Взаимное расположение прямой и окружности

1.

8 класс
Геометрия

2.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ
Параграф 70-71 (стр.162-165)

3.

Сначала вспомним как задаётся окружность
B
D
Окружность (О, r)
О
A
r
r – радиус
С
АВ – хорда
CD - диаметр

4.

Как вы думаете, сколько общих точек
могут иметь прямая и окружность?
О

5.

Исследуем взаимное расположение прямой
и окружности в первом случае:
Первый случай:
А
Н
В
d
d<r
r
О
две общие точки
АВ – секущая
d – расстояние от центра окружности до прямой

6.

Второй случай:
d=r
одна общая точка
АВ – касательная
А
Н
В
d
r
О
d – расстояние от центра окружности до прямой

7.

Третий случай:
H
d>r
d
r
О
не имеют общих точек
d – расстояние от центра окружности до прямой

8.

Сколько общих точек могут иметь
прямая и окружность?
H
А
Н
В
d
d
r
О
d<r
две общие
точки
Если расстояние от
центра окружности
до прямой меньше
радиуса
окружности, то
прямая и
окружность имеют
две общие точки.
d
r
О
d=r
одна общая
точка
Если расстояние
от центра
окружности до
прямой равно
радиусу
окружности, то
прямая и
окружность
имеют только одну
общую точку.
r
О
d>r
не имеют
общих точек
Если расстояние от
центра окружности до
прямой больше радиуса
окружности, то прямая
и окружность не имеют
общих точек.

9.

Касательная к окружности
Определение: Прямая,
имеющая с
окружностью только
одну общую точку,
называется
касательной к
окружности, а их
общая точка
называется точкой
касания прямой и
окружности.
M
m
s=r
O

10.

Свойство касательной:
Касательная к окружности перпендикулярна
к радиусу, проведенному в точку касания.
m – касательная к
окружности с
центром О
М – точка касания
OM - радиус
m OM
M
m
O

11.

Свойство касательных,
проходящих через одну точку:
▼ По свойству касательной
Отрезки касательных к
1 90o , 2 90o.
окружности, проведенные
из одной точки, равны и
∆АВО, ∆АСО–прямоугольные
составляют равные углы
∆АВО=∆АСО–по гипотенузе
с прямой, проходящей через
эту точку и центр окружности.
и катету:
В
1
О
3
4
2
С
А
ОА – общая,
ОВ=ОС – радиусы
АВ=АС и
3 4
▲

12.

Признак касательной:
Если прямая проходит через конец радиуса,
лежащий на окружности, и
перпендикулярна радиусу, то она является
касательной.
M
окружность с центром О
радиуса OM
m – прямая, которая проходит
через точку М
и
m OM
m – касательная
m
O

13.

Решение задач
(разбираете внимательно каждую задачу)

14.

№ 1.
Дано: Окр. О, r , АВ касательна я
ОА 2см, r 1,5см
Найти: АВ
B
?
1,5
О
2
А

15.

1.
2.
Рассмотрим
АОВ- прямоугольный(?)
AB 2 OA2 OB 2
AB 4 2,25 1,75
B
?
1,5
О
2
А

16.

№ 2.
Дано:
Найти:
Окр. О, r
АB, АС- касательные
ВАС
B
4,5
?
О
К
С
А

17.

-ки АОВ и АОС - равны(?)
1. Рассмотрим
2. BАО= САО
3. BАО и BАО - прямоугольные (?)
4. ОВ =4,5 ОА=9 → (?)
5. BАС= 60
→
B
4,5
?
О
К
С
А

18.

№ 3.
Дано:
Найти:
АВ
Окружность
АВ касательна я
B
?
12
600
О
А

19.

АВ 2 ОА 2 ОВ 2
АВ 24 2 12 2 12 3
или
tg A
OB
AB
1
12
AB
3
B
?
12
600
AB 12 3
О
А

20.

Домашнее задание

21.

Дано:
Найти:
Окружность
АВ касательна я, АО 4см
ОВ
А
B
С
О

22.

Дано:
Найти:
Окружность
АВ касательна я
радиус
B
12
А
13
О

23.

Окружность, R 6
АВ касательна я, ОА ОВ
ОА
Дано:
Найти:
А
16
О
B