Логарифмические уравнения

1. Логарифмические уравнения

mathvideourok.moy.su

2.

!!!
!!!
Логарифмическими уравнениями
называют уравнения вида
log a f ( x) log a g ( x), где
f ( x) 0; g ( x) 0; a 0; a 1
потенцируя, получаем
f ( x) g ( x)
!!!
!!!

3. Методы решения уравнений

1. Функционально-графический метод.
Основан на использовании графических
иллюстраций или каких-либо свойств
функции
2. Метод потенцирования
Он основан на определении.
log a f ( x) log a g ( x)
f ( x) g ( x)
3. Метод введения новой переменной.
вместо log a f ( x) m, m R

4.

1) log 3 x 5
так как 3 0, то корней нет
Ответ : корней нет
2) log1 ( x 2 5) 8
так как основание равно 1, то корней нет
Ответ : корней нет
3) log x ( 5) 8
так как 5 0, то корней нет
Ответ : корней нет
4) log 2 x 3
1
3
ОДЗ : х 0, то х 2
1
8
Ответ :
8

5.

5) log 2 ( x 4 x 3) 3
2
ОДЗ : x 4 x 3 0, то x 4 x 3 2
2
x 4x 3 8
2
x 4x 5 0
2
2
3
х1 5; х2 1
Проверка :
если х 5, то ( 5) 4( 5) 3 0 верно
2
если х 1, то 1 4 1 3 0 верно
2
5;1 корни уравнения
Ответ : 5;1

6.

6) log5 (2 х 3) log5 ( х 1)
2 х 3 0 2 х 3/ : 2
ОДЗ :
х 1 0
х 1
х 1,5
х 1
х ( 1; )
2х 3 х 1
х 2
2 ( 1; )
корней нет
Ответ : корней нет

7.

7) log x ( x 2 2 x 2) 1
х 0
ОДЗ : x 1
x2 2x 2 0
х 2х 2 х
2
х 3х 2 0
х1 2; х2 1
2
2 0
если х 2, то 2 1
верно
22 2 2 2 0
2 корень уравнения
1 0
если х 1, то 1 1
неверно
12 2 1 2 0
1 не является корнем
Ответ : 2

8.

8) log 2 ( x 4) log 2 (2 x 3) log 2 (1 2 x)
х 4 0
ОДЗ : 2 x 3 0
1 2 x 0
х 4
x 1, 5
x 0, 5
-4
-1,5
0,5
x ( 1,5;0,5)
log 2 ( x 4)(2 x 3) log 2 (1 2 x)
( x 4)(2 x 3) 1 2 x
2 х 3х 8 х 12 1 2 х 0
2
2 х 13х 11 0
х1 5,5; х2 1
5,5 ( 1,5;0,5)
1 корень уравнения
1 ( 1,5;0,5)
2
Ответ : 1
х

9.

9) lg x lg x 1
2
7
x
lg
10
7
2
lg x lg x 1
lg x lg10
ОДЗ : х 0
Пусть lg x n
7
/ (n 1) 0
n n 1
n 1
n 1
2
(n 1)(n n 1) 7
2
n3 1 7
n 8
3
n 2
если n 2, то lg x 2
x 100
Ответ :100

10.

10) log52 x log
5
x 3 0
ОДЗ : х 0
log52 x log 1 x 3 0
52
log 5 x 2 log 5 x 3 0
2
Пусть log5 n
n 2n 3 0
2
n1 3; n2 1
если n 3, то log5 x 3; х 125
1
если n 1, то log 5 x 1; х
5
1
Ответ : ;125
5

11.

2
2
lg
x
y
2
11)
log 2 x 4 log 2 3 log 2 y
ОДЗ : х 0; у 0
х 2 у 2 100
log 2 x log 2 16 log 2 3 log 2 y
х у 100
x 3
16 y
2
2
х 2 у 2 100
xy 48
2
х 2 у 2 100
48
x y
48
2
y 100
y
2308
2
2
y 100 / у 0
2
y
у 0

12.

2308 у 100 у
4
2
у 100 у 2308 0
4
2
Пусть у 2 m, m 0
m2 100m 2308 0
m1 64; m2 36
если m 64, то у 64, у 8 и х 6 (6;8)
2
если m 36, то у 36, у 6 и х 8 (8;6)
2
Ответ : (6;8);(8;6)

13.

12) 0,5 8
х
8 0 корней нет
Ответ : корней нет
1 3 х
13) 5 7
log5 7
1 3 х
5
5
1 3x log5 7
3x 1 log5 7
1 log 5 7
x
3
1 1
Ответ : log 5 7
3 3

14. Метод логарифмирования

ОДЗ : х 0
прологарифмируем по основанию 5
1
1 log5 x
log 5 х
log 5
25
2
(1 log 5 x) log 5 x log 5 5 0
1 log5 x
14) х
0, 04
log x log 5 x 2 0 Пусть log5 x m
m2 m 2 0
m1 2; m2 1
2
5
если m 2, то log5 x 2, x 25
1
если m 1, то log 5 x 1, x
5
1
Ответ : 25;
5

15.

15) log 2 x 2 4
2log2 x 4
log2 x 2
x 4
x 4
ОДЗ : х 0
Ответ : 4

16.

16) log 3 (1 log 3 (2 x 7)) 1
1 log 3 (2 x 7) 3
x
log 3 (2 7) 2
2x 7 9
2 16
x
4
2 2
x 4
m
так как у 2 монотонна на D( у) R
x
Проверка :
если х 4, то log 3 (1 log 3 (24 7)) 1 верно
Ответ : 4

17.

17) 3х 5
log5 x
2
3х х 4
2
16
log 4 30
3x x 30
log4 30
ОДЗ : х 0
2
2
3 x x 30 0
2
20
x1
0; х2 3
6
Ответ : 3

18.

3lg x
1
lg x
ОДЗ : х 0; х 1
18) х
3 10
Прологарифмируем по основанию 10
lg х
3lg x
1
lg x
lg 10
3
1
1
3lg x
lg x
lg x
3
1
3lg x 1
3
2
4
3lg x
3
2
4
lg x
9
2
2
lg x ;lg x
32
23
3
x 10
x 10 3
2
1
Ответ : 100; 3
100
3

19.

19) log7 log3 log 2 x 0
0
log 3 log 2 x 7 1
ОДЗ : х 0
log 2 x 3 3
3
x 2 8
1
Ответ :8

20.

lg x 5 lg x 6 2
ОДЗ : х 5; 6
2lg x 5 2lg x 6 2 / : 2
2
20)
2
lg x 5 lg x 6 1
lg x 5 x 6 1
x 5 x 6 10
2
x x 30 10
2
2
x x 30 10; x x 30 10
2
x 2 x 40 0
x x 20 0
1 161
х
5;
4
х
1;2
2
1 161
Ответ :
; 5; 4.
2

21.

х 1
21) 3
5
х 2
Прологарифмируем по основанию 10
x 1
x 2
lg 3 lg 5
( x 1) lg 3 ( x 2) lg 5
x lg 3 lg 3 x lg 5 2 lg 5
x lg 3 x lg 5 2 lg 5 lg 3
x(lg 3 lg 5) (lg 25 lg 3)
lg 75
x
lg 0, 6
lg 75
Ответ :
lg 0, 6

22.

ОДЗ : х 0
22) xlog3 x 81
Прологарифмируем по основанию 3
log 3 x log3 x log 3 81
log3 x log3 x 4
log 32 x 4
log3 x 2; log3 x 2
1
х 9
х
9
1
Ответ : 9;
9

23.

23) log 9 (3 2 x 20) x(1 log 3 9)
x
log 9 (3 2 x 20) x (1 0,5)
x
log 9 (3 2 x 20) 0,5 x / 2
x
2 log 9 (3 2 x 20) x
x
(3 2 x 20) 9
x
2
x
(3 2 x 20) 3
x
2
2x
(3 2 x 20) 3
x
2
3 2 x 20 3
x
x 2
x
2x 20 0
2x 20
x 10
Проверка :
если х 10, то log9 (310 2 10 20) 10(1 log 3 9)
log 9 3 5 верно
10
Ответ :10

24.

24) 3log sin x log 2 (1 cos 2 x) 2
2
2
3log sin x log 2 2sin x 2
2
2
3log 2 sin x log 2 2 log 2 sin x 2
2
2
2
3log sin x 1 2 log 2 sin x 2
2
2
3log sin x 2 log 2 sin x 1 0
2
2
Пусть log 2 sin x m
2
3m 2m 1 0
1
m1 1; m2
3
ОДЗ : sin x 0

25.

1)если m 1, log 2 sin x 1
1
2)если m ,
3
1
sin x
2
k
x ( 1)
k, k Z
6
1
log 2 sin x
3
sin x 3 2
3
корней нет
Ответ : ( 1)
k
6
k, k Z
2 1 неверно