Квадратные уравнения

1. Квадратные уравнения

2.

Цели:
1.Систематизация знаний по теме
«Квадратные уравнения»;
2.Развитие интереса к предмету.
Задачи:
1.Знать определение квадратного
уравнения, типы, методы решения;
2.Понимать отличительные
особенности квадратных уравнений;
3.Применять полученные знания при
решении рациональных, иррациональных
уравнений, сокращении дробей, решении задач.

3.

Квадратные
уравнения
умели решать
около 2000 лет
до н. э.
вавилоняне.

4.

ДИОФАНТ
‫ ‬В арифметике Диофанта
отсутствуют понятие
отрицательного числа и общие
методы решения квадратных
уравнений.
325 – 409 г.г. по Р. Х.
знаменитый
александрийский
математик.
‫ ‬При составлении уравнений
Диофант для упрощения
решения умело выбирает
неизвестные.

5. Задача Диофанта

Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а
произведение — 96.
Предположим, что искомые числа равны:
ПРОТИВОРЕЧИЕ
С
УСЛОВИЕМ!!!

6.

Если эти числа не равны, тогда
одно из этих чисел будет больше половины их суммы,
т. е. (10 + х),
другое же меньше, т. е. (10 – х).
Разность между ними 2х.
Отсюда уравнение:
(10+x)(10—x) =96,
100 —x2 = 96.
x2 - 4 = 0
х=2
Одно из искомых чисел равно 12, другое 8.
Решение х = - 2 для Диофанта не существует, так как
греческая математика знала только положительные
числа.

7.

Интересные способы решения
квадратных уравнений
встречаются в трудах индийского
ученого Бхаскары
(600 – около 680г.г.).
И арабского ученого
Ал – Хорезми
(780 – около 850г.г.)

8. Задача знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:

Определение квадратного
уравнения
Квадратным уравнением
называется уравнение вида
ax bx c 0,
2
где коэффициенты a,b,c-любые
действительные числа, причем
a 0.

9.

Определение корня
• Корнем квадратного уравнения
ax bx c 0
2
называют такое значение переменной х,
при котором квадратный трехчлен
2
ax bx c обращается в нуль;

10.

Типы квадратных
уравнений
• полные
b 0, c 0
• неполные
а) b 0
б) c 0
в) b 0; c 0

11.

Данные уравнения разбейте на
полные и неполные:
a)9х2=0;
б)3x+ x2+1=0;
в)2x2-32=0;
г) x2+4x=0;
д)2х2+5х-7=0;
е)12-х2+3х=0.

12. Определение корня

полные:
б) 3х+х2+1=0;
д)2х2+5х-7=0;
неполные:
а) 9х2= 0;
в) 2х2-32=0;
г) х2+4х=0.
е)12-х2+3х=0.

13. Типы квадратных уравнений

Способы решения неполных
квадратных уравнений
b=0
ax 2 c 0
c
2
x
a
с
если 0, то
а
c
x1, 2
a
c=0
ax 2 bx 0
x (ax b) 0
b
x 0 или x
a
b=0;c=0
ax 0
2
x 0
x 0
2

14.

Решите уравнения:
x1 3; x2 3
a) x 9;
2
б )10 x x 0;
x1 0; x2 10
в )2 x 8 0;
x1 2; x2 2
г )3x 27 0.
корней
нет
2
2
2

15.

Формулы корней полного
квадратного уравнения
D b 2 4ac
D 0
D 0
D 0
Корней
нет
Один
корень
Два корня
b
x
2a
b D
b D
x1
; x2
2a
2a

16. Способы решения неполных квадратных уравнений

Формула четного
коэффициента
b=2k
k k ac
x1, 2
a
a=1
2
x1, 2 k k c
2

17. Решите уравнения:

Теорема Виета
x1 , x2 - корни квадратного уравнения
b
x1 x2
a
c
x1 x2
a
a 1
x1 x2 b; x1 x2 c

18. Формулы корней полного квадратного уравнения

1.Найдите корни квадратного уравнения,
не используя формулы корней:
а ) x 2 5 x 6 0;
x1 2; x2 3
б ) x 3 x 4 0;
x1 4; x2 1
в ) x 2 5 x 10 0.
Корней нет
2
2.Составьте приведенное квадратное
уравнение, корнями которого являются
числа 3 и -7:
x 2 4 x 21 0

19. Формула четного коэффициента

Применение квадратных
уравнений
-решение рациональных уравнений;
-решение иррациональных уравнений;
-решение задач;
-разложение квадратного трехчлена на
множители;
-сокращение дробей.