Экстремумы функции

1.

2. Цели урока

• Познакомиться с определениями
точек экстремума функции
• Познакомиться с достаточными
условиями экстремума функции
• Рассмотреть алгоритм нахождения
точек экстремума

3. Устные упражнения

• Функция возрастает на промежутке и имеет на
нем производную. Назовите знак производной.
• Функция убывает на промежутке и имеет на нем
производную. Назовите знак производной.
• Производная функции положительна на
некотором промежутке. Определите характер
монотонности функции на этом промежутке.
• Производная функции отрицательна на некотором
промежутке. Определите характер монотонности
функции на этом промежутке.
• Расскажите алгоритм исследования функции на
монотонность.

4. Устные упражнения

• Знак производной f‘(x) меняется по
схеме, изображенной на рисунке.
Определите, на каких промежутках
функция возрастает и на каких
убывает.
f‘(x)
+
-6
0
+
1
3
х

5. Устные упражнения

у
• По характеру
изменения графика
функции укажите,
на каких
промежутках
производная
положительна, на
каких отрицательна.
у=f(x)
-5
-2
0
1 2 3
4
х

6. Устные упражнения

у
• На рисунке
изображен график
производной
функции f(x),
определенной на
интервале (-8; 3).
Найдите
промежутки
возрастания
функции f(x).
у=f'(x)
-8
0 1
3
х

7. Устные упражнения

у
• На рисунке
изображен график
производной
функции f(x),
определенной на
интервале (-3; 8).
Найдите
промежутки
убывания
функции f(x).
у=f'(x)
-3
0
1
8
х

8. Точки экстремума функции и их нахождение

у
На рисунке
изображен график
функции f(x),
определенной на R.
1) Найдите
промежутки
возрастания и
убывания функции
f(x).
2) Назовите точки, в
которых происходит
изменение
характера
монотонности
функции.
у=f(x)
-5
-3
-1 0
1 2
8
х

9. Точки экстремума функции и их нахождение

Точки экстремума функции
и их нахождение
На рисунке
изображен график
производной
функции f(x),
определенной R.
1) Найдите
промежутки
возрастания и
убывания функции
f(x).
2) Назовите точки, в
которых происходит
изменение
характера
монотонности
функции.
у
у=f'(x)
-3
0
1
8
х

10. Точки экстремума функции и их нахождение

• Точку х = х0
• Точку х = х0
называют точкой
называют точкой
максимума
минимума
функции у = f(х),
функции у = f(х),
если у этой точки
если у этой точки
существует
существует
окрестность, для
окрестность, для
всех точек
всех точек
которой
которой
выполняется
неравенство
выполняется
f(x) ≤ f(x0).
неравенство
f(x) ≥ f(x0).

11. Точки экстремума функции и их нахождение

у
На рисунке
изображен
график функции
f(x), определенной
на R.
Назовите точки
экстремума
данной функции.
у=f(x)
-5
-3
-1 0
1 2
8
х

12. Точки экстремума функции и их нахождение

Точки экстремума функции
и их нахождение
На рисунке
изображен график
производной
функции f(x),
определенной R.
1) Назовите точки
экстремума
функции у = f(x).
2) Чему равно
значение
производной
функции в точках
экстремума?
у
у=f'(x)
-3
0
1
8
х

13. Точки экстремума функции и их нахождение

Если функция у = f(x) имеет
экстремум в точке х = х0, то в этой
точке производная либо равна нулю,
либо не существует.
Точки, в которых f‘(x) = 0, стационарные точки.
Точки, в которых f‘(x) имеет
производную, равную нулю, или не
существует, - критические точки.

14. Схема для нахождения точек экстремума функции

f‘(x)
-
х0
+
min
f‘(x)
+
+
f‘(x)
х
х
х0
Экстремума
нет
+
-
х
х0
max
f‘(x)
-
-
х
х0
Экстремума
нет

15. Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы

1) Найти область определения функции
D(f)
2) Найти f‘(x).
3) Найти стационарные (f‘(x) = 0) и
критические (f‘(x) не существует) точки
функции y = f(x).
4) Отметить стационарные и критические
точки на числовой прямой и определить
знаки производной на получившихся
промежутках.
5) Сделать выводы о монотонности
функции и точках ее экстремума.

16. Примеры

4
x
Исследовать функцию y 216
x
на монотонность и экстремумы.
Решение.
1) D(y) = (-∞; 0) U (0; +∞)
4 x 3 x 2 ( x 4 16) 2 x 2 x 5 32 x 2( x 2)( x 2)( x 2 4)
2) y
4
4
x
x
x3
3) у‘ = 0 при х = 2, х = -2.
у‘ не существует при х = 0.
f‘(x)
-
+
-2
min
+
0
2
min
Функция убывает на (-∞; -2] и на (0; 2].
Функция возрастает на [-2; 0) и на [2; +∞).
х

17. Примеры

Исследуйте функцию
у = х3 – 6х2 + 9х - 1 на
монотонность и
экстремумы.
Решение.
1) D(y) = …
(- ∞; + ∞)
2) у‘ = …
3х2 – 12х + 9
3) у‘ = 0 при х = 1;
…3
+
+
1
3
Функция возрастает на
(- ∞;…1] U [3; + ∞)
Функция убывает на …
[1; 3]
1 - точка максимума
х=…
х=…
3 - точка минимума.

18. Выполните задание

1.Найдите точку максимума функции
2.Наидите точку минимума функции