О минимаксных подходах в задачах безопасности. Аннотация

1.

В. А. Каштанов, О. Б. Зайцева
О МИНИМАКСНЫХ ПОДХОДАХ В
ЗАДАЧАХ БЕЗОПАСНОСТИ
Копылов Михаил
Высшая школа экономики, Москва, 2018
www.hse.ru

2.

Аннотация
В статье исследуется модель управляемого полумарковского
процесса с катастрофами применительно к проблеме
безопасности.
фото
Создается математическая модель
Вводятся характеристики (показатели) безопасности.
Устанавливается связь характеристик надежности и
характеристик безопасности.
Анализируется ситуация выбора оптимальной стратегии
управления в условиях неполной информации о характеристиках
надежности системы.
фото
Высшая школа экономики, Москва, 2013

3.

Проблема
безопасности
Безопасность - свойство процесса функционирования системы.
фото
Основная проблема заключается в выработке стратегии управления
процессами функционирования и существования (эволюции)
субъектов, которая обеспечивала бы оптимальное в каком-то смысле
течение этих процессов
фоо
фото
Высшая школа экономики, Москва, 2013

4.

Построение управляемого полумарковского процесса
с катастрофами
Однородная четырехмерная Марковская цепь:
фото
+
(ξn , θn , un , ηn) , n≥0, ξn ∈ E , θ n , ηn ∈R = [ 0, ∞ ) , un ∈U
Начальное распределение:
pi = P {ξ 0=i , θ 0 < ∞ , u 0 ∈U , η0 < ∞ },
о
∑ p j =1
j∈ E
Переходные вероятности:
P {ξ n+1 = j , θ n+1 < t , u n+1 ∈ B , ηn+1 < x | ξn=i , θ n= y , un = u , ηn = τ}
=P {ξn +1= j , θn +1< t , un +1 ∈B , ηn +1< x | ξn =i}
~
=Q ij (t , B , x ),
фото
+
i , j ∈ E , t , u , τ , x ∈R , B ∈ A , u∈U
Высшая школа экономики, Москва, 2018

5.

Модель защиты
Процесс атак описывается процессом Пуассона с параметром λ:
{
0,
x≤0
P {η< x }=
−λ x
1−e , x > 0
фото
Время безотказной работы:
F (x)=P (ξ< x )
о
фото
Высшая школа экономики, Москва, 2018

6.

Модель защиты
В начальный момент времени начинается эксплуатация системы
и назначается плановая профилактика системы через ν ≥ 0,
фото
распределенное по закону
G ( x )=P ( ν< x )
Если к назначенному времени ν = τ система не отказала, то
начинается профилактика системы длительностью γ1
F 1 ( x)=P ( γ 1 < x)
о
Если отказ произошел до назначенного момента ν = τ
(произошло событие {ν≥ξ} ), то начинается аварийное
обновление системы длительностью γ 2
F 2 ( x)=P ( γ2 < x)
Высшая школа экономики, Москва, 2018
фото

7.

Построение управляемого полумарковского процесса
с катастрофами
ξ (t) = 0,
если система в данных момент находится в обновленном
состоянии и исправно функционирует
фото
ξ (t) = 1, если в данных момент происходит профилактика
системы
ξ (t) = 2, если в данных момент происходит аварийное
о
восстановление системы
Таким образом, множество состояний:
Множество управлений:
Высшая школа экономики, Москва, 2018
U 0 =[ 0 ; ∞ )
E={0 ; 1 ; 2}
фото

8.

Построение полумарковского ядра
Qi 0 (t ,u)=P {ξ n+1 = 0, θn+1 < t | ξ n = i , θn = τ , un = u}
= P {γi < t }=F i (t ), i=1, 2
фото
Q ij (t ,u)= 0 , j=1, 2
Q01 (t ,u)=P {ξ n+1= 1, θn+1 < t | ξn = 0, θn =
τ , un = u}
о
u>t
= P {ν< t , ν≤ ξ | ν= u}= 0,
F̄ (u),
u≤ t
{
Q02 (t ,u)=P {ξ n+1= 2, θ n+1 < t | ξ n= 0, θ n= τ , un = u}
u>t
фото
= P {ν> ξ , t > ξ | ν= u}= F (t ),
F (u),
u≤ t
{
Высшая школа экономики, Москва, 2018

9.

Построение управляемого полумарковского процесса
с катастрофами
Воспользуемся формулой:
Q ij (t )=
∫
фото
Q ij (t ,u)G i (du)
u∈U i
Тогда
Q i 0 (t )=F i (t ),
Q ij (t )=0, j=1, 2
t
о
Q 01 (t )=∫ F̄ (u)dG (u)
0
t
Q 02 (t )=∫ F (u)dG (u)+ F̄ (t ) [ 1−G(t ) ]
0
Высшая школа экономики, Москва, 2018
фото

10.

Построение управляемого полумарковского процесса
с катастрофами
Предельным переходом получаем переходные вероятности состояний
Вложенной цепи Маркова:
pij =lim Qij (t ), i , j∈ E
фото
t →∞
∞
p01=∫ F̄ (u)dG(u)
0
∞
p02=∫ F (u)dG(u)
о
0
pi 0=1, pij =0, i , j= 1, 2
фото
Высшая школа экономики, Москва, 2018

11.

Распределение моментов катастроф
F 01( x , t ,u)=P {ηn+1 < x | ξn +1= 1, θn +1= t , ξ n= 0, un +1= u}
0,
x< t
фото
=
1−e−λ (x−t ) ,
x≥ t
{
F 02( x , t ,u)=F 01( x , t ,u)
−λ x
Fi 0 (x ,t , u)=1−e
о
, x≥0, i=1, 2
фото
Высшая школа экономики, Москва, 2018

12.

Распределение моментов катастроф
βij
-- условная вероятность того, что процесс перешел в
состояние j, и на этом переходе не произошло катастрофы
при условии, что процесс пребывал в состоянии i.
фото
βij =P {ξn+ 1= j , θn +1 < ηn +1 | ξ n= i }
βij = ∫
∞
∫ {1−F ij (t , t ,u)}d Qij (t ,u) Gi (du)
u ∈U i 0
о
, где
1−F ij (t ,t , u)=P {ηn +1 > t | ξn +1= j , θ n+ 1= t , ξ n= 0, un +1= u} ,
Qij (t ,u)=P {ξn+ 1= j , θ n+1 < t | ξ n= i , u n+1 = u } ,
G i ( B)=P {un +1∈ B | ξ n=i}
Высшая школа экономики, Москва, 2018
фото

13.

Распределение моментов катастроф
βi=∑ βij
j∈ E
- вероятность того, что на периоде не произошло
катастрофы при условии, что процесс пребывал в
фото
состоянии i.
βi=0
- катастрофа произойдет с вероятностью 1
βi=1
- катастрофа произойдет с вероятностью 0
βi=0
о
Qij (t ,u)=P {ξn+ 1= j , θ n+1 < t | ξ n= i , u n+1 = u } ,
G i ( B)=P {un +1∈ B | ξ n=i}
Высшая школа экономики, Москва, 2018
фото

14.

101000, Россия, Москва, Мясницкая ул., д. 20
Тел.: (495) 621-7983, факс: (495) 628-7931
www.hse.ru