Электроёмкость, конденсаторы, энергия электростатического поля

1. Занятие 3 Электроёмкость, конденсаторы, энергия электростатического поля

∙ Электростатическое поле вблизи поверхности
проводника, окружённого диэлектриком
∙ Электроемкости уединённой проводящей сферической
поверхности, плоского, коаксиального, сферического
конденсаторов
∙ Энергия взаимодействия, собственная и полная энергии
системы заряженных проводников
∙ Электрическая энергия плоского конденсатора,
электростатического поля
∙ Ауд.: Иродов И.Е. Задачи по общей физике.
- М.: Бином, 1998 2010. №№ 2.115, 2.119, 2.135, 2.152
МГТУ им.
Н.Э. Баумана

2. Электростатическое поле вблизи поверхности проводника, окружённого диэлектриком

Z
n
+
ε
МГТУ им.
Н.Э. Баумана
+
σ
+
O
+
+
X
Рис.1а
Z
n
-
σ
ε
-
O
X
Рис.1б
E
D
Проекция Dn на направление внешней n нормали к
σ′
поверхности проводника S площадью вектора D
Y
электрического смещения у поверхности этого
R
проводника:
∫ ∫ DndS = ∫ ∫ σdS ↔ Dn = σ,
(1)
(S)
(S)
где вектор D электрического смещения в
E зависимости от знака заряда с σ ,σ
+ - поверхностной
D
плотностью на поверхности проводника
σ′
Y сонаправлен или противонаправлен
R внешней n нормали к поверхности этого проводника.
-
+

3.

МГТУ им.
Н.Э. Баумана
Поверхностные σ′+,σ′- плотности связанных зарядов диэлектрика,
окружающего поверхность проводника S площадью:
σ′+ = - σ-(ε - 1)/ε; σ′- = - σ+(ε - 1)/ε,(2)
где в случае нахождения на сфере отрицательного q- заряда с σповерхностной плотностью на диэлектрике с ε диэлектрической
проницаемостью, граничащей с этой заряженной сферой,
возникает положительный связанный заряд с σ′+ поверхностной
плотностью , а в случае нахождения на сфере положительного q+
заряда с σ+ поверхностной плотностью на диэлектрике с ε
диэлектрической проницаемостью, граничащей с этой
заряженной сферой, возникает отрицательный
связанный заряд с σ′- поверхностной плотностью.

4. Электроемкости уединённой проводящей сферической поверхности, плоского, коаксиального, сферического конденсаторов

МГТУ им.
Н.Э. Баумана
Потенциал φ сферической поверхности R радиуса с q свободным
зарядом проводника на его поверхности:
φ = q/4πε0εR.
(3)
Ёмкость C уединённой проводящей сферической поверхности R
радиуса, помещённой в среду с ε диэлектрической
проницаемостью:
C = q/φ = 4πε0εR.
(4)
d
Разность φ1 - φ2 потенциалов между пластинами,
Z
каждая из которых имеет q+ = σ+S, q- = σ-S свободный
σ
σ
заряд противоположного знака:φ1 - φ2 = qd/ε0εS. (5)
D
S
Ёмкость C плоского конденсатора с
E
ε
линейными размерами обкладок намного
φ
большими d зазора и
φ
-
+
2
1
X
O
Рис.2
Y

5.

и ε диэлектрической проницаемостью диэлектрика между
этими обкладками:
C = q/(φ1 - φ2) = ε0εS/d. (6)
Z
+τ
O
E
-
ε
D
R1
-
+
+
φ1 φ2
X
Рис.3
l
τ-
+
Y
R2
МГТУ им.
Н.Э. Баумана
Разность φ1 - φ2 потенциалов между
цилиндрическими обкладками конденсатора,
каждая из которых имеет τ+, τ- линейные
плотности зарядов и поэтому на каждой обкладке
имеется q+ = τ+l, q- = τ-l свободный заряд
противоположного знака: φ1 - φ2 = qln(R2/R1)/2πεε0l .
(7)
Ёмкость C коаксиального конденсатора c l длиной цилиндрических
обкладок R1, R2 радиусами и диэлектриком с ε
диэлектрической проницаемостью между ними:
C = q/(φ1 - φ2) = 2πε0εl/ln(R2/R1). (8)

6.

МГТУ им.
Н.Э. Баумана
Z
σR1
-
R2
ε
+
+ φ1 σ+ +
O
Y
+
E
D
φ2
-
X
Рис.4
Разность φ1 - φ2 потенциалов между
сферическими обкладками конденсатора,
каждая из которых имеет σ+, σ- поверхностные
плотности зарядов и поэтому на каждой
обкладке имеется q+ = σ +S, q- = σ-S свободный
заряд противоположного знака:φ1 - φ2 = (q/4πε0ε)[(1/R1) - (1/R2)]. (9)
Ёмкость C сферического конденсатора c R1, R2 радиусами обкладок
и диэлектриком с ε диэлектрической проницаемостью
между ними : C = q/(φ1 - φ2) = 4πε0ε(R1R2)/(R2 - R1). (10)

7. Энергия взаимодействия, собственная и полная энергии системы заряженных проводников

F2
I
q2
I
dl1
F1
II
dl2
q1
Рис.5
II
МГТУ им.
Н.Э. Баумана
Потенциальная Wв = W12 энергия взаимодействия q1
и q2 зарядов: Wв = W12 = (1/2)(W12 + W21),
(11)
где W12 = W21 - энергия взаимодействия
соответственно q1 и q2 зарядов, равная энергии
взаимодействия q2 и q1 зарядов.
Энергия Wв взаимодействия n - зарядов, находящихся в линейном
изотропном диэлектрике с ε диэлектрической проницаемостью:
n
1 n
Wв qi j , (12)
2 i 1 j 1, j i
где φj – потенциал, создаваемый в j-ой точке
нахождения заряда qi всеми (n-1) – зарядами,
окружающих этот qi заряд.

8.

МГТУ им.
Н.Э. Баумана
Собственная Wс энергия всех n - проводников с qi зарядами и φсi
собственными потенциалами:
1 n
Wс
q
2
i 1
i ci
.(13)
Полная W энергия всех n - проводников с учётом собственных Wс
энергий всех n - проводников и энергии Wв взаимодействия этих
n - проводников, находящихся в линейном изотропном
диэлектрике с ε диэлектрической проницаемостью или вакууме:
n
n
1 n
W Wc Wв qi ci qi j .(14)
2 i 1
i 1
j 1, j i

9. Электрическая энергия плоского конденсатора, электростатического поля

Ёмкость C = q/(φ1 - φ2) = q/U плоского конденсатора с учётом
соотношения между энергией W и q зарядом, U напряжением,
C ёмкостью:
W = qU/2 = U2C/2 = q2/2C.
(15)
Энергия We электростатического поля в V объёме линейного
изотропного диэлектрика:
We = ∫ ∫ ∫dWe = ∫ ∫ ∫wedV = ∫ ∫ ∫(ε0εE2/2)dV = ∫ ∫ ∫(ED/2)dV,
(16)
V
V
V
V
где we = ED/2 - плотность энергии электростатического поля, а E, D
- векторы соответственно напряжённости электростатического
поля и электрического смещения в линейном
изотропном диэлектрике V объёмом, где
определяется we плотность энергии электростатического
поля.
МГТУ им.
Н.Э. Баумана

10.

Задача №2.115
МГТУ им.
Н.Э. Баумана
Найти ёмкость сферического конденсатора, радиусы обкладок
которого a и b, причём a < b, если пространство между обкладками
заполнено диэлектриком: а) проницаемости ε; б) проницаемость
которого зависит от расстояния r до центра конденсатора как ε = α/r,
где α – постоянная. Ответ: а) С = 4πε0εab/(b – a); б) С = 4πε0α/ln(b/a).
Дано: a, b, ε, α/ С = ?
b
Zа) Проекция Dr на направление r радиуса – вектора D
S
вектора электрического смещения в произвольной M
r +
M
σ ε φ
точке пространства диэлектрической среды согласно
O
+
+
Y
σ
обобщённой теореме Гаусса :
+
E
D
a
∫ ∫ DdS = ∫ ∫DrdS = q ↔
φ
X
(S)
(S)
Рис.6
↔ Dr4πr2 = q ↔ Dr = q/4πr2. (17)
1
-
2

11.

С учётом связи D = ε0εE вектора D электрического
смещения с вектором E напряжённости
МГТУ им.
Н.Э. Баумана
электростатического поля Er проекция на направление r радиуса вектора E вектора напряжённости в произвольной M точке
пространства диэлектрической среды, проницаемость ε которой
постоянна :
Er = Dr/ε0ε = q/4πε0εr2 (18)
Разность φ1 - φ2 потенциалов между внутренней и внешней
сферами a, b радиусами определяется интегрированием Er
проекции на направление r радиуса - вектора E вектора
напряжённости от a до b радиусов:
b
b
q
dr
qab
1 2 Er dr
.(19)
2
4 0 a r 4 0 (b a)
a

12.

Ёмкость C сферического конденсатора c обкладками a, b
радиусов и диэлектриком с ε диэлектрической
МГТУ им.
Н.Э. Баумана
проницаемостью между ними: C = q/(φ1 - φ2) = 4πε0ε(ab)/(b - a). (20)
б) Проекция Er проекция на направление r радиуса - вектора E
вектора напряжённости в произвольной M точке пространства
диэлектрической среды, проницаемость которой зависит от
расстояния r до центра конденсатора как ε = α/r, где α – постоянная:
Er = Dr/ε0ε = q/4πε0αr.
(21)
Разность φ1 - φ2 потенциалов между внутренней и внешней
сферами a, b радиусами определяется интегрированием
Er проекции на направление r радиуса - вектора E
вектора напряжённости от a до b радиусов:

13.

МГТУ им.
Н.Э. Баумана
b
b
q
dr
q
b
1 2 Er dr
ln .(22)
4 0 a r 4 0 a
a
Ёмкость C сферического конденсатора c обкладками a, b радиусов
и диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния r
до центра конденсатора как ε = α/r, где α – постоянная:
4 0
q
C
.(23)
b
1 2
ln
a

14. Задача №2.119

МГТУ им.
Н.Э. Баумана
Длинный прямой провод расположен параллельно проводящей
плоскости. Радиус сечения провода a, расстояние между осью
провода и проводящей плоскостью b. Найти взаимную емкость
этой системы на единицу длины провода при условии a << b.
Ответ: С ≈ 2πε0α/ln(2b/a).

15. Решение

Дано: a, b,a <<
b/С=?
l
+
+
E
+O
E
E
+
E
-
r
+
+
E ø2a
X
b
МГТУ им.
Н.Э. Баумана
Y
E
2 2bb a
-
-
-
φ1 E
+
q
E O E
+
E
X
l
Z
Рис.7а
+
+
φ2
-
-
Z
Рис.7б
q
-
ø2
a
Y
Электростат
ическое поле
не
изменится,
если
плоскость
убрать, и расположить зеркальный провод с -q зарядом. Cогласно
теореме Гаусса поток ФE вектора E напряжённости
радиального электростатического поля через
воображаемый цилиндр r радиусом с учётом
пересечения вектором E только его

16.

боковой поверхности S = 2πrl площадью, а также с
учётом отсутствия взаимовлияния основного и
зеркального проводников, поскольку a << b:
q l
l
ФE EdS
E z 2 zl
Ez
, (24)
0 0
0
2 0 z
S
МГТУ им.
Н.Э. Баумана
где q - охватываемый воображаемым цилиндром заряд на
длинном прямом проводе l длиной, имеющем τ линейную
плотность заряда; Ez – проекция на OZ ось вектора E
напряжённости радиального электростатического поля основного
проводника в OYZ плоскости.
Разность φ1 - φ2 потенциалов между основным и
зеркальным проводниками определяется с учётом
a << b интегрированием Ez проекции на OZ ось

17.

МГТУ им.
Н.Э. Баумана
вектора E напряжённости радиального электростатического поля
от a поверхности основного проводника до 2b - a поверхности
зеркального проводника:
2b a
2b a dz
2b a
2b
1 2 E z dz
ln
ln .(25)
2 0 a z 2 0
a
2 0 a
a
Линейная ёмкость C между основным и зеркальным проводниками,
которая равна взаимной Cв линейной емкости прямого провода,
расположенного параллельно проводящей плоскости:
Cв
1 2
2 0
.(26)
2b
ln
a

18. Задача №2.135

МГТУ им.
Н.Э. Баумана
Задача №2.135
Определить суммарную энергию взаимодействия точечных
зарядов, расположенных в вершинах квадрата со a стороной в
системах, которые показаны на рисунке.
1
2
1
2
1
2
4
3
4
3
4
3
a
Рис.8а
Ответ:
a
a
Рис.8б
Рис.8в
( 2 4)q 2
( 2 4)q 2
2q 2
а)Wв
, б )Wв
, в)Wв
.
4 0 a
4 0 a
4 0 a

19. Решение

МГТУ им.
Н.Э. Баумана
Дано: a/Wв = ? Энергия Wв взаимодействия n - зарядов,
находящихся в линейном изотропном диэлектрике с ε n
n
1
диэлектрической проницаемостью:
Wв qi j , (27)
2 i 1 j 1, j i
где φj – потенциал, создаваемый в j-ой точке
нахождения заряда qi всеми (n-1) – зарядами,
окружающих этот qi заряд.
а)
1
Wв [q1 ( 12 13 14 ) q 2 ( 21 23 24 ) q3 ( 31 32 34 ) q 4 ( 41 42 43 )]
2
1
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q[(
) (
) (
)
2 4 0 a 4 0 2a 4 0 a
4 0 a 4 0 a 4 0 2a
4 0 2a 4 0 a 4 0 a
(
q
4 0 a
q
4 0
1
1
1
q 2 (4 2 )
)]
[ 4(
)]
, (28)
8 0 a a
4 0 a
2a 4 0 a
2a a
q
q2
где q1 = q2 = q3 = q4 = q – модуль равных положительных
зарядов; φ12, φ13, φ14 – положительные потенциалы,

20.

создаваемые в точке нахождения q1 заряда q2, q3, q4
зарядами, окружающих этот q1 заряд; φ21, φ23, φ24 –
МГТУ им.
Н.Э. Баумана
положительные потенциалы, создаваемые в точке нахождения q2
заряда q1, q3, q4 зарядами окружающих этот q2 заряд; φ31, φ32, φ34 –
положительные потенциалы, создаваемые в точке нахождения q3
заряда q1, q2, q4 зарядами окружающих этот q3 заряд; φ41, φ42, φ43 –
положительные потенциалы, создаваемые в точке нахождения q4
заряда q1, q2, q3 зарядами окружающих этот q4 заряд;
положительный знак энергии Wв взаимодействия свидетельствует
о том, что это энергия отталкивания.
б)
1
[q1 ( 12 13 14 ) q 2 ( 21 23 24 ) q 3 ( 31 32 34 )
2
1
q
q
q
q 4 ( 41 42 43 )] q[(
)
2
4 0 a 4 0 2a 4 0 a
Wв
(
q
4 0 a
q
4 0 a
q
4 0 2a
) (
q
4 0 2a
q
4 0 a
q
4 0 a
)

21.

(
q
4 0 a
q
4 0 2a
q
4 0 a
)]
q2
8 0 a
[ 4(
1 2 2
2
q 2 (4 2 )
)]
, (28)
4 0 a
МГТУ им.
Н.Э. Баумана
где q1 = q3 = q; q2 = q4 = -q – положительные и отрицательные
заряды, модули которых одинаковы; отрицательный знак энергии
Wв взаимодействия свидетельствует о том, что это энергия
притяжения.
1
W
[q ( ) q ( ) q ( ) q ( )]
в)
2
в
1
12
13
14
2
21
23
24
3
31
32
34
4
41
42
43
1
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q[(
) (
) (
)
2
4 0 a 4 0 2a 4 0 a
4 0 a 4 0 a 4 0 2a
4 0 2a 4 0 a 4 0 a
(
q
4 0 a
q
4 0
q2 2
)]
[4(
)]
, (29)
8 0 a
4 0 a
2a 4 0 a
2a
q
q2
1
где q1 = q2 = q; q3= q4 = -q – положительные и
отрицательные заряды, модули которых одинаковы;
отрицательный знак энергии Wв взаимодействия
свидетельствует о том, что это энергия притяжения.

22. Задача №2.152

МГТУ им.
Н.Э. Баумана
Плоский конденсатор расположен горизонтально так, что одна его
пластина находится над поверхностью жидкости, другая – под её
поверхностью. Диэлектрическая проницаемость жидкости ε, её
плотность ρ. На какую высоту поднимется уровень жидкости в
конденсаторе после сообщения его пластинам заряда с
поверхностной плотностью σ?
Ответ: h = (ε – 1)σ2/2ε0ερg.

23. Решение

МГТУ им.
Н.Э. Баумана
Дано: ε, ρ, σ / h = ? Поток ФD
вектора D электрического смещения
D
E
U
σ′
F n
P S
E
согласно теореме Гаусса для поля D
O
C′
h
Y
вектора через воображаемый
σ
C
X
параллелепипед с учётом
пересечения вектором D только его
верхнего основания
Рис.9
S площадью
ФD DdS S D , (30)
одинаков в вакууме и диэлектрике:
S
где σ+S- охватываемый воображаемым параллелепипедом
заряд на нижней обкладке конденсатора c σ+
поверхностной плотностью, одинаковый для вакуума и
диэлектрика. В однородном изотропном диэлектрике
D = εε0E, поэтому E0, Eε проекции на OZ ось векторов
Z
σ-
0
ε
+
+

24.

МГТУ им.
Н.Э. Баумана
векторов E0, Eε напряжённости электростатического поля между
обкладками плоского конденсатора соответственно в вакууме,
D
D
диэлектрике:
E
;E
.(31)
0
0
0
0
0
Проекция P на OZ ось вектора P поляризованности на
поверхности жидкого диэлектрика:P D E 0 ( 1).(32)
0
0
Поверхностная σ ′+ плотность связанных зарядов с учётом
положительной проекции P на внешнюю n нормаль к
поверхности жидкого диэлектрика вектора
P поляризованности, вследствие чего σ ′+ > 0:
1
P (
).(33)

25.

Проекция F на OZ ось вектора F силы, действующего
на связанный q′ заряд на поверхности жидкого
2
1
1
диэлектрика S площадью: F q E1 S (
)S (
)S
, (34)
МГТУ им.
Н.Э. Баумана
2 0
2 0
2 0
где E1 - проекция на OZ ось вектора E1 напряжённости
электростатического поля в вакууме верхней обкладки
конденсатора с модулем плотности σ- свободного отрицательного
заряда; σ = σ+ = - σ- - модуль поверхностной плотности верхней и
нижней обкладок конденсатора.
Согласно уравнению изменения механической энергии
приращение ΔWp потенциальной энергии
поднятой жидкости в конденсаторе на h высоту
равно работе Aст сторонней силы, которая
равна работе вектора F силы электростатического

26.

поля по подъёму С центра масс жидкости из начального
в С′ поднятое состояние:
МГТУ им.
Н.Э. Баумана
2
1 2
( 1)
2
Acт W p Fh mgh (
)S
h Sh g h
, (35)
2 0
2 0 g
где m =ρSh – масса поднятой жидкости ρ плотностью, имеющей
форму прямоугольного параллелепипеда с основанием S
площадью и h высотой.
Дома: Иродов И.Е. Задачи по общей физике.- М.: Бином,
1998 2010. №№ 2.116, 2.149
Спасибо за внимание!