Сложное движение твердого тела

1. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Если твердое тело движется относительно подвижной системы отсчета OXYZ,
которая в свою очередь движется произвольным образом относительно
неподвижной системы отсчета O X Y Z , движение тела называют составным
1 1 1 1
или сложным.
Основная задача кинематики сложного движения твердого тела состоит в
определении вида и кинематических характеристик результирующего движения
тела по заданному виду и кинематическим характеристикам составляющих
движений.
1. Сложение поступательных движений
Пусть твердое тело движется поступательно со скоростью V относительно
1
подвижной системы отсчета, которая также движется поступательно со ско –
ростью V относительно неподвижной системы отсчета. Тогда, на основании
2
теоремы о сложении скоростей, все точки тела в абсолютном движении будут
иметь одинаковую абсолютную скорость V V V и, следовательно,
1
2
результирующим движением тела будет являться поступательное движение.
Замечание.
Если твердое тело одновременно участвует, в N поступательных движениях,
то результирующим движением является поступательное движение со скоростью
N
V Vk
k 1
1

2. 2. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОСЕЙ

Пример:
качение конуса
по плоскости
Пусть твердое тело вращается
одновременно вокруг двух пере 1 2 .
A
секающихся осей ОА и ОВ с угло B
выми скоростями 1 и 2 .
A
Тогда точка О, лежащая на обеих
B
осях одновременно будет
1
1
оставаться неподвижной и резуль 2
M
тирующее движение тела можно
r
O
O
рассматривать как мгновенное
2
вращательное движение с угловой
скоростью вокруг мгновенной оси вращения O .
Для нахождения угловой скорости выразим скорость произвольной точки М,
не лежащей на осях вращения по теореме о сложении скоростей:
V Vпер Vотн 1 r 2 r ( 1 2 ) r .
Скорость той же точки при сферическом движении тела V r .
Отсюда в силу произвольности вектора
r
, получаем:
1 2 .
Замечание.
Если твердое тело одновременно участвует, в N вращениях
вокруг пересекающихся осей, то результирующим движением
является вращательное движение с угловой скоростью
N
k .
k 1
2

3. 3. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ

Если оси вращения тела параллельны,
то результирующим движением тела
будет плоское движение в плоскости,
перпендикулярной осям.
а) вращения направлены в одну сторону
VA 1 AB , VA AB ;
1
2 BC
,
AC
AC
BC
BC
1 AC
VA
1 AB
1 AB
VB
2 AB
1 ( AC BC )
2
A
VB 2 AB , VB AB , VB VA
Точка С – МЦС, поэтому VA AC , VB BC
VA
2
A
1
C
B
VB
2
C
1
B
VA
1 (1 BC AC )
AC
AC
AC
1 (1 2 1) 1 2 2 1 BC AC , 1 2 .
3

4. 3. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ

б) вращения направлены в противоположные стороны ( 1 2 ).
VA 2 AB , VA AB ;
VB VA ,
VB 1 AB , VB AB
VB VA
2
Точка С – МЦС, поэтому
VA AC , VB BC
VA
AC
VB
2 AB
AC
2 AC
,
BC
BC
1 BC
1 AB
VB
1 AB
1 ( BC AC )
BC
BC
BC
1 (1 2 1) 1 2
1
B
B
C
A
A
1
C
2 V
A
VB
1 (1 AC BC )
2 1 AC BC ; 1 2 .
4

5. 3. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ

в) пара вращений Парой вращений называют совокупность двух мгновенных
вращений твердого тела вокруг параллельных осей с оди наковыми по модулю и противоположными по направлению
угловыми скоростями.
1
VA 2 AB , VA AB ;
VB VA ,
VB 1 AB , VB AB
VB VA
МЦС поэтому тело совершает мгновенное
поступательное движение со скоростью V AB ,
направленной перпендикулярно плоскости, в которой
лежат векторы угловых скоростей 1, 2 в ту
сторону, откуда поворот, на который указывают
векторы угловых скоростей, кажется происходящим
против хода часовой стрелки.
Пример. Движение велосипедной педали
относительно рамы велосипеда.
2
B
A
V
A
B
2
1
VA
VB
1
2
5

6. 4. СЛОЖЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА

а)
V
z
1
V
О
A y
x
1
Заменим скорость поступательного
движения V парой вращений ( 1, 1),
Расположенной в плоскости, перпендику лярной вектору скорости V , выбрав
1 . Тогда плечо пары вращений
OA d
V
.
Вращения тела вокруг оси OZ с угловыми
скоростями ( , ) взаимно уничто –
1
жаются.
Следовательно, результирующим движением твердого тела является
вращательное движение вокруг мгновенной оси АΩ, параллельной оси ОZ
и отстоящей от нее на расстояние d V с такой же по модулю и
направлению угловой скоростью .
6

7. 4. СЛОЖЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА

б)
V
A
Тело совершает винтовое движение.
АА – ось винта; h – шаг винта –
расстояние, проходимое точками тела,
лежащими на оси винта за время
одного оборота. Если
consn , V const , h 2
V
const ,
V
при этом любая точка тела, не лежащая
на оси винта, описывает винтовую линию.
Абсолютная скорость точки М, отстоящей
от оси винта на расстоянии r равна
VM V1 V ,
Поэтому VM
где
V
h
V1 r , V1 V ,
VM
V1
M
A
V 2 2 r 2 .Скорость VM направлена
по касательной к винтовой линии, по которой движется точка М,
и составляет с плоскостью основания цилиндра угол .
tg
V
r
7

8. 4. СЛОЖЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА

в) скорость поступательного движения образует произвольный угол
вращения тела ( общий случай ).
V V1 Vx , V1 V cos ,
Vx V sin
Скорость
Vx
с осью
A
z
1
V1
О
V1
A y
заменим парой вращений
( 1, 1), выбирая 1 .
Вращения тела вокруг оси OZ с угловыми
скоростями ( , ) взаимно уничто –
1
жаются. У тела остается вращение вокруг
оси АА с угловой скоростью 1 и поступательное движение со скоростьюV1 ,
направленной параллельно оси АА.
Это соответствует мгновенному винтовому
движению.
V
x
Vx
1
ВЫВОД: движение свободного твердого тела можно рассматривать
как совокупность мгновенных винтовых движений вокруг непрерывно
изменяющих свое положение и направление в пространстве винтовых осей.
ОA
V sin
8

9. МЕТОД ВИЛЛИСА ДЛЯ РАСЧЕТА УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ ПЛАНЕТАРНЫХ МЕХАНИЗМОВ

Изложенные выше результаты
сложения вращений твердого тела вокруг параллельных или пересекающихся осей используются
в методе Виллиса (методе остановки) для кинематических расчетов
планетарных и дифференциальных
передач. Так, для определения угло вых скоростей шестерни дифферен –
циальной передачи мысленно сообщают
всему механизму вращение с угловой
скоростью АC – равной по модулю и
противоположной по направлению
угловой скорости вращения кривошипа АС.
Тогда кривошип становится неподвижным
звеном, следовательно, неподвижными
становятся и оси колес 2 и 3, что позво ляет использовать обычные формулы
для передаточных чисел.
1
1
AC
A
r1
3
2
B
r2
C
r3
AC
1 АC
r2 2 АC
r
,
3
2 АC
r1 3 АC
r2
9