Дружественные числа

1. Дружественные числа

2.

Дру́жественные
чи́сла — два натуральных
числа́, для которых сумма всех делителей
первого числа́ (кроме него самого) равна
второму числу и сумма всех делителей
второго числа́ (кроме него самого) равна
первому числу. Иногда частным случаем
дружественных чисел считаются
совершенные чи́сла: каждое совершенное
число дружественно себе. Обычно же,
говоря о дружественных числах, имеют в виду
пары из двух разных чисел.

3.

Впервые
дружественные числа
упоминаются в работах Пифагора,
посвященных теории чисел. Следует
отметить, что пифагорейцам была
известна лишь одна пара
дружественных чисел 220 и 284. Долгое
время эта пара чисел была
единственным представителем класса
дружественных чисел.

4.

В
восемнадцатом веке Леонардо
Эйлер нашёл ещё 65 пар
дружественных чисел. К примеру
одна из них, 17296 и 18416.
Однако,
до сих пор общий способ
нахождения пар дружественных
чисел не был найден.

5.

В 850 году нашей эры арабский астроном и
математик Сабит ибн Курра предложил
формулу, с помощью которой можно
определить 3 пары дружественных чисел.
Формула Сабит ибн Курра выглядит следующим
образом:
Если: p = 3 × 2n-1 - 1,
q = 3 × 2n - 1,
r = 9 × 22n-1 - 1, где n > 1 — натуральное
число, а p,q,r — простые числа, то:
2npq и 2nr — пара дружественных чисел.

6.

Благодаря этой формуле были найдены
пары дружественных чисел 220 и 284,
17296 и 18416 и 9363584 и 9437056
соответственно для n=2,4,7. Но для n <
20000 больше никаких пар
дружественных чисел нет.
Кстати сказать, что многие
дружественные числа, например 6232 и
6368, не могут быть получены по этой
формуле.

7.

Согласно
официальным данным, на ноябрь
2006 известно 11 446 960 пар дружественых
чисел, которые состоят из двух чётных или двух
нечётных чисел. О том существует ли чётнонечётная пара дружественных чисел науке до
сих пор неизвестно. Кроме того, по-прежнему
невыясненным остается предположение о
существовании взаимно простых
дружественных числа. В том случае, если
такая пара дружественных чисел все же
существует, то их произведение должно быть
больше 1067.

8.

Для наглядности, все пары дружественных чисел,
значение которых меньше 100 000:
Пара 220 и 284 открыта Пифагором, около 500 до н. э.
Пара 1184 и 1210 открыта Паганини в 1860 году.
Пара 2620 и 2924 открыта Эйлером в 1747 году.
Пара 5020 и 5564 (Эйлер, 1747г.)
Пара 6232 и 6368 (Эйлер, 1750)
Пара 10744 и 10856 (Эйлер, 1747)
Пара 12285 и 14595 открыта Брауном в 1939 году
Пара 17296 и 18416 открыта Аль-Банном, около 1300,
Фариси, около 1300 и Пьером Ферма в 1636.
Пара 63020 и 76084 (Эйлер, 1747)
Пара66928 и 66992 (Эйлер, 1750)
Пара 67095 и 71145 (Эйлер, 1747)
Пара 69615 и 87633 (Эйлер, 1747)
Пара 79750 и 88730 открыта Рольфом (Rolf) в 1964 году.

9. Интересные факты

Пару
дружественных чисел 1184 и 1210
обнаружил в 1866 г. итальянский
школьник — Никколо Паганини —
полный тёзка великого скрипача.
Любопытно, что эту пару «проглядели»
все великие математики.

10. Спасибо за внимание!!!