Угловой коэффициент прямой

1.

2. Угловой коэффициент прямой.

Прямая проходит через начало
координат и точку Р(3; -1).
Чему равен ее угловой
коэффициент?
k tg
у kх b
у kх
1 3k
1
k
3

3. Найдите угловые коэффициенты прямых:

k tg
2
1
4
1
2
3
3
4
k 0,5
k 3
k 0
k 1

4. Касательная к кривой.

5.

При х 0 угловой коэффициен т секущей к угловому
коэффициен ту касательной.
y
y kx b
Р1
k – угловой
y
коэффициент прямой
y
y
Р
0
х0
х 0
x
х
y
k tg lim
x 0 x
х
k f ( x0 )
Касательная есть предельное положение секущей.

6. Касательная к кривой.

Р1
Р
α

7.

y
k – угловой
коэффициент
прямой(касательной)
y
0
х0
х0 h
х
Геометрический смысл производной
Значение производной функции в данной точке равно угловому
коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в
этой точке.

8.

90 k 0
90 k 0
o
o
0 k 0, касательная параллельна ОХ
o
у
х1 х3
х2
х

9.

Нахождение производной.
y
f ( x) lim
x 0 x
у f ( х х) f ( х)
f ( x) С
f ( x х) С
у С С 0
0
С lim
0
x 0 x
3 0
С 0
( 1,8) 0

10.

Нахождение производной.
y
f ( x) lim
x 0 x
f ( x) х
f ( x х) х х
у х х х х
х
x lim
1
x 0 x
х 1
у f ( х х) f ( х)

11.

Нахождение производной.
y
f ( x) lim
x 0 x
у f ( х х) f ( х)
f ( x) kх b
f ( x х) k ( х х) b kx k x b
у kх k х b kх b k х
k х
(kx b) lim
k
x 0 x
kx b k
3
3
х 7
4
4
5 х 5

12.

Нахождение производной.
y
f ( x) lim
x 0 x
f ( x) х
у f ( х х) f ( х)
2
f ( x х) ( х х) 2 x 2 2 х x ( х) 2
у х 2 х х ( х) х 2 х х ( х)
2
2
2
2
х(2 х х)
х(2 х х)
( x ) lim
lim 2 x x 2 x
x 0
x 0
x
2
( х ) 2 х
2

13.

Нахождение производной.
y
f ( x) lim
x 0 x
f ( x) х
у f ( х х) f ( х)
3
f ( x х) ( х х) x 3х x 3х( х) х
3
3
2
3
2
у x 3х x 3х( х) х х
3
2
3
2
3
3х х 3х х х х 3х 3х х ( х)
2
2
3
2
х 3х 3х х х
( x ) lim
x 0
x
3
2
( x ) 3х
3
2
2
3х
2
2

14.

С 0
kx b k
х 1
( х ) 2 х
2
( x ) 3х
3
2
( x ) nх
n
n 1

15.

16.

ДЗ : 40, 5, 6;
41, 1 3, 5 11

17.

С 0
kx b k
х 1
( х ) 2 х
2
( x ) 3х
3
2
( x ) nх
n
n 1

18.

19.

20.

21.

22.

23.

Проверочная работа

24.

25.

26.

Решение задач на касательную

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33. Повторение:

Линейные
уравнения
Алгебраическое
условие
y = к1х+b1
к1 = к2 , b1 ≠ b2
y = к2х+b2
к1 = к2, b1= b2
к1 ≠ к2
к1 ∙ к2 = -1
Геометрический
вывод
Прямые
параллельны
Прямые
совпадают
Прямые
пересекаются
Прямые
перпендикулярны

34.

90 k 0 f ( x) 0
o
у
х1
х

35.

0 k 0, касательная параллельна ОХ
o
у
х2
х

36.

90 k 0 f ( x) 0
o
у
х3
х

37.

38.

39.

Теорема 1
Пусть f ( x) дифференцируема на (а; b).
Если f ( x) 0 на (a; b), то f ( x) возрастает на (a; b).
Если f ( x) 0 на (a; b), то f ( x) убывает на (a; b).

40.

Ч.т.д.

41.

Ч.т.д.
f ( x) убывает при всех х
g ( x) возрастает при всех х
след но уравнение имеет не более 1 корня

42.

43.

Теорема 2 (условие постоянства функции)
Пусть f ( x) дифференцируема на (а; b) и непрерывна на a; b .
Для того, чтобы непрерывная функция f ( x) была постоянна
на a; b необходимо и достаточно, чтобы f ( x) 0 на (a; b).

44.

Стационарные точки
Максимум функции
Критические точки
Минимум функции
Точки экстремума
f
min
max
min
f
Точкой максимума называется точка х0
с такой окрестностью, в которой при х x0 f ( x) 0,
а при х x0 f ( x) 0 (т.е. f ( x) меняет знак с на ).
Точкой минимума называется точка х0
с такой окрестностью, в которой при х x0
а при x x0 f ( x) 0, а при х x0 f ( x) 0.
f ( x) 0,

45.

хmax 3 ymax 4
хmax 1 ymax 0
хmin 0
хmin 0 ymin 1
f ( 3) 0
ymin 2
f (0) 0
f ( 1) не сущ.
f (0) не сущ.

46. Устная работа

Задача. По графику функции y=f(x),
изображенному на рисунке, определить
критические и стационарные точки.
y
d
а
b
c
e
x

47.

f
f
х1 точка перегиба
х2 точка излома графика
х1
х2

48.

Теорема 4 (необходимое и достаточное условия экстремума)
Для того, чтобы точка x0 была точкой экстремума f ( x) :
1)необходимо, чтобы х0 была стационарной или критической;
2)достаточно, чтобы при переходе через х0 f ( x) меняла знак.
Замечание
Если в точке x0 , где f ( x0 ) 0 не происходит смены знака ,
то точка х0 называется точкой перегиба.

49.

Алгоритм отыскания точек экстремума
1)найти f ( x0 );
2)найти стационарные и критические точки;
3)определить знаки f ( x) на интервалах;
4)определить промежутки монотонности функции ;
5)определить точки экстремума , перегиба.
12 х ( х 2) 2 0
х 0
х 2
x min 0
min
f
f
хmin 0, х 2 точка перегиба
(не является экстремумом)

50.

Алгоритм нахождения наибольшего и
наименьшего значений функции на отрезке
1 )найти f ( x0 );
2 )найти стационарные и критические точки , лежащие
внутри отрезка ;
3 )вычислить значения f ( х ) на концах отрезка и в точках п.2 );
4 )выбрать среди этих значений у наиб или у наим .
2)

51.

Укажите наиб. и наим. значение функции.
y
1
01
x
51

52.

Укажите наиб. и наим. значение функции.
y
1
0
1
x
52

53.

Укажите наиб. и наим. значение функции.
y
.
y f x
1
0 1
x
53

54.

Укажите наиб. и наим. значение функции.

55.

Укажите наиб. и наим. значение функции.

56.

Укажите наиб. и наим. значение функции.

57.

Укажите наиб. и наим. значение функции.