Определенный интеграл

1. Определенный интеграл

2. Задача о вычислении площади плоской фигуры

Решим задачу о вычислении площади
фигуры, ограниченной графиком функции f x
, отрезками прямых x a x b
и осью Ox.Такую фигуру называют
криволинейной трапецией
a
xi 1 xi
b

3. Задача о вычислении площади плоской фигуры

Разобьем отрезок a, b на n частей
точками a x0 , x1, x2 ,..., xi 1, xi ,..., xn b .
При этом криволинейная трапеция разобьется
на n элементарных криволинейных
трапеций. Заменим каждую такую
криволинейную трапецию прямоугольником с
основанием xi xi xi 1 , где i 1,2,.., n и
высотой h f xi , где xi -произвольно
выбранная внутри отрезка xi 1, xi точка.

4. Задача о вычислении площади плоской фигуры

Площадь прямоугольника будет
равна Si f xi xi , а площадь
всей криволинейной фигуры
приблизительно будет равна
сумме площадей всех
прямоугольников:
n
n
i 1
i 1
S Si f xi xi .

5. Определенный интеграл

Определение.
n
Выражение f xi xi , где
i 1
xi xi xi 1 , называется
интегральной суммой функции f x
на отрезке a, b .

6. Определенный интеграл

Определение.
Если существует конечный
n
lim
f xi xi , не
max xi 0 i 1
зависящий ни от способа разбиения отрезка
a, b на части, ни от выбора точек xi xi 1 , xi ,
то этот предел называется определенным
интегралом функции f x на отрезке a, b и
b
обозначается f x dx .
a

7. Определенный интеграл

Замечание.
С геометрической точки зрения
b
при f x 0 f x dx равен
a
площади криволинейной
трапеции

8. Теорема о существовании определенного интеграла

Теорема.
Если функция f x непрерывна на
отрезке a, b , то
n
f xi xi
lim
max xi 0 i 1
существует и конечен, т.е.
b
существует и конечен f x dx .
a

9. Свойства определенного интеграла

a
1. f x dx 0 ;
a
b
2. dx b a ;
a
b
a
3. f x dx f x dx ;
a
b
b
4. f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
a
b
b
a
a

10. Свойства определенного интеграла

b
b
a
b
a
5. Kf x dx K f x dx ;
c
b
a
c
6. f x dx f x dx f x dx ;
a
b
7. f x dx 0 , если f x 0 .
a

11. Теорема о среднем

Если функция непрерывна на
[то
a, b],
[a, b],
существует
такая точка
b
что f ( x)dx f ( )(b a).
a
y f (x)
a
b

12. Вычисление определенного интеграла

Теорема.
Пусть F x - первообразная функции f x .
b
Тогда f x dx F b F a .
a
Эту формулу называют формулой
Ньютона-Лейбница, из которой следует,
что для вычисления определенного
интеграла необходимо найти
первообразную подынтегральной функции.

13. Пример

3
e
Вычислить
0
x
3 dx.
x
1
1
3
3 x
x
e 3 dx e 3 dx 3e 3
0
0
3 e
1
3
1
1 3
0
3 e 3 e 3
0
1 e
1
1 3 1 3
e
e

14. Вычисление интеграла

Теорема (Замена переменной в
определенном интеграле).
Пусть f x непрерывна на a, b , а
функция x t непрерывна вместе
со своей производной t на
отрезке , , причем a ,
b . Тогда
b
a
f x dx f t t dt .

15. Пример

x 1 t
x 1 t 2
3
2 t 2 1
xdx
x t 2 1, dx 2tdt
1
x 1
x 0, t 1
x 3, t 2
0
t
2
2tdt
t
8
1
2 t 1 dt 2 t 1 dt 2 t 2 2 1
3
1
1
3
3
1
1
4 8
8
7
2 2 1 2 1 2
3
3 3
3
3
2
2
2
2
3

16.

Теорема (Интегрирование по
частям в определенном
интеграле).
Если функции u u x , v v x и их
производные u x и
v x непрерывны на отрезке a, b , то
b
b
a
a
b
udv u v vdu .
a

17. Пример

dx
u ln x, du
e e dx
x x ln x 1 x
ln xdx
x
1
1
dv dx, v x
e
e e
e
x ln x 1 dx e ln e ln 1 x 1 e e 1 1
1

18. Несобственный интеграл

Замечание.
f x dx не является определенным интегралом.
a
Считается по определению, что
b
a
b a
f x dx lim f x dx . Если этот предел
конечен, то f x dx , называемый
a
несобственным, сходится.
Если же этот предел не является конечным, то
интеграл расходится.

19. Пример

. Вычислить несобственный интеграл
xdx
0 x 2 4
(или установить его расходимость)
b
2
b
xdx
1
d
(
x
4) 1
2
.
lim
lim ln( x 4)
x 4
2
0
2 b 0 x 2 4
2 b
0
1
lim (ln(b 2 4) ln 4)
2 b
Этот несобственный интеграл расходится.

20. Пример

Несобственный интеграл
dx
0 x 2 4
1
b 1
lim arctg arctg ( )
b 2
2 2
2 2 4

21. Геометрические приложения определенного интеграла

22. Вычисление площадей

y
Площадь фигуры в декартовых
координатах.
y f x
x
0
a
b
Площадь такой
фигуры, называемой
криволинейной
трапецией,
вычисляют по
b
формуле S f x dx .
a

23. Вычисление площадей

Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных
функций y f 1 x , y f 2 x , f 1 x f 2 x и двумя прямыми
b
x a и x b определяется по формуле S f 2 x f1 x dx
a

24. Вычисление площадей

В случае параметрического задания
кривой, площадь фигуры, ограниченной
прямыми x a, x b
, осью Ох и кривой
x (t ),
y (t ),
t2
вычисляют по
формуле
S (t ) (t )dt ,
.
t1
где пределы интегрирования определяют из
уравнений
a .(t1 ), b (t 2 )

25. Вычисление площадей

Площадь полярного сектора вычисляют по
формуле
1 2
S r ( )d
2
r r ( )
.
β
α

26. Примеры

Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями
и y x 2 2x 3
y x 2 1

27. Продолжение

Получим
S x 2 x 3 x 1 dx 2 x 2 x 4 dx
1
2
1
2
2
2
2
1
x
x
2 x x 2 dx 2
2
x
3
2
2
2
1
2
3
2
1 1
8
8 4
1 1
2 2 4 2 2 6
3
3 2
3 2
3 2
1
9
2 3 8 2 9
2
2

28. Примеры

x2 y2
. 2 1
Найти площадь эллипса
2
a
b
Параметрические уравнения эллипса
x a cos t , y b sin t.
0
S 4 b sin t ( a sin t )dt
/2
у
/2
b
х
о
a
/2
1 cos 2t
4ab sin tdt 4ab
dt
2
0
0
2
1
1
/2
4ab(t sin 2t ) 0 2ab ab.
2
2
2

29. Пример

Площадь фигуры, ограниченной
2
2
лемнискатой Бернулли
r a cos 2
a
и лежащей вне круга радиуса
r :
2
/6
/6
/6
2
1
1 a
1 2
1 2
2
a cos 2 d
d ( a sin 2 a )
2 0
2 0 2
4
4
0
1 2
a2
3
a2
a (sin )
(
)
( 3 )
4
3 6
4 2 6
8
3
a2
S
( 3 )
2
3

30. Вычисление длины дуги

Если кривая задана параметрическими
t длина ее
уравнениями x , t y
, то
дуги
t2
l
t 2 t 2 dt
,
где t1 ,t 2 –значения параметра,
соответствующие концам дуги .
t1

31. Длина дуги в декартовых координатах

y , f x
Если кривая
задана уравнением
b
2
l
1
f
x
dx a, b–абсциссы начала
то
, где
a
и конца дуги
. a b
Если кривая заданаd уравнением
x g y, то
l 1 g y 2 dy
, где c, d–
c d
ординаты начала иc конца дуги

32. Длина дуги в полярных координатах

Если кривая задана уравнением в полярных
координатах
, то
l
2
2 d
,
где , –значения полярного угла,
соответствующие концам дуги .

33. Примеры

Вычислить длину дуги кривой
y x
от точки O 0,0 до
. 8
B 4,
3
1
3
y x 2 x 2
2
, тогда
4
4
9
4
9 9
l 1 x dx
1 xd 1 x
4
90
4 4
0
4 2 9
1 x
9 3 4
3
2
4
8
10 10 1
27
0
3

34. Вычисление объема тела вращения.

Объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ox криволинейной трапеции,
ограниченной кривой y f ,xотрезком
оси абсцисс
и прямыми
,
a x b
, xb b
вычисляетсяx
поaформуле
.
Vx π
f x dx
2
a

35. Вычисление объема тела вращения

Объем тела, образованного вращением
вокруг оси Oy фигуры, ограниченной
кривой x g y , отрезком оси ординат
c y d , вычисляется
y по
c, y d
и прямыми
формуле
d
Vy
g
y
dy
.
2
c

36. Вычисление объема тела вращения

y x2
y
y
1
А
0
1
x
Искомый объем можно
найти как разность
объемов, полученных
вращением вокруг оси
Ox криволинейных
трапеций,
ограниченных
линиями
и
Рис. 14
y x
y x
2

37. Решение

x dx x dx
1
Тогда
Vx
1
1
1
2
0
0
2 1
x
xdx x dx
2
0
0
4
3
2 5 10
0
2 2
5 1
x
5
0