Определенный интеграл
Задача о вычислении площади плоской фигуры
Задача о вычислении площади плоской фигуры
Задача о вычислении площади плоской фигуры
Определенный интеграл
Определенный интеграл
Определенный интеграл
Теорема о существовании определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
Теорема о среднем
Вычисление определенного интеграла
Пример
Вычисление интеграла
Пример
Пример
Несобственный интеграл
Пример
Пример
Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление площадей
Вычисление площадей
Вычисление площадей
Вычисление площадей
Примеры
Продолжение
Примеры
Пример
Вычисление длины дуги
Длина дуги в декартовых координатах
Длина дуги в полярных координатах
Примеры
Вычисление объема тела вращения.
Вычисление объема тела вращения
Вычисление объема тела вращения
Решение
543.50K
Категория: МатематикаМатематика

Определенный интеграл

1. Определенный интеграл

2. Задача о вычислении площади плоской фигуры

Решим задачу о вычислении площади
фигуры, ограниченной графиком функции f x
, отрезками прямых x a x b
и осью Ox.Такую фигуру называют
криволинейной трапецией
a
xi 1 xi
b

3. Задача о вычислении площади плоской фигуры

Разобьем отрезок a, b на n частей
точками a x0 , x1, x2 ,..., xi 1, xi ,..., xn b .
При этом криволинейная трапеция разобьется
на n элементарных криволинейных
трапеций. Заменим каждую такую
криволинейную трапецию прямоугольником с
основанием xi xi xi 1 , где i 1,2,.., n и
высотой h f xi , где xi -произвольно
выбранная внутри отрезка xi 1, xi точка.

4. Задача о вычислении площади плоской фигуры

Площадь прямоугольника будет
равна Si f xi xi , а площадь
всей криволинейной фигуры
приблизительно будет равна
сумме площадей всех
прямоугольников:
n
n
i 1
i 1
S Si f xi xi .

5. Определенный интеграл

Определение.
n
Выражение f xi xi , где
i 1
xi xi xi 1 , называется
интегральной суммой функции f x
на отрезке a, b .

6. Определенный интеграл

Определение.
Если существует конечный
n
lim
f xi xi , не
max xi 0 i 1
зависящий ни от способа разбиения отрезка
a, b на части, ни от выбора точек xi xi 1 , xi ,
то этот предел называется определенным
интегралом функции f x на отрезке a, b и
b
обозначается f x dx .
a

7. Определенный интеграл

Замечание.
С геометрической точки зрения
b
при f x 0 f x dx равен
a
площади криволинейной
трапеции

8. Теорема о существовании определенного интеграла

Теорема.
Если функция f x непрерывна на
отрезке a, b , то
n
f xi xi
lim
max xi 0 i 1
существует и конечен, т.е.
b
существует и конечен f x dx .
a

9. Свойства определенного интеграла

a
1. f x dx 0 ;
a
b
2. dx b a ;
a
b
a
3. f x dx f x dx ;
a
b
b
4. f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
a
b
b
a
a

10. Свойства определенного интеграла

b
b
a
b
a
5. Kf x dx K f x dx ;
c
b
a
c
6. f x dx f x dx f x dx ;
a
b
7. f x dx 0 , если f x 0 .
a

11. Теорема о среднем

Если функция непрерывна на
[то
a, b],
[a, b],
существует
такая точка
b
что f ( x)dx f ( )(b a).
a
y f (x)
a
b

12. Вычисление определенного интеграла

Теорема.
Пусть F x - первообразная функции f x .
b
Тогда f x dx F b F a .
a
Эту формулу называют формулой
Ньютона-Лейбница, из которой следует,
что для вычисления определенного
интеграла необходимо найти
первообразную подынтегральной функции.

13. Пример

3
e
Вычислить
0
x
3 dx.
x
1
1
3
3 x
x
e 3 dx e 3 dx 3e 3
0
0
3 e
1
3
1
1 3
0
3 e 3 e 3
0
1 e
1
1 3 1 3
e
e

14. Вычисление интеграла

Теорема (Замена переменной в
определенном интеграле).
Пусть f x непрерывна на a, b , а
функция x t непрерывна вместе
со своей производной t на
отрезке , , причем a ,
b . Тогда
b
a
f x dx f t t dt .

15. Пример

x 1 t
x 1 t 2
3
2 t 2 1
xdx
x t 2 1, dx 2tdt
1
x 1
x 0, t 1
x 3, t 2
0
t
2
2tdt
t
8
1
2 t 1 dt 2 t 1 dt 2 t 2 2 1
3
1
1
3
3
1
1
4 8
8
7
2 2 1 2 1 2
3
3 3
3
3
2
2
2
2
3

16.

Теорема (Интегрирование по
частям в определенном
интеграле).
Если функции u u x , v v x и их
производные u x и
v x непрерывны на отрезке a, b , то
b
b
a
a
b
udv u v vdu .
a

17. Пример

dx
u ln x, du
e e dx
x x ln x 1 x
ln xdx
x
1
1
dv dx, v x
e
e e
e
x ln x 1 dx e ln e ln 1 x 1 e e 1 1
1

18. Несобственный интеграл

Замечание.
f x dx не является определенным интегралом.
a
Считается по определению, что
b
a
b a
f x dx lim f x dx . Если этот предел
конечен, то f x dx , называемый
a
несобственным, сходится.
Если же этот предел не является конечным, то
интеграл расходится.

19. Пример

. Вычислить несобственный интеграл
xdx
0 x 2 4
(или установить его расходимость)
b
2
b
xdx
1
d
(
x
4) 1
2
.
lim
lim ln( x 4)
x 4
2
0
2 b 0 x 2 4
2 b
0
1
lim (ln(b 2 4) ln 4)
2 b
Этот несобственный интеграл расходится.

20. Пример

Несобственный интеграл
dx
0 x 2 4
1
b 1
lim arctg arctg ( )
b 2
2 2
2 2 4

21. Геометрические приложения определенного интеграла

22. Вычисление площадей

y
Площадь фигуры в декартовых
координатах.
y f x
x
0
a
b
Площадь такой
фигуры, называемой
криволинейной
трапецией,
вычисляют по
b
формуле S f x dx .
a

23. Вычисление площадей

Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных
функций y f 1 x , y f 2 x , f 1 x f 2 x и двумя прямыми
b
x a и x b определяется по формуле S f 2 x f1 x dx
a

24. Вычисление площадей

В случае параметрического задания
кривой, площадь фигуры, ограниченной
прямыми x a, x b
, осью Ох и кривой
x (t ),
y (t ),
t2
вычисляют по
формуле
S (t ) (t )dt ,
.
t1
где пределы интегрирования определяют из
уравнений
a .(t1 ), b (t 2 )

25. Вычисление площадей

Площадь полярного сектора вычисляют по
формуле
1 2
S r ( )d
2
r r ( )
.
β
α

26. Примеры

Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями
и y x 2 2x 3
y x 2 1

27. Продолжение

Получим
S x 2 x 3 x 1 dx 2 x 2 x 4 dx
1
2
1
2
2
2
2
1
x
x
2 x x 2 dx 2
2
x
3
2
2
2
1
2
3
2
1 1
8
8 4
1 1
2 2 4 2 2 6
3
3 2
3 2
3 2
1
9
2 3 8 2 9
2
2

28. Примеры

x2 y2
. 2 1
Найти площадь эллипса
2
a
b
Параметрические уравнения эллипса
x a cos t , y b sin t.
0
S 4 b sin t ( a sin t )dt
/2
у
/2
b
х
о
a
/2
1 cos 2t
4ab sin tdt 4ab
dt
2
0
0
2
1
1
/2
4ab(t sin 2t ) 0 2ab ab.
2
2
2

29. Пример

Площадь фигуры, ограниченной
2
2
лемнискатой Бернулли
r a cos 2
a
и лежащей вне круга радиуса
r :
2
/6
/6
/6
2
1
1 a
1 2
1 2
2
a cos 2 d
d ( a sin 2 a )
2 0
2 0 2
4
4
0
1 2
a2
3
a2
a (sin )
(
)
( 3 )
4
3 6
4 2 6
8
3
a2
S
( 3 )
2
3

30. Вычисление длины дуги

Если кривая задана параметрическими
t длина ее
уравнениями x , t y
, то
дуги
t2
l
t 2 t 2 dt
,
где t1 ,t 2 –значения параметра,
соответствующие концам дуги .
t1

31. Длина дуги в декартовых координатах

y , f x
Если кривая
задана уравнением
b
2
l
1
f
x
dx a, b–абсциссы начала
то
, где
a
и конца дуги
. a b
Если кривая заданаd уравнением
x g y, то
l 1 g y 2 dy
, где c, d–
c d
ординаты начала иc конца дуги

32. Длина дуги в полярных координатах

Если кривая задана уравнением в полярных
координатах
, то
l
2
2 d
,
где , –значения полярного угла,
соответствующие концам дуги .

33. Примеры

Вычислить длину дуги кривой
y x
от точки O 0,0 до
. 8
B 4,
3
1
3
y x 2 x 2
2
, тогда
4
4
9
4
9 9
l 1 x dx
1 xd 1 x
4
90
4 4
0
4 2 9
1 x
9 3 4
3
2
4
8
10 10 1
27
0
3

34. Вычисление объема тела вращения.

Объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ox криволинейной трапеции,
ограниченной кривой y f ,xотрезком
оси абсцисс
и прямыми
,
a x b
, xb b
вычисляетсяx
поaформуле
.
Vx π
f x dx
2
a

35. Вычисление объема тела вращения

Объем тела, образованного вращением
вокруг оси Oy фигуры, ограниченной
кривой x g y , отрезком оси ординат
c y d , вычисляется
y по
c, y d
и прямыми
формуле
d
Vy
g
y
dy
.
2
c

36. Вычисление объема тела вращения

y x2
y
y
1
А
0
1
x
Искомый объем можно
найти как разность
объемов, полученных
вращением вокруг оси
Ox криволинейных
трапеций,
ограниченных
линиями
и
Рис. 14
y x
y x
2

37. Решение

x dx x dx
1
Тогда
Vx
1
1
1
2
0
0
2 1
x
xdx x dx
2
0
0
4
3
2 5 10
0
2 2
5 1
x
5
0
English     Русский Правила