Основы финансовых вычислений. Сложные проценты

1. Основы финансовых вычислений сложные проценты

2.

Сложные проценты
Начисление сложных годовых
процентов
Присоединение начисленных процентов к
сумме, которая служила базой для их
начисления, называют капитализацией
процентов, а способ вычисления процентных
платежей по сложным процентам –
вычислением "процента на процент".

3.

Рассчитаем наращенную сумму при условии, что
проценты начисляются и капитализируются один раз в
год.
Пусть первоначальная сумма долга равна P,
в конце первого года сумма долга
с присоединенными процентами составит
P + Pi = P (1+i),
к концу второго года: P(1+i) + P(1+i)i = P(1+i)2 и т.д. К
концу n-го года первоначальная сумма достигнет
величины
S = P(1+i)n,
где S – наращенная сумма, Р – первоначальная сумма, i
– годовая ставка сложных процентов,
n – срок ссуды, выраженный в годах.

4.

Пример 1. Ссуда величиной 700 рублей выдана
на 4 года при ставке сложных процентов,
равной 20% годовых. Определить величину
процентного платежа и сумму накопленного
долга.
Решение.
По формуле находим:
S = P(1+i)n = 700·(1+ 0,2)4 = 1451,52 руб. –
наращенная сумма.
Проценты за 4 года: I = S – P = 751,52 руб.
Для тех же данных при начислении простых
процентов мы получили S = 1260 руб.

5.

6.

Наращение процентов m раз в году.
Номинальная и эффективная ставки
процентов.
j – годовая ставка сложных процентов,
m – число периодов начисления в году.
Тогда каждый раз проценты начисляются по
ставке j/m. Ставка j называется номинальной.
S=P(1+ j/m)mn
Чем чаще начисляются проценты, тем
быстрее идет процесс наращения!

7.

Пример 2. Ссуда величиной 700 руб. выдана на 4 года.
Номинальная ставка сложных процентов – 20%
годовых. Определить сумму накопленного долга, если
начисление процентов производится: (1) раз в году; (2)
раз в полугодие; (3) раз в квартал.
Решение.
(1) m = 1; j/m = 0,2; nm = 4.
S=P(1+ j/m)n=700·(1+0,2)4=700·2,0736 = 1451,52руб.
(2) m = 2; j/m = 0,2/2 = 0,1; nm = 4·2 = 8.
S=700·(1+0,01)8=700·2,143589=1500,51руб.
(3) m=4; j/m = 0,2/4 = 0,05; nm = 4·4 = 16.
S=700·(1+0,05)16=700·2,182875=1528,01руб.

8.

Эффективная ставка
iэ – это годовая ставка сложных процентов,
которая дает тот же результат, что и m-разовое
начисление процентов по ставке j/m.
(1+iэ)n=(1+ j/m)nm
(iэ – эффективная, j – номинальная ставки)
Связь между эффективной и номинальной
ставками:
m
iэ (1 j / m) 1;
j m((1 iэ )1/ m 1) m( m 1 iэ 1).
При m > 1 iэ > j.

9.

Уравнивающей (iур) называется периодическая
процентная ставка, при которой капитал при mразовой капитализации и начислении процентов
1 раз в год дает одинаковый результат.
(1 i ур ) mn (1 j ) n
i ур m 1 j 1
j
i ур
m

10.

Начисление процентов при дробном числе лет.
Способы расчета:
1) Общий метод
S=P(1+j/m)N, где N – число (возможно дробное)
периодов начисления;
2) Смешанный метод
S=P(1+j/m)а·(1+b·j/m),
(a – целое число периодов начисления (a=[N]),
b – оставшаяся дробная часть (b=N-a));
3) Начисление только за целое число периодов
начисления: S=P(1+j/m)а.

11.

Операции со сложной учетной
ставкой
Математический
учет.
1
P S
(1 i ) n
1
дисконтный множитель
n
(1 i )
1
Дисконт : D S P S 1
n
(1 i )
Для случаев, когда проценты начисляются m раз
в году, получим:
1
P S
mn
(1 j / m)

12.

Пример 3. Сумма в 5 тыс. руб. выплачивается
через 5 лет. Необходимо определить ее
современную величину при условии, что
применяется ставка сложных процентов, равная
15% годовых.
Решение. Дисконтный множитель для данных
условий составит 1/(1+0,15)5=0,49718.
Современная величина равна
P = 5000·0,49718 = 2485,88 руб.
Дисконт D = 2514,12 руб.

13.

Банковский учет.
P=S(1 – dсл)n
(dсл – сложная годовая учетная ставка)
Дисконт: D = S – P = S(1– (1– dсл)n).
При использовании сложной учетной ставки
процесс дисконтирования происходит с
прогрессирующим замедлением.

14.

Пример 4. Долговое обязательство на сумму
5000 руб., срок оплаты которого наступает через
5 лет, продано с дисконтом по сложной учетной
ставке 15% годовых. Каков размер полученной
за долг суммы и величина дисконта?
Решение. Полученная сумма (современная
величина) равна
P = 5000·(1 - 0,15)5=5000·0,4437=2218,53 руб.
Дисконт составил D=5000-2218,53=2781,47 руб.
При простой учетной ставке того же размера:
P=5000·(1 - 5·0,15)=1250 руб.;
D= 5000 - 1250=3750 руб.

15.

Номинальная и эффективная учетные ставки
процентов.
В тех случаях, когда дисконтирование
применяют m раз в году, используют
номинальную учетную ставку f.
P=S(1-f/m)mn
Дисконтирование не один, а m раз в году
быстрее снижает величину дисконта.

16.

Пример 5. Долговое обязательство на сумму
5000 руб., срок оплаты которого наступает через
5 лет, продано с дисконтом. Определить сумму,
полученную при поквартальном учете по
номинальной учетной ставке 15%.
Решение. f = 0,15; m = 4; mn = 20
Полученная за долг сумма составит
P = 5000·(1-0,15/4)20= 5000·0,4656= 2328 руб.
D = 2672руб.
(В примере (4) P=2218,53 руб.; D= 2781,47 руб.)

17.

Под эффективной учетной ставкой (dсл)
понимают сложную годовую учетную ставку,
эквивалентную (по финансовым результатам)
номинальной, применяемой при заданном числе
дисконтирований в году m.
(1-f/m)mn=(1-dсл)n
dсл=1-(1-f/m)m;
f=m(1-(1-dсл)1/m)
Эффективная учетная ставка во всех случаях,
когда m>1, меньше номинальной ставки (для
одинаковых периодов).

18.

Непрерывные проценты
Непрерывное наращение имеет значение в
анализе сложных финансовых проблем,
например, при обосновании и выборе
инвестиционных решений.

19.

Наращенная сумма при дискретных процентах:
S=P(1+j/m)mn .
При непрерывном начислении процентов
(m ) имеем:
S P lim (1 j / m) mn P ( lim (1 j / m) m ) n .
m
m
lim (1 j / m) lim ((1 j / m)
m
m
S Pe
m
jn
m/ j
) e
j
j

20.

Непрерывную ставку процентов называют
силой роста и обозначают символом .
S=Pe n
Формула эквивалентного перехода от одних
ставок к другим:
(1+i)n=e n,
откуда следует:
=ln(1+i), i=e -1.

21.

Дисконтирование на основе силы роста
осуществляется по формуле P=Se- n.
Пример 6. Определим современную стоимость
платежа из примеров (4 – 5) при условии, что
дисконтирование производится по силе роста
15% (S = 5000 руб., n = 5)
Решение. Современная величина равна
P =5000·е-0,15·5= 5000·0,472366=2361,83 руб.
При применении дискретной сложной учетной
ставки такого же размера получили величину
P=2218,53 руб.

22.

Расчет срока ссуды и размера
процентных ставок
Срок ссуды.
При наращении по сложной годовой ставке i:
log( S / P )
n
.
log( 1 i )
При наращении по номинальной ставке
процентов j m раз в году:
log( S / P )
n
.
m log( 1 j / m)

23.

При дисконтировании по сложной годовой
учетной ставке d :
log( P / S )
n
.
log( 1 d )
При наращении по постоянной силе роста:
ln( S / P )
n
.

24.

Расчет процентных ставок.
При наращении по сложной годовой ставке i:
i ( S / P)1/ n 1 n S / P 1.
При дисконтировании по сложной годовой
учетной ставке d:
d 1 ( P / S )1/ n 1 n P / S .
При наращении по постоянной силе роста:
1
ln( S / P ).
n

25.

Удвоение суммы.
Через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз
при данной процентной ставке?
а) начисляются простые проценты:
N 1
(1 niпр ) N n
;
iпр
б) начисляются сложные проценты:
ln( N )
n
(1 iсл ) N n
.
ln( 1 iсл )
При N=2:
1
ln 2
0,7
а) n ; б) n
или n
.
iпр
ln( 1 iсл )
iсл