Интервальные оценки

1. Интервальные оценки

2.

Проблема № 1: получить численное значение
определенной физической величины А
экспериментальными методами.
Исходной информацией является серия измерений
неизвестной величины А:
x1, x2, … xn
В математической статистике серия измерений
рассматривается как выборка из генеральной
совокупности.
Согласно постулату 2, измеряемая величина А
совпадает с генеральным средним MG
(1)

3.

Генеральная совокупность является бесконечным
множеством значений, характеризуемое
распределением вероятностей.
Существуют дискретные и непрерывные генеральные
совокупности.
Генеральная совокупность обладает числовыми
характеристиками, важнейшие из которых:
генеральное среднее MG
генеральная дисперсия DG

4.

Точечные оценки измеряемой величины
Среднее статистическое
n
1
x
n
Выборочная медиана
i 1
m*
xi
(2)

5.

Состоятельной, несмещенной и эффективной
оценкой
генерального
среднего
MG
нормальной
генеральной
совокупности
является среднее статистическое.
Так как
x
случайная величина, равенство
x MG
является приближенным.
Дисперсия среднего статистического равна
DG /n

6.

1
s
n 1
2
s
n
n
( xi x )
2
несмещенная оценка
генеральной дисперсии
i 1
наилучшая оценка среднеквадратичного
отклонения среднего статистического
Можно ли записать результат измерений в виде :
s
A x
n
???

7.

Доверительный интервал для
измеряемой величины А
(для генерального среднего)
s
s
P x t
MG x t
n
n
где доверительная вероятность.
t – пока неизвестное число
Величина доверительной вероятности
выбирается на основе принципа
практической достоверности
(3)

8.

Уравнение (3) означает, что две случайные
величины
s
x t
n
и
s
x t
n
с вероятностью ограничивают постоянную,
но неизвестную величину MG = A.
безразмерное число t
коэффициент Стьюдента.

9.

Случайное события
s
s
x t
A x t
n
n
и
x A
t
t
s/ n
эквивалентны

10.

Это означает, что случайная величина
x A
s/ n
с вероятностью попадает в интервал,
ограниченный числами t и t .

11.

В теории вероятностей доказано, что если
генеральная совокупность нормальная
(гауссова), то случайная величина
x MG
Tn 1
s/ n
имеет распределение Стьюдента с числом
степеней свободы
= n – 1.

12.

Следовательно, числа t представляют собой
симметричные пределы интегрирования
плотности распределения Стьюдента,
соответствующие вероятности .
t
f St ( x ) dx
t
где fSt – функция плотности случайной
величины с распределением Стьюдента.

13.

выбранная доверительная вероятность.
t квантиль для вероятности (1 + ) / 2.

14.

Процедура построения доверительного
интервала для измеряемой величины.
По данной выборке вычисляются среднее статистическое
и несмещенная оценка дисперсии s2.
x
По заданной доверительной вероятности
степеней свободы
и числу
= n – 1 извлекается из таблицы
значение коэффициента Стьюдента
t , .
Рассчитываются границы доверительного интервала:
s
s
x
t , ; x
t ,
n
n

15.

Доверительный интервал для
генеральной дисперсии
Если генеральная совокупность имеет
нормальное (гауссово) распределение, то
случайная величина
2
(n 1) s
DG
2
имеет распределение вероятностей «хи-квадрат»
с = n – 1 степенями свободы
DG – генеральная дисперсия, n - объем выборки

16.

Определим числа 12 и 22 следующими
уравнениями для вероятностей событий
(n 1) s
2 1
P
1
D
2
G
(12)
( n 1) s 2
1
2
P
2
2
DG
(13)
2

17.

Согласно уравнению (12), вероятность того, что
значение случайной величины 2 не превысит
числа 12, равна (1 – ) / 2.
Согласно уравнению (13), вероятность того, что
значение той же случайной величины 2
превышает число 22 , равна также (1 – ) / 2.

18.

f( 2)
=5
= 0,95
12
2
22
Заштрихованы области под кривой, площадь которых
равна (1 – ) / 2

19.

Вероятностное уравнение, эквивалентное
уравнениям (12) и (13) имеет вид :
( n 1) s
( n 1) s
P
D
G
2
2
1
2
2
2
12 квантиль для вероятности (1 - ) / 2.,
22 квантиль для вероятности (1 + ) / 2.

20.

Иначе говоря, доверительной вероятности
соответствует следующий доверительный
интервал для генеральной дисперсии
( n 1) s
2
2
2
DG
( n 1) s
2
1
2
(14)
Величины 12 и 22 извлекаются из таблиц квантилей
случайной величины «хи-квадрат», составленными для
различных доверительных вероятностей и
определённых чисел степеней свободы .

21.

Наилучшей оценкой генеральной дисперсии
является
DG s
2
где
1
s
n 1
2
n
i 1
( xi x )
2

22.

Извлечение квадратного корня из всех частей
неравенств (4) дает доверительный интервал
для генерального среднеквадратичного
G DG
s n 1
s n 1
G
2
1