Решение квадратных уравнений

1. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

"Решение квадратных уравнений", алгебра 8 класс.
Презентация может быть использована при организации
обобщающего повторения по названной теме, а также
для подготовки обучающихся к итоговой аттестации. В
презентации дана классификация квадратных уравнений,
способы решения квадратных уравнений, решение
биквадратных уравнений.
Атабиева Мадина Ибрагимовна,
учитель математики
МБОУ Лицей№7

2. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫХОД
КЛАССИФИКАЦИЯ
СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ
БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

3. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи,

связанные нахождением площадей земельных
участков и с земляными работами военного
характера, а также с развитием астрономии и
самой математики. Квадратные уравнения
умели решать около 2000 лет до н.э.
вавилоняне. Применяя современную
алгебраическую запись, можно сказать, что в
их клинописных текстах встречаются, кроме
неполных, и такие, например, полные
квадратные уравнения.

4. КЛАССИФИКАЦИЯ

ПОЛНЫЕ
КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ВЫХОД
НЕПОЛНЫЕ
КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ПРИВЕДЕННЫЕ
КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ

5. ПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнение вида ax 2 bx c o , где хпеременная, a, b и с – некоторые числа, причем
нa 0 называют квадратным.
а – первый коэффициент
b – второй коэффициент
с – свободный член уравнения
Например:
4x2 6x 3 0
ВЫХОД

6. НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Если в уравнении ax 2 bx c o хотя
бы один из коэффициентов b или с
равен нулю, то такое уравнение
называют неполным квадратным
уравнением.
2
Если b =0 , то ax c 0
Если с=0 , то ax 2 bx 0
Например: 1.
2.
ВЫХОД
5 x 2 18 0
3x 2 x 0

7. ПРИВЕДЕННЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Квадратное уравнение, в котором первый
коэффициент равен 1, называют
приведенным квадратным уравнением.
Например:
ВЫХОД
x2 7x 9 0

8. СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ

ПОЛНЫЕ
КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ВЫХОД
НЕПОЛНЫЕ
КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ПРИВЕДЕННЫЕ
КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ

9. СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ ПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

ax bx c 0
2
ax 2kx c 0
2
ВЫХОД

10. СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ

ax bx 0
2
ВЫХОД
ax c 0
2

11. СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ ПРИВЕДЕННЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ КОРНЕЙ
КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
ИСПОЛЬЗУЯ ТЕОРЕМУ ВИЕТА
ВЫХОД

12.

13.

ax bx c 0
2
Выражение D b 2 4ac называют дискриминантом
квадратного уравнения
ax bx c 0
2
1. Если D>0, уравнение имеет два корня:
b D
x2
2a
2. Если D=0, то уравнение имеет один корень:ПРИМЕР 1
b D
x1
2a
b
x
2a
3. Если D<0, то уравнение корней не имеет.
ВЫХОД
ПРИМЕР 2
ПРИМЕР 3

14.

ax 2kx c 0
2
D1 k ac
2
Если D>0, то уравнение имеет два корня:
k D1
x1
a
k D1
x2
a
Если D=0, то уравнение имеет один корень:
k
x
a
Если D<0, то уравнение корней не имеет.
ВЫХОД
ПРИМЕР 4
ПРИМЕР 5
ПРИМЕР 6

15. ПРИМЕР 1

55xx22 99 xx
22 00, ,
DD bb22
4acac 9922
4 55 (( 22) ) 121
121
4
, ,
DD 00,,
9 121
121 9
9 11
11 1 1
, ,
xx1 1
2 55
1010
5 5
99
121
9 9 11
121
11 2
x
x 1 2
10
2
2
5
2 5
10
11
Ответ :: xx1 , ;x2x 2 . 2 .
Ответ
1
2
5
5
ВЫХОД

16. ПРИМЕР 2

5 x 7 x 2,45 0,
2
D b 4ac ( 7) 4 5 2,45 0,
2
D 0,
7
x
0,7
2 5
Ответ : x 0,7.
ВЫХОД
2

17. ПРИМЕР 3

x 3 x 4 0,
2
D b 4ac ( 3) 4 1 4 7,
2
2
D 0,
корней нет
Ответ : корней нет.
ВЫХОД

18. ПРИМЕР 4

x 2 x 48 0,
2
D1 k 2 ac 12 ( 48) 49,
D1 0,
1 49
x1
6,
1
1 49
x2
8
1
Ответ : x1 6; x2 8.
ВЫХОД

19. ПРИМЕР 5

0,25 x 2 2 x 4 0,
D1 k 2 ac 12 ( 0,25) ( 4) 0,
D1 0,
1
4
x
0,25
Ответ : x 4.
ВЫХОД

20. ПРИМЕР 6

2 x 2 x 14 0,
2
D1 k 2 ac ( 1) 2 2 14 27,
D1 0, корней нет
Ответ : корней нет.
ВЫХОД

21. ЕСЛИ С=0

Такие уравнения решают разложением
левой его части на множители:
x 0
или
ax b 0,
ax b,
b
x
a
ВЫХОД
ПРИМЕР 8

22. ЕСЛИ b=0

ax 2 c 0,
ax
x
2
2
c,
c
,
a
Если c 0 , то уравнение имеет два корня:
a
c
c
x2
x1
a
a
c
Если 0 , то уравнение корней не имеет.
a
ВЫХОД
ПРИМЕР 7

23. ПРИМЕР 7

0.5 x 2 18 0,
0,5 x 18,
2
x 36,
2
x1
36 ;
x1 6;
x2 36 ,
x2 6
Ответ : x1 6; x2 6.
ВЫХОД

24. ПРИМЕР 8

8 x 2 7 x 0,
x (8 x 7) 0,
x 0
или
8 x 7 0,
8 x 7,
7
x
8
7
Ответ : x1 0; x2 .
8
ВЫХОД

25. ТЕОРЕМА ВИЕТА

Теорема Виета: сумма корней квадратного
уравнения равна второму коэффициенту, взятому с
противоположным знаком, а произведение корней
равно свободному члену.
2
Если x1 и x-корни
уравнения
,
то
x
px
q
0
2
x1 x2 p
x1 x2 q
Из теоремы Виета следует, что если x1 и x2- корни
уравненияx 2 bx c 0 , то
ВЫХОД
b
x1 x2
a
c
x1 x2
a

26. БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнение вида ax bx c 0 (a 0)
где х-переменная, а, b и с – некоторые
числа, называют биквадратным
уравнением.
4
2
Например: 3x 4 5 x 2 8 0
ВЫХОД
ПРИМЕР9

27. ПРИМЕР 9

9 x 4 10 x 2 1 0
Введем новую переменную
x2 y
Получим квадратное уравнение
с переменной у : 9 y 2 10 y 1 0
Решив его, найдем, что
Значит, x 2
1
9
или
y1
1
; y2 1
9
x2 1
1
1
1
находим, что x1 ; x2
3
3
9
Из уравнения x 2 1 находим, что x3 1; x4 1
Из уравнения x 2
1
1
Ответ : x1 ; x2 ; x3 1; x4 1.
3
3
ВЫХОД