Лекция 9. Мезонные теории ядерных сил

1. Мезонные теории ядерных сил

Лекция 9
Мезонные теории
ядерных сил

2. Исторический экскурс

В 1932-33 гг., сразу после открытия (Чедвиком) нейтрона,
Иваненко и сразу после него Гайзенберг предположили, что атомные
ядра состоят из нейтронов и протонов – частиц, очень близких по
массе.
А поскольку уже было известно, что существуют разные изотопы
одного и того же элемента, например, 12C, 13C, 14C и т.д., то
Гайзенберг предположил, что нейтрон и протон – это фактически одна
и та же частица – нуклон, которая находится в разных зарядовых
состояниях. На современном языке – это
нуклон с разными
проекциями изоспина tN=1/2, т.е. находящийся просто в двух разных
состояниях!
Далее Гайзенберг предположил, что нуклоны в ядре держатся за
счет “обмена местами” (нем. “Platzwechsel”).
Например, в дейтроне:
n
p
p
n
2

3.

Затем Ферми (в 1933 г.), а также Тамм и Иваненко
(в 1934 г.), по аналогии с процессами β-распада, т.е.
слабого взаимодействия, предположили, что нейтрон и
протон в ядре взаимодействуют путем излучения и
поглощения пары лептонов – нейтрино + электрон:
ν
n
p
e-
p
Гипотеза
np-взаимодействия
Ферми
n
Однако такая сила (слабого взаимодействия) оказалась
очень слабой и неспособной связать нуклоны в ядрах.
3

4.

Тогда Хидеки Юкава (в 1935 г.) предположил, по
аналогии с теорией электромагнитных взаимодействий:
γ
ee-
или
γ
e-
,
e+
что нуклоны могут обмениваться квантами “тяжелого”, т.е.
массового, поля – мезонами, которые имеют положительный
или отрицательный заряды:
ππ+
n
p
n
p
n
p
n
p
NN-взаимодействие
согласно гипотезе
Юкавы
или
p
π
n
4

5.

5

6.

Получим теперь выражение для такого обменного взаимодействия.
π-мезон будем считать квантом скалярного релятивистского поля (r , t )
с массой m.
2
2 2
2 4
Если в релятивистском соотношении для энергии E p c m c
соотнести: E i
и p i , как обычно в квантовой механике,
t
то получается уравнение Клейна-Гордона:
2
1
mc
( 2 2 2 2 ) (r , t ) 0,
.
c t
При μ = 0 получаем обычное волновое уравнение для безмассового
фотона. Такое уравнение описывает распространение электромагнитной
волны в пустоте, т.е. там, где нет зарядов – источников электромагнитного
поля.
В случае электромагнитной волны определим скалярный
векторный A потенциалы:
1 A
E
c t
H A.
Φ и
,
6

7.

Тогда из уравнений Максвелла следуют волновые уравнения для Φ
и A:
2
1
2 2 2 4 ,
c t
1 2 A
4
A 2 2
J,
c
c t
ρ – плотность заряда,
J – плотность тока источников поля.
В вакууме ρ и J равны нулю, и для Φ и A получаем обычные волновые
уравнения.
Юкава рассмотрел статический случай, т.е. когда нуклоны движутся
очень медленно или покоятся.
Тогда волновая функция (r , t ) (r ), т.е. не зависит от времени.
И получаем тогда:
( 2 2 ) (r ) 0.
7

8.

Запишем теперь Лапласиан 2 в сферических координатах:
1 d 2 d lˆ2
2
r
2 0,
2
r dr dr r
lˆ 2 – оператор квадрата орбитального момента (включает угловые
зависимости). Для сферически симметричного случая lˆ 2 0, и находим:
1 d 2 d
2
r
0.
2
r dr dr
Легко найти решение этого уравнения явно:
e r
(r ) g
r
(константа g играет роль заряда источника).
Второе (независимое) решение будет экспоненциально растущим
g ' e r r и отбрасывается из физических соображений.
Каков смысл полученного нами решения (r )?
Эта волновая функция (r ) отвечает волновой функции виртуального
скалярного мезона, который излучается покоящимся нуклоном,
с “сильным” зарядом g, находящимся в начале координат.
8

9.

Теперь поместим в это мезонное поле второй нуклон с таким же
зарядом g на расстоянии r12 от первого нуклона.
Ясно, что потенциальная энергия второго нуклона в этом поле будет:
g g 2 e r12 r12
(Например, в электромагнетизме потенциальная энергия
электрического заряда e в скалярном поле Φ есть U=eΦ, и у нас (r )
играет роль Φ, ибо уравнения для них одинаковы.)
Таким образом, в теории Юкавы потенциальная энергия
взаимодействия двух нуклонов, которые обмениваются мезоном массы μ,
равна:
U12 g 2 e r12 r12
– потенциал Юкавы.
Теперь оценим массу этого мезона из условия, что радиус этой
обменной силы примерно равен радиусу ядра rя ~ 10-13 см = 1 Фм.
Легко получить, что для 1 mc 1.4 Фм mπ ≈ 140 МэВ.
Впоследствии (в 1947 г.) эти (псевдо)скалярные частицы,
предсказанные Юкавой, были открыты в космических лучах, и их масса
оказалась на самом деле около 140 МэВ.
9

10.

Виртуальные и реальные частицы:
в чем разница?
Теперь возникает важный вопрос:
Как физически понять такой обменный механизм взаимодействия
(двух нуклонов)?
p
π
mN ≈ 940 МэВ
π
n
mπ ≈ 140 МэВ
Если протон испускает (реально) π-мезон с массой mπ, то кажется,
что его масса должна уменьшиться на эту массу mπ. Тогда протон
должен превратиться совсем в другую частицу! И обратно: если
нейтрон поглощает такой мезон, то его масса должна увеличиться на
140 МэВ, и он тогда должен превратиться совсем в другую частицу?
Но в реальности протон, испуская π-мезон, превращается в нейтрон
почти такой же массы, и наоборот: нейтрон, поглощая π-мезон,
превращается в протон.
10

11.

Как примирить реальную ситуацию с нашими интуитивными
ожиданиями?
Для этого вспомним принцип неопределенности Гайзенберга для
энергии:
E t
Он означает, что на очень короткое время Δt можно родить или
поглотить частицу с массой Δm ≈ ΔE/c2. Отсюда следует, что у
взаимодействия, связанного с обменом частицей массы m, радиус
действия должен быть порядка комптоновской длины волны
λC = ћ/mc.
Откуда это следует?
Если рождается промежуточная частица массы m, то
неопределенность в энергии должна быть mc2, и поэтому длительность
существования такой частицы будет Δt ≈ ћ/ΔE = ћ/mc2, а путь,
который частица может пройти, есть l = c·Δt ≈ ћ/mc = λC.
Т.е. рождение и поглощение пионов нуклонами не нарушает никаких
законов сохранения (энергии–импульса), т.к. находится в согласии с
соотношением неопределенностей для энергии–времени.
11

12.

Пусть теперь рождаются сразу n мезонов!
Тогда энергии промежуточных состояний равны n·mc2, а радиус
соответствующего взаимодействия будет равен λC/n.
Т.е. взаимодействие, отвечающее обмену одним пионом (n = 1),
имеет самый большой радиус и называется
OPEP (One-Pion-Exchange-Potential).
Радиус двухпионного обмена
π
π
N
N
будет в два раза меньше (т.е. ~ 0.7 Фм) и т.д.
12

13.

Псевдоскалярная природа пиона
и πN-связи
На самом деле пион — не скаляр, а псевдоскаляр, т.к. его
внутренняя волновая функция имеет отрицательную (внутреннюю)
четность! (Это связано с его кварковой структурой.) Т.е. при
зеркальных пространственных отражениях эта волновая функция
меняет знак!
Кроме того, было экспериментально найдено, что имеются три
разных пиона: два заряженных π + и π - и один нейтральный π 0.
Т.е. эти три пиона соответствуют изотопическому спину I = 1,
имеющему три проекции I+1 = +1, I0 = 0, I-1 = -1, отвечающие
как раз трем разным пионам. Т.е. пион — это изовектор (вектор в
изотопическом пространстве).
13

14.

Это приводит к тому, что потенциал взаимодействия пиона и нуклона
включает в себя не только константу взаимодействия g (т.е. “заряд”), но
и операторы изоспина и спина :
e r12
(r ; , ) g
.
r12
И тогда правильный юкавский потенциал равен:
1 f2
e r12
2
V
m c ( 1 2 )( 1 2 )
,
3 c
r12
спин-изоспиновый фактор
m c
1
0.70 Фм ,
f2
c
0.081 0.002.
безразмерная
Но и это еще не всё.
( 1 2 ) спин нуклона при
Благодаря присутствию оператора
излучении пиона (в P-волне) переворачивается.
Переворачивается
и
спин
нуклона
при
поглощении пиона.
14

15.

И тогда появляется новая сила взаимодействия, тесно связанная со
спином двунуклонной системы.
Именно, если общий спин двух нуклонов SNN = 1, то при
фиксированном полном моменте возможны два значения L. Например,
– S-волна
для дейтрона J = 1, S = 1
L=J±1= 0
2 – D-волна .
Для описания такой (тензорной) силы введем оператор:
S12
3
r2
1r 2 r 1 2
6
r2
Sr
2
,
2 S
2
где
r r1 r2 .
И тогда полный потенциал однопионного обмена равен:
1 f2
3
3 e r
OPEP
2
V
m c 1 2 1 2 1
,
S12
2
r r r
3 c
v0 = 3.65 МэВ
Это означает, что, когда S r, тензорный потенциал будет
притягивающим, а когда S r, — отталкивающим.
В дейтроне:
тензорное
тензорное
притяжение
отталкивание
n sn p s p
n sn p s p
Дейтрон должен иметь форму с небольшой вытянутостью
вдоль направления полного спина S.
15

16.

Экспериментальные доказательства
существования тензорного NNпотенциала в дейтроне
Если два нуклона в дейтроне с Jπ = 1+ находятся в S-состоянии
относительного движения (L = 0) и в триплетном (S = 1) спиновом
состоянии, то, если пренебречь вкладом обменных токов,
N
N
γ
ρ
π
ρπγ-обменный
ток в NN-системе
(такие обменные токи дают
малый вклад в зарядовую
плотность в дейтроне)
дейтрон должен обладать полностью аддитивным магнитным
моментом:
μd = μp + μn, т.е. μd = (2.7927 – 1.9135) μN = 0.8792 μN
(μN – ядерный магнетон).
16

17.

Тогда как экспериментальное значение
μdexp = 0.85739 μN!
С другой стороны, экспериментально известно (с 1939 г.), что дейтрон
обладает квадрупольным моментом Qd ≠ 0 (Qd = +2.74·10-27 см2), что
возможно только, если в дейтроне есть D-волна (L = 2).
Тогда волновая функция дейтрона имеет вид:
d S 3S1 D 3D1 ,
с учетом нормировки |αS|2 + |αD|2 = 1.
Экспериментальные значения μd и Qd можно одновременно получить,
если взять |αS|2 = 0.96 и |αD|2 = 0.04.
Т.е. в дейтроне должно быть 96% S-волны и 4% D-волны.
К сожалению, почти все современные NN-потенциалы, которые
очень хорошо описывают экспериментальные данные по NN-рассеянию,
дают |αD|2 = 0.055
они не воспроизводят экспериментальные
значения μd и Qd. И тогда требуется включить небольшой вклад
обменных мезонных токов, которым мы пренебрегли.
17

18. Построение феноменологических NN-потенциалов, подгонка под экспериментальные данные

Понятие о парциальных фазовых сдвигах рассеяния
(см. учебники по квантовой механике)
Рассмотрим сначала свободное движение бесспиновой частицы в
сферической системе координат. Тогда угловой момент и его проекция
являются хорошими квантовыми числами
решение УШ для
свободной частицы можно разложить по базису сферических гармоник
Ylm(θ,φ).
Тогда, отделяя угловые переменные в УШ, получим радиальное
уравнение:
d2
2 d l l 1
1
2
Rl 0, где kr.
2
d
d
обезразм. энергия
Это уравнение Бесселя. При E > 0 уравнение имеет одно физически
приемлемое решение: jl(ρ) – функция Бесселя.
Тогда: lm r Ylm , jl kr .
jl kr r kr1 sin kr l2 .
На асимптотике:
18

19.

Если теперь частица находится в центрально-симметричном поле
V(r), то УШ имеет вид:
d 2 2 d l l 1 2
2 E
V
r
R
r
Rl r .
2
l
2
2
2
r dr
r
dr
В асимптотической области V(r) → 0 для короткодействующего
потенциала V(r). Тогда в асимптотической области r → ∞ снова
приходим к свободному УШ, решения которого имеют вид:
rRl r r al sin kr l2 bl cos kr l2 .
два линейно независимых решения радиального уравнения
Это решение можно переписать в виде:
rRl r r Al sin kr l2 l .
наз. фазовым сдвигом рассеяния
Т.е. получается, что вся информация о взаимодействии частиц
“сидит” в фазовых сдвигах δl(E). Тогда разные модели потенциалов
взаимодействия приводят к разным значениям и разному поведению с
энергией для фазовых сдвигов δl(E).
19

20.

Для притягивающих потенциалов без связанных состояний:
δl
δl
случай резонанса
π/2
δl > 0
0
π/2
Для отталкивающих
потенциалов:
δl
ER
E
Для притягивающих потенциалов
с одним связанным состоянием:
δl
π
0
-π/2
0
E
или
E
δl < 0
0
E
20

21.

Каковы NN-фазовые
сдвиги на самом деле?
Чтобы описать такое сложное
поведение NN-фазовых сдвигов,
необходимо ввести в NNпотенциал члены ( LS ) -типа и
( L2 )-типа
в
дополнение
к
центральным и тензорным силам.
В дополнение к обмену
псевдоскалярными π-мезонами,
эти потенциалы также включают
в себя обмены:
скалярными σ-мезонами
(mσ ≈ 500 МэВ);
вектор-изовекторными
ρ-мезонами – ρ+,ρ-, ρ0
(mρ ≈ 780 МэВ);
вектор-изоскалярными
ω-мезонами (mω ≈ 800 МэВ
+ еще несколько мезонов,
разных для различных моделей.
21

22.

В итоге, современные NN-потенциалы включают в себя члены типа:
V VC (r ) VT (r ) S12 VLS (r ) LS VLL (r ) L12 ,
где
3
r r 1 2 ,
2 1 2
r
1
L12 1 2 L2 1 L 2 L 2 L 1 L
2
S12
LJ 1 2 L LS .
2
2
При этом радиальные функции каждого типа (т.е. VC, VT, VLS и VLL)
также включают в себя целую суперпозицию членов (4-6) со множеством
подгоночных параметров.
Таким образом, современные феноменологические NN-потенциалы
включают в себя 40-45 подгоночных параметров, но зато позволяют
хорошо описать 2000-3000 (!) экспериментальных точек, отвечающих
сечениям NN-рассеяния и разным спиновым наблюдаемым.
22

23.

Все вышесказанное составляет в первом приближении современный
NN-потенциал!
Он хорошо описывает NN-данные до энергий EN = 350 МэВ (в л.с.)
23

24. Современное развитие Юкавской модели ядерных сил

Пошло по двум основным направлениям:
i. Построение феноменологических реалистических потенциалов высокой
точности, которые подгоняют очень хорошо непосредственно NNнаблюдаемые с χ2≈1 (в течение 80-х – 90-х гг. XX в.)
ii. Развитие эффективной теории поля — effective field theory (EFT) —
для NN-взаимодействий (1990–2005 гг.)
i. Сейчас известны 4 таких NN-модели высокой точности:
i-1. Аргоннский NN-потенциал
[R.B. Wiringa, V.G.J. Stocks, R. Schiavilla, Phys. Rev. C 51, 38 (1995)]
i-2. Боннский NN-потенциал; последняя версия – CD-Bonn
[R. Machleidt, Phys. Rev. C 63, 024001 (2001)]
i-3. Наймегенский NN-потенциал
[V.G.J. Stocks et al., Phys. Rev. C 49, 2950 (1994)]
i-4. Улучшенный NN-потенциал Рейда (Reid93) [см. i-3.]
24

25.

Имеется также более старый и менее точный
Парижский NN-потенциал
[M. Lacombe et al., Phys. Rev. C 21, 861 (1980)].
Все эти потенциалы подогнаны под NN-наблюдаемые
(прямо под измерения) вплоть до энергий EN = 350 МэВ (в
л.с.) и с χ2≈1.
Имеется еще нетрадиционный Московский NN-потенциал,
предложенный в середине 80-х гг. и полностью построенный для всех
парциальных волн в 1998 г.
Но он уже более тесно связан с кварковой моделью, чем с классической
картиной мезонного обмена Юкавы.
25

26.

ii. Эффективная теория поля для NN-взаимодействий
ππ-взаимодействие,
а
также
взаимодействие пионов с другими частицами
(N, Δ, ρ и т.д.) при низких энергиях может
быть систематически описано в рамках
эффективной теории поля Стандартной
модели
–
т.н.
киральной
теории
возмущений (CHPT). Это достигается путем
разложения
амплитуд
рассеяния
по
импульсному параметру Q, малому по
сравнению с характерным масштабом
нарушения киральной симметрии (~ 1 ГэВ).
Метод, предложенный Вайнбергом (1990
г.), позволил применить CHPT также к NNвзаимодействию
и
построить
соответствующий
эффективный
NNпотенциал в низших порядках кирального
разложения: LO, NLO, NNLO и т.д.
[см. E. Epelbaum et al., Eur. Phys. J. A 19, 125 (2004)]
26

27.

NN-потенциал,
построенный в NNLO с
использованием
специальной
(cut-off)
регуляризации, в целом
правильно
описывает
NN-фазы
вплоть
до
энергий EN = 300 МэВ.
При этом результаты
сильно зависят от выбора
параметра обрезания Λ.

28. ВЫВОДЫ

Хотя современная картина мезонных обменов в NNвзаимодействии (особенно в EFT-подходе) выглядит
намного более точной и последовательной, чем 20 лет
назад, не говоря уже о 50-х годах прошлого века, в ней
имеется еще столь много необъяснимых парадоксов и
загадок, а также явных непоследовательностей, что это
заставляет сильно усомниться в правильности этой модели, в
особенности на средних и малых межнуклонных
расстояниях. В этой области в игру вступают кварковые
степени свободы.
28