно и тоже число
ребер.
Правильные многогранники еще называют
Платоновыми телами.
Существует пять правильных
многогранников: 1)тетраэдр, 2)куб, 3)октаэдр,
4)икосаэдр, 5)додекаэдр.

32. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.

Все эти типы многогранников были известны в
Древней Греции. Этим красивым телам посвящена
XIII книга «Начал» Евклида. Их называют еще
телами Платона. Они занимали видное место в его
идеалистической картине мира. Четыре из них
олицетворяют в ней четыре «сущности», или
«стихии»: тетраэдр - огонь, икосаэдр - воду, куб - землю,
октаэдр - воздух. Додекаэдр воплощал в себе «все
сущее»,символизировал все мировоззрение, почитался
главнейшим.

33. ТЕТРАЭДР.

«Тетраэдр» в дословном
переводе с греческого
языка означает
«четырехгранник.»У
правильного тетраэдра
грани - правильные
треугольники; в каждой
вершине сходится по
три ребра. Тетраэдр
представляет собой
треугольную пирамиду, у
которой все ребра
равны.

34. ГЕКСАЭДР.

«Гексаэдр» в переводе с
греческого языка
означает
«шестигранник». У
куба все грани квадраты; в каждой
вершине сходится по
три ребра . Куб
представляет собой
прямоугольный
параллелепипед с
равными ребрами.

35. ОКТАЭДР.

«Октаэдр» в переводе с
греческого языка
означает
«восьмигранник».
Уоктаэдра грани правильные
треугольники, но в
отличие от тетраэдра
в каждой его вершине
сходится по четыре
ребра.

36. ДОДЕКАЭДР.

«Додекаэдр» в переводе с
греческого языка
означает
«двенадцатигранник».
У додекаэдра грани правильные
пятиугольники. В
каждой вершине
сходится по три
ребра.

37. Многогранники в ювелирном деле

38. Многогранники в архитектуре

39. 4 группа «Построение сечений многогранников»

Создать презентацию на повторение
данной темы: определение сечения,
правила их построения
Научиться строить сечения
многогранников в программе Cabri 3D
Составить и решить 3 задачи на
построение сечений.

40.

41. Определение сечения.

• Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе
стороны от которой имеются точки данного многогранника.
• Секущая
плоскость пересекает грани многогранника по
отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются
эти отрезки, называется сечением многогранника.

42.

43.

44.

45.

46.

Задача 1. Построить сечение плоскостью, проходящей
через данные точки D, Е, K.
Построение:
S
1. DE
2. ЕК
3. ЕК ∩ АС = F
4. FD
5. FD ∩ BС = M
6. KM
DЕKМ – искомое сечение
E
K
А
M
D
В
С
F

47.

Задача 2.
Постройте сечение тетраэдра
ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є
ВС , М є АДВ, N є ВДС.
D
Решение
1. М → М1 , N → N1
2. Х = NМ ∩ N1 М1
3. R = КХ ∩ АВ
4. RL = α ∩ АВД,
М є RL
А
5. КР = α ∩ ВДС,
N є КР
6. LP = α ∩ АДС
7. RLPK - искомое
сечение
L
M
P
N
С
K
R
В