Математика. Задачи. Лекция 12

1. Математика

Лекция 12

2.

Пример. Решить задачу Коши для уравнения у'''−у"=ех
при начальных условиях у(0) = 1, у'(0) = у"(0) = 0.
2

3.

Пример. Решить задачу Коши для уравнения у'''−у"=ех
при начальных условиях у(0) = 1, у'(0) = у"(0) = 0.
3

4.

Метод подбора частного решения НЛДУ
с п/к по виду правой части
Пусть L[y] = f(x) – НЛДУ с п/к,
где
– квазиполином,
причём , R,
– многочлены.
4

5.

Тогда частное решение НЛДУ ищется в виде
где , – известные числа,
– многочлены
степени k = max(m, n) с неопределёнными
коэффициентами, которые находятся из данного
дифференциального уравнения;
r − кратность корня + i среди корней
характеристического уравнения ОЛДУ с п/к
соответствующего НЛДУ (показывает сколько раз
число + i совпадает с корнем характеристического
уравнения λ).
5

6.

Рекомендации к подбору частного решения НЛДУ
сведены в таблицу
№
1
Свойство
j
f ( x)
числа
0 { }
k 0
y ( x) Pn ( x)
0 { }
n
Pn ( x) ak x
Вид y ( x)
k
0
и
является
k кратным
y( x) Pn ( x) x k
корнем
6

7.

Рекомендации к подбору частного решения НЛДУ
сведены в таблицу
y( x) Pn ( x) e x
{ }
{ }
Pn ( x) e x
–
кратный
k-
y( x) Pn ( x) e x x k
корень
7

8.

Рекомендации к подбору частного решения НЛДУ
сведены в таблицу
j { }
Pn ( x) cos x
или
Pn ( x) sin x
y( x) Pn ( x) cos x Qn ( x) sin x
j { }
j
j
–
k-
y( x) ( Pn ( x) cos x Qn ( x) sin x) x k
кратный
корень
8

9.

Рекомендации к подбору частного решения НЛДУ
сведены в таблицу
y( x) e x [ Pn ( x) cos x Qn ( x) sin x],
n
n
где Pn ( x) ak x , Qn ( x) bk x k ,
k
j { }
e x Pn ( x) cos x
или
e Qn ( x) sin x
x
k 0
k ak , bk
j
k 0
неопределённые
коэффициенты
j { }
и
является y( x) e x [ Pn ( x) cos x Qn ( x) sin x] x k
k -кратным
корнем
9

10.

Пример. Решить уравнение у'''−у"=ех.
10

11.

Пример.
11

12.

Теорема (о суперпозиции решений)
Пусть Ln[y] = f1(x) + f2(x).
Функция y1(x) – решение НЛДУ Ln[y] = f1(x),
y2(x) – решение НЛДУ Ln[y] = f2(x).
Тогда y1(x) + y2(x) – решение НЛДУ Ln[y] = f1(x)+f2(x).
(Доказательство состоит в проверке того, что функция
y1(x) + y2(x)– решение исходного НЛДУ.)
Эта теорема справедлива и для большего количества
функций fi (x) (i = 1,…,n).
12

13.

Пример. y ўўў- y ўў= x - 1 + 2 Чcos x + e x . Решить задачу
Коши при начальных условиях у(0)=0, у'(0)=у"(0)=1.
13

14.

14

15.

15

16.

Интегрирование ЛДУ с переменными
коэффициентами, сводящееся к ЛДУ с постоянными
коэффициентами
Рассмотрим уравнение Эйлера
С помощью подстановки х = еt уравнение Эйлера
приводится к ЛДУ с постоянными коэффициентами.
16

17.

Рассмотрим на примере уравнения 2го порядка:
Заменяем х = еt. Тогда
ytt y x x t y xx xt x y x xt
y xx x 2 y x x y xx x 2 yt
Подставим эти значения в уравнение Эйлера:
ytt y xx x 2 yt ytt yt y xx x 2
и получим ЛДУ с постоянными коэффициентами.
17

18.

Пример 1. Решить уравнение
18

19.

Пример 2. Решить уравнение
19

20.

20