Последовательности. Пределы

1. Последовательности. Пределы.

2. Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов
функций.
Формулировка теорем, когда x x0 или x аналогичны,
поэтому будем пользоваться обозначением: lim f ( x ).
Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности)
пределов:
lim f1( x ) f2 ( x ) limf1( x ) limf2 ( x )
Предел произведения двух функций равен произведению
пределов:
lim f1( x ) f2 ( x ) lim f1( x ) limf2 ( x )
Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim C f ( x ) C limf ( x )

3. Основные теоремы о пределах

Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел
знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
f1( x ) lim f1( x )
lim
f2 ( x ) lim f2 ( x )
lim f ( x ) 0
2
Предел степени с натуральным показателем равен той же
степени предела:
lim f ( x ) lim f ( x )
n
n
Предел показательно – степенной функции:
lim f ( x )
g(x)
lim f ( x )
lim g ( x )

4. Формулы

1) lim 1/n = 0
n→∞
2) lim qn = 0, если 0 < |q| < 1
n→∞
Если q > 1, то lim qn не существует.
n→∞
3) lim С = С
n→∞
4) lim (к /nm) = 0
n→∞

5. Правила вычисления пределов

Если lim хn = b и lim уn = c , то
n→∞
n→∞
1)Предел суммы равен сумме пределов:
lim (хn+ уn) = lim хn + lim уn = b + c
n→∞
n→∞
n→∞
2)Предел произведения равен произведению пределов:
lim (хn· уn) = lim хn ∙ lim уn = b · c
n→∞
n→∞ n→∞
3)Предел частного равен частному пределов:
lim (хn : уn) = lim хn : lim уn = b : c
n→∞
n→∞ n→∞
4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
lim (k · хn) = k · lim хn = k · b
n→∞
n→∞

6. Вычисление пределов

Вычисление предела:
lim f ( x ) A
x x
0
начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).
Если при этом получается конечное число, то предел равен этому
числу.
3x 1
3 1 1
lim
2
2
2
x 1
x
1
Если при подстановки предельного
значения x0 в функцию f(x) получаются
выражения вида:
то предел будет равен:
C
0
C
0

7. Вычисление пределов

Часто при подстановке предельного значения x0 в функцию f(x)
получаются выражения следующих видов:
0
;
0
; 0 ; 1 ; 0 0 ; 0 ; 0 ;
Эти выражения называются неопределенности, а вычисление
пределов в этом случае называется раскрытие
неопределенности.

8. Раскрытие неопределенностей

Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на
множители числитель и знаменатель дроби
x 14 x 32
0
x 2 x 16
lim 2
lim
x 2
x 2
0
x 6x 8
x 2 x 4
x 16 18
lim
9
x 2
x 4
2
2
Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и
знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю
lim
x 0
lim
x 0
x
lim
x 1 1 x 1 1
x 0
x x 1 1
1
1
lim
x 0
x 1 1
x 1 1 2
0
x 1 1
0
x
x 1 1

9. Раскрытие неопределенностей

Если f(x) – дробно – рациональная функция или иррациональная дробь
необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на x в старшей
степени
2
2x 3 x 1
lim 2
x
4 x 2x 5
2
3 1
2 2
x x
lim
x
2 5
4 2
x x
2x 3 x 1
2 2
2
x
x
x
lim
x 4 x 2
2x 5
2 2
2
x
x
x
C
2 0 0 1
0
4 0 0 2

10. Примеры вычисления пределов

Пример. Вычислить
2n 2 1
.
Решение. Делим числитель
и
lim
2 знаменатель
n n 1
дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной n, т.е. на n2.
2n 2 1
lim
2
n n 1
lim
n
2n 2
1
n2
n2
n2
1
2
2
n
n
1
1
lim 2 lim 2
2 2
lim
n
n n
n
n
1
1
1 2
lim 1 lim 2
lim
n
n
n n
n
1
n2
1
1 2
n
2
lim
n
2 0 2
2
1 0 1

11. Раскрытие неопределенностей

Умножим и разделим функцию на сопряженное выражение.
lim x 2 1 x 2 1
x
lim
x
lim
x
x 1 x 1
2
2
2
0
2
2
x 1 x 1
2
2
x 1 x 1
2
( x 1) ( x 1)
2
x 1 x 1
2
2
lim
x
2
x 1 x 1
2
2

12. Первый замечательный предел

sin x
lim
1
x 0
x
Формула справедлива также при x < 0
Следствия:
x
lim
1
x 0
sin x
tgx
lim
1
x 0
x
x
lim
1
x 0
tgx
sin kx
lim
1
x 0
kx

13. Первый замечательный предел

0
1 cos 4 x
2 sin 2x
sin 2 x
lim
lim
2 lim
2
2
x 0
x
0
x
0
0
x
x
x
2
2
sin 2 x 2 lim 2 sin 2 x
x 0
2 lim
2x
x 0 x
2
2
sin 2 x
2
2 2 lim
2 2 1 8
x 0
2x
2