Решение логарифмических уравнений

1.

Решение логарифмических
уравнений

2. Цель урока:

Формирование знаний по теме
«Логарифмические уравнения»

3. Задачи урока:

4.

loga b=Х
ах =b

5. Основное логарифмическое тождество:

логарифмическое
тождество:
a
log a b
b

6.

log a a 1 log a 1 0
log a a c
c

7. Свойства логарифмов:

a>0,b>0,c>0, c≠1,n≠1
log c a log c b log c (ab)
log c a log c b
a
log c
b
n log c a log a
c
n

8. Перепишите равенства в виде логарифмических равенств:

3
а )2 8
0
б )3 1
в )4
2
1
16
Ответ :
а )3 log 2 8
б )0 log 3 1
1
в ) 2 log 4
16

9. Запишите числа в виде логарифмов с основанием 2:

Ответ:
а) 4 = a )4 log 2 16
б) - 2 = б ) 2 log 1
2
4
в) 0 =
в
)
0
log
1
2
г) 1 =
г )1 log 2 2

10.

Вычислите:
log 6 8 log 6 2 log 6 9
Ответ: 2

11.

Определение:
Уравнение,
содержащее
переменную под
знаком логарифма,
называется
log x b
a
логарифмическим
a 0 a 1
,

12.

Основные методы решения
логарифмических
уравнений:

13.

с помощью
определения потенцирования
логарифма
вынесение
общего
множителя
приведение
введение новой
логарифмирования к одному
переменной
основанию
функциональнографический

14.

1. По определению логарифма:
Уравнение:
Решение:
а) log a x b, a 0 и a 1
x a b
б) log a f ( x ) b, a 0 и a 1.
f ( x ) a b
в) log a f ( x ) log a g ( x ) ,
a 0 и a 1.
г) log g ( x ) f ( x ) b
f ( x) 0,
g ( x) 0,
f ( x) g ( x).
g ( x ) 0,
g ( x ) 1,
f ( x ) g ( x )b

15.

Пример:
f ( x ) 0, a 0, a 1.
log4 x 2,
ОДЗ : х 0,
x 4 2 ,
x 16.
Ответ:
16

16.

Пример :
log 3 ( 2 x 1) 2,
2
2 x 1 3 ,
2 x 1 9,
x 4.
Проверка:
log 3 ( 2 4 1) 2,
log 3 9 2,
2 2
Ответ: 4

17.

log 2 x 1
Ответ: х=2

18.

log 1 x 0
3
Ответ: х=1

19.

1
log 9 x
2
Ответ: х=3

20.

log 5 x 3
Ответ: х=125

21.

1
log 8 x
3
Ответ: х=2

22.

log 3 ( x 5) 4
Ответ: х=76

23. Решите логарифмические уравнения:

log x 5 2
2
x 5
x 5 , т.к. 5 0
Ответ : x 5
log 4 x 0,5
0.5
x 4
х 4
x 2
Ответ : x 2

24.

2. Метод потенцирования:
Под потенцированием понимается
переход от равенства, содержащего
логарифмы, к равенству, не содержащему
их:
если , loga f(х) = loga g(х),
то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0, а > 0, а≠ 1
Метод потенцирования применяется в том случае,
если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют
одинаковое основание

25.

Пример:
log 2 ( x 2 7 x 5) log 2 ( 4 x 1),
переходим от равенства,
содержащего логарифмы, к
равенству,
не содержащему их
x 2 7 x 5 4 x 1,
x 2 3x 4 0,
x1 1, x 2 4.
Проверка:
x 1
x 4
log 2 (12 7 1 5) log 2 ( 4 1 1)
log 2 3 log 2 3 - верно
log 2 (( 4) 2 7 ( 4) 5) log 2 ( 4 ( 4) 1)
log 2 ( 17) log 2 ( 17)
- не верно
Ответ: 1

26. Решите уравнения потенцированием: (по вариантам)

а) log2 (3x – 6) = log2 (2x – 3);
б) log0,5 (7x – 9) = log0,5 (x – 3);

27. Метод потенцирования:

Признак:
1. Пропотенцировать
обе части уравнения
уравнение должно
быть представлено в виде по основанию
равному основанию
равенства двух
логарифма;
логарифмов
2. Перейти к равенству
по одному основанию
подлогарифмически
log a f x log a g x
х выражений,
применив свойство
логарифма;
3. Решить уравнение и
проверить
полученные корни;
4. Записать
удовлетворяющие
корни в ответ.

28.

Физминутка для глаз

29.

4.
Метод
введения
переменной
: 3 x 2
Пример:
log 32 x log
ОДЗ:
Пусть
log3 x t ,
новой
x 0.
тогда
t 2 t 2,
t 2 t 2 0.
t1 1, t 2 2.
Значит,
log 3 x 1
или
log 3 x 2
x 3 1
x 32
1
x .
3
x 9.
1
Ответ: , 9.
3

30.

Решите уравнения:
lg x 2 lg x 1 0
2
2
3 log 0 , 5 x 5 log 0 , 5 x 2 0

31. Метод введения новой переменной:

Признак:
Все логарифмы
в уравнении могут
быть
сведены к одному и
тому же
логарифму,
содержащему
переменную
1. Определить ОДЗ
уравнения
(подлогарифмические
выражения
положительны);
2. Произвести замену
переменной;
3. Решить полученное
уравнение;
4. Составить простейшие
логарифмические
уравнения, возвращаясь
к первоначальной
переменной;
5. Проверить полученные
корни по ОДЗ;
6. Записать
удовлетворяющие ОДЗ
корни в ответ.

32.

5. Метод логарифмирования обеих
частей уравнения:

33. Метод логарифмирования:

Метод
логарифмирования
:
1. Определить ОДЗ
Признак:
переменная
содержится и в
основании
степени, и в показателе
степени под знаком
логарифма
Xlgx+2 = 1000
2.
3.
4.
уравнения
(подлогарифмические
выражения
положительны);
Прологарифмировать
обе части уравнения
по основанию равному
основанию логарифма
в показателе степени;
Вынести показатель
степени за знак
логарифма, пользуясь
свойством логарифма;
Решить полученное
уравнение, пользуясь
методом замены
переменной.

34.

Xlgx+2 = 1000
1)ОДЗ: Х>0
2) Т. к. обе части уравнения положительны, то
прологарифмируем обе части уравнения по
основанию 10:
lgxlgx+2 = lg1000

35.

Xlgx+2 = 1000
1)ОДЗ: Х>0
2) Т. к. обе части уравнения положительны, то
прологарифмируем обе части уравнения по
основанию 10:
lgxlgx+2 = lg1000
( lgx+2)·lgx=lg1000
lg2x+ 2lgx- 3=0
lgx=а
а2 + 2а- 3=0

36.

Xlgx+2 = 1000
1)ОДЗ: Х>0
2) Т. к. обе части уравнения положительны, то
прологарифмируем обе части уравнения по
основанию 10:
lgxlgx+2 = lg1000
( lgx+2)·lgx=lg1000
lg2x+ 2lgx- 3=0
lgx=а
а2 + 2а- 3=0
а=- 3 а=1.
lgx=1,
x=10
lgx=- 3,
x=10-3=0,001
Ответ: 0,001; 10.

37.

Физминутка для глаз

38. Рефлексия:

Какую цель ставили перед собой на уроке?
Cмогли ли её достичь?
Какой метод вам больше понравился?
Оцените свою деятельность на уроке.

39. Итог урока:

1. Мне все понятно, у меня все
получается!
2. У меня еще есть ошибки, но
я стараюсь!
3. Я ничего не понимаю,
у меня ничего не получается!