Сравнение по модулю m

1. Сравнение по модулю m.

2. Определение:

2
Определение:
• Два натуральных числа a и b , разность
которых кратна натуральному числу m ,
называются сравнимыми по модулю m .
• обозначение: a ≡ b (mod m ).
• Или:
• Целые числа a и b называют
сравнимыми по модулю m, если
каждое из них при делении на m дает
один и тот же остаток r.

3. Примеры:

3
Примеры:
• Так, 3 ≡ 1 (mod 2), 7 ≡ 1 (mod 3).
• Два числа сравнимы по модулю 2, если они
оба четны, либо если они оба нечетны.
• По модулю 1 все целые числа сравнимы
между собой.
• В том случае, если число n делится на m , то
оно сравнимо с нулем по модулю m .
• n ≡ 0 (mod m ).

4. Свойства сравнений по модулю:

4
Свойства сравнений по модулю:
• Пусть a ≡ b (mod m ), c ≡ d (mod m ). Тогда:
▫
▫
▫
▫
a + c ≡ b + d (mod m ),
a – c ≡ b – d (mod m ),
ac ≡ bd (mod m ),
an ≡bn(mod m).
• Пусть ab ≡ 0 (mod m ), и числа a и m взаимно
просты. Тогда b ≡ 0 (mod m ).

5. Теорема:

5
Теорема:
• В любой части сравнения можно отбросить
или добавить слагаемое, кратное модулю.
a b mod m a km b mod m

6. Примеры:

6
Примеры:
• Найдите остаток от деления 229 на 11.
• Решение:
• Так как 25 ≡ -1 (mod 11),
( определение: 32-(-1)= 33 делится на 11), то по
свойству сравнений:
(25)5 ≡ (-1)5 (mod 11), то есть 225 ≡ -1 (mod 11) и
24 ≡ 5 (mod 11), и 229=225∙24 по свойству
сравнений 229 ≡ -5 (mod 11),
так как -5 ≡ 6 (mod 11), то остаток отделения
будет 6.

7. Работа по учебнику:

7
Работа по учебнику:
• Стр. 39 разобрать примеры 1 и пример 2.
• Объяснение на доске.

8. Решение номеров:

8
Решение номеров:
• 1.95(а,в)

9. Дома:

9
Дома:
• 1.95(б)
• Прочитать п 1.9.