Тригонометрические уравнения. Отбор корней с помощью графиков

1. Тригонометрические уравнения

Задание 13

2.

Существуют разные способы отбора корней в тригонометрических
уравнениях:
•Арифметический способ.
•Перебор значений целочисленного параметра и вычисление
корней.
•Функционально - графический способ.
•Отбор корней тригонометрического уравнения, на
числовой прямой.
•Отбор корней тригонометрического уравнения на
числовой окружности.

3.

4.

5.

Покажем это на круге по положительному
направлению
y
π-t
t
x
π+t
2π-t
Обратим внимание на то, что точки симметричные точке
первой четверти расположенные на окружности являются
вершинами прямоугольника, стороны которого параллельны осям
координат, что позволяет вычислить точку любой четверти,
через точку первой четверти.

6.

По отрицательному направлению.
y
-(π+t)
-(2π-t)
x
-(π-t)
-t
Ели точка будет больше чем 2π, 4π и т. д, то надо к
этим значениям прибавить части круга, также по
отрицательному направлению.

7.

3
2
cos
2
х
4
sin
х
а) Решите уравнение
1 0
2
2
2
cos 2 x cos x sin x
3 ;
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
2 cos 2х 4 cos х 1 0
2
2
sin
x
1
cos
2 cos 2 х sin 2 х 4 cos х 1x 0
2 cos 2 х 2 sin 2 x 4 cos х 1 0
2 cos 2 х 2 1 cos 2 х 4 cos х 1 0
По формуле приведения:
«синус» изменится на «косинус»
IVчет.
3
sin x – cos х
2
В IV четв. знак исходной функции
синуса отрицательный
4a 2 4a 3 0
2 cos 2 х 2 2 cos 2 х 4 cos х D
1 042 4 4 ( 3) 64
4 cos 2 х 4 cos х 3 0
Пусть cos x=a, -1≤a≤1
1
2 1
2 2 n
х хarccos
2 n, n Z
3 2
cos х
12
a
4 8 1 8
a
1
2 4
a
2
2
а )Ответ : х
1;1
2
2 n, n Z .
3

8.

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
2
n=-1 x x
2 n
2
3
2 n
3
3 ;
2
3 2n 1
3
2
2
3 2n 1
3
3
11
5
2n
3
3
11
5
n
6
6
n 1,
:
4
x
3
2
3
:2
3 ;
2
2 n
3
3 ;
n=-1
2
3 2n 1 2
3
3
1
1
2 2n
3
3
7
1
:2
2n
3
3
7
1
n
6
6
n 1,
82
3
xx
2 ,
33
:

9.

Отбор корней с помощью графиков
б) Найдите все корни этого уравнения
3 ;
отрезку
,
1
cos x
2
3
- 8
3
5
2
2
y cos x
- 4
3
3
2
принадлежащие
y
2
1
x
-1
5 3
15
16
8
.
2 6
6
6
6
3
4
3
9
8
.
3
2 6
6 6
6
3
8
4
б )Ответ : х ; х
.
3
3
Т-ца знач.

10.

.
Решите уравнение
б) Найдите все корни этого
уравнения, принадлежащие
промежутку

11.

проверь себя
n
6
2 n
5
6
2 n

12.

Решение: б) корни уравнения sin x= 1/2
изображаются точками А и В, а корни уравнения
точками C и D, промежуток
.
изображен жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке
содержатся три корня уравнения:

13.

Задания для самостоятельного решения