Задание на исследование функции с помощью производной. ЕГЭ. Задание В14

1.

ЕГЭ 2012
Задание В14
Автор: Богомолова О.М.
учитель математики
МОУ СОШ № 6 г. Шарья
Костромской области
© Богомолова ОМ
1

2. Задание В14

Тип задания: Задание на исследование функции с
помощью производной
Характеристика задания: Задание на вычисление
с помощью производной экстремума данной
функции или наибольшего (наименьшего)
значения данной функции на заданном отрезке
Комментарий: Решение задачи связано с
нахождением при помощи производной точек
максимума (минимума) заданной функции или
ее наибольшего (наименьшего) значения на
отрезке. Если функция задана формулой, то при
нахождении
наибольшего
(наименьшего)
значения
функции
на
отрезке
можно
использовать стандартный алгоритм
© Богомолова ОМ
2

3. Таблица производных

Функция
Производная
Функция
Производная
С (с – const)
xn
lnx
ax
ex
0
nxn-1
1/x
ax ·lna
ex
sinx
cosx
tgx
ctgx
logax
cosx
- sinx
1/cos2x
-1/sin2x
1/x·lna
© Богомолова ОМ
3

4. Правила вычисления производных

(f(x)+g(x))´=f´(x)+g´(x)
(f(x)-g(x))´=f´(x)-g´(x)
(f(x)·g(x))´=f´(x)·g(x)+f(x)·g´(x)
(f(x)/g(x))´=(f´(x)·g(x)-f(x)·g´(x))/g2(x)
(f(g(x))´=f´(g(x))·g´(x)
© Богомолова ОМ
4

5. Алгоритм отыскания наибольшего (наименьшего) значения функции на заданном отрезке

1.
2.
3.
4.
5.
Найти производную функции
Найти значения х, при которых производная
равна нулю
Выбрать из значений х, найденных в п.2 те,
которые принадлежат заданному отрезку
Вычислить значения функции на концах
заданного отрезка и в точках, определенных в
п.3
Выбрать наибольшее (наименьшее) значение
функции
© Богомолова ОМ
5

6.

1. Найти наименьшее значение функции
на отрезке [-9; -7]
Решение
© Богомолова ОМ
Ответ: 0
6

7.

2. Найти наименьшее значение функции
на отрезке [0; π/2]
Решение
© Богомолова ОМ
Ответ: -15
7

8.

3. Найти наибольшее значение функции
на отрезке [0; π/2]
Решение
© Богомолова ОМ
Ответ: 3
8

9.

4. Найти наибольшее значение функции
на отрезке [-4; -1]
Решение
Ответ: -6
© Богомолова ОМ
9

10.

5. Найти точку минимума функции у = х – 5lnх
Решение
В точке х = 5 производная меняет знак с + на -.
Значит х = 5 – единственная точка минимума
Ответ: 5
© Богомолова ОМ
10

11.

6.
Найти
наибольшее
значение
у = 5 – 7х + 7ln(х + 3) на отрезке [-2,5; 0]
функции
Решение
© Богомолова ОМ
Ответ: 19
11