Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла

1. Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла

ВЫЧИСЛЕНИЕ
ОБЪЕМОВ
ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ
ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА

2. Проблема: найти объем мороженицы

3. Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла

4. Алгебра Определенный интеграл

Если функция f(x) непрерывна на
промежутке числовой оси, содержащей
точки х=а и х=b, то разность значений
F(b)-F(a) (где F(x) - первообразная f(x) на
данном промежутке называется
определенным интегралом от функции
f(x) от a до b.
b
a
f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) ba

5.

Алгебра
У
O
y=f(x)
a
b
х
Определение криволинейной трапеции
Если функция y = f(x) определена, неотрицательна и
непрерывна на отрезке [a; b],тогда график кривой
у=f(x) на [a; b], ось OX, прямые x = a, x = b образуют
криволинейную трапецию.
Рассмотрим тело, образованное вращением этой криволинейной
трапеции вокруг оси OX и найдем его объем.

6. Определение тела вращения

Тело, полученное
вращением криволинейной
трапеции вокруг её
основания, называется
телом вращения

7.

Разобьем отрезок [a;b] на n частей произвольным
образом, через каждую точку деления проведем
плоскость, перпендикулярную к оси ОХ и найдём
площади полученных поперечных сечений.
У
O
Любое
поперечное
сечение тела
вращения –
круг.
y=f(x)
х

8.

Построим на каждом промежутке
цилиндрическое тело, образующая которого
параллельна оси ОХ,
а основанием является сечение - круг.
y
y=f(x)
f(xс)
Радиус круга равен
значению функции в хс
.
Площадь этого круга –
S(x) = π f 2 (xс)
r
xс
Объём цилиндра –
V=S(x)∙ Δx

9.

Объем каждого цилиндра с основанием
S(x) и высотой Δx равен S(x)∙ Δx , а объем
всего ступенчатого тела равен сумме
объёмов всех цилиндров.
n
VCT S ( xk ) xk
k 1
b
V lim VCT S ( x) x
n
a

10.

Предел полученной интегральной суммы, при n → ∞
равен определенному интегралу.
Тогда объем тела вращения вокруг оси ОХ:
b
b
b
a
a
a
V S ( x) x f 2 ( x) x f 2 ( x) x
Если тело образовано вращением криволинейной
трапеции, образованной функцией у=f(x) на отрезке
[a;b],вокруг оси ОХ, то его объём можно найти по
формуле:
y=f(x)
y
b
V f ( x) x
2
x
a

11. Замечание!

Объем тела вращения вычисляется по
одной из формул:
,если вращение
криволинейной трапеции вокруг оси ОХ.
, если вращение
криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.

12. Алгоритм решения задач:

Сделать приблизительный график
заданных функций, ограничивающих
плоскую фигуру, при вращении которой
образуется тело вращения;
Найти пределы интегрирования;
Выяснить какой формулой удобно
пользоваться в данном случае;
Вычислить объем тела вращения.

13.

b
V f 2 ( x) x
Задача.
a
Пусть тело образовано вращением параболы у=х2
на отрезке [0;2] вокруг оси ОХ.
Найдите объём тела вращения.
у
2
у=х2
2
V S ( x) x ( х ) x
2 2
0
0
5 2
2
О
2
х
х
х x
5
0
4
0
32
(куб .ед.)
5

14.

b
V f 2 ( x) x
Задача.
a
Пусть тело образовано вращением функции у=0,5x
на отрезке [0;4] вокруг оси ОХ.
Найдите объём тела вращения.
y
y 0,5 х
4
V (0,5х) x
2
O
4
x
0
0,25x
3
3
4
0
16
( кв.ед.)
3

15. Теперь, давайте, рассмотрим башню для радиостанции в Москве на Шаболовке, построенной по проекту русского инженера, почётного

академика В. Г.
Шухова. Она состоит из частей – гиперболоидов
вращения. А спутниковые антенны состоят из
параболоидов вращения

16. Задача. Пусть тело образовано вращением параболы у=х2 на отрезке [0;4] вокруг оси ОУ. Найдите объём тела вращения.(параболоид)

4
V ( у ) у
2
0
2
у
2
4
0
8 ( кв .ед.)

17. Решение проблемы: Как найти объем мороженицы?

Поверхность тела
получена вращением
фигуры, образованной
графиками функций:
у 0,5x 2 1, на [ 3; 2]
у 6 x 12 3, на [2; 8]
у 4 x 4 , на [4; 8]

18. Решение:

у 0,5x 2 1, на [ 3; 2]
у 6 x 12 3, на [2; 8]
у 4 x 4 , на [4; 8]

19. Схема решения

b
V f 2 ( x) x
a
V Vîñíîâàíèÿ V÷àøè Vâûåìêè
2
Vоснования 0,5x 1 x
2
2
3
8
Vчаши
2
6 x 12 3 x
2
8
Vвыем ки 4 4 x 4 x
4
2

20. Вычисление определённых интегралов

b
V f 2 ( x) x
a
V Vоснования Vчаши Vвыемки
2
2
Vоснования 0,5 x 2 1 x (0,25x 4 x 2 1) x
30 125 куб .ед.
3
3
8
Vчаши
2
8
2
8
6 x 12 3 x (6 x 12 6 6 x 12 9) x
2
306 куб .ед.
2
8
Vвыем ки 4 4 x 4 x 16(4 x 4) x 128 куб .ед.
2
4
Vкубка 208 125 654.4куб .ед
4

21.  

Самостоятельная работа