Векторы. Понятие вектора

1. Векторы

B
A

2. Понятие вектора

Отрезок, для которого указано, какая его
граничная точка является началом, а какая
- концом, называется направленным
отрезком или вектором
a
A
Начало вектора
B Конец вектора
AB либо а

3. Длина вектора

Е
К
Длиной вектора или модулем
ненулевого вектора называется
длина отрезка
|КЕ| = |KE| длина вектора КЕ
М вектор ММ - нулевой вектор
|ММ| = 0

4. Коллинеарные векторы

Ненулевые векторы называются
коллинеарными, если они лежат на одной
прямой или на параллельных прямых
L
с
K
b
A
Нулевой вектор считается
коллинеарным любому вектору
B
М

5. Сонаправленные векторы

Коллинеарные векторы, имеющие
одинаковое направление, называются
сонаправленными векторами
c ↑↑ KL
AB ↑↑ b
MM ↑↑ (любому
вектору)
L
с
K
b
A
М
B

6. Противоположно направленные векторы

Коллинеарные векторы, имеющие
противоположное направление, называются
противоположно направленными векторами
b ↑↓ KL
L
K
с
c↑↓ b
AB ↑↓ c
KL ↑↓ AB
A
B
b

7. Равенство векторов

Векторы называются равными, если:
1) они сонаправлены ;
2) их длины равны.
m ↑↑ KL, | m | = | KL | след-но m = KL
L
K
m
b
A
B

8.

Векторы в пространстве
С1
D1
A1
ABCDA1 B1C1 D1 прямоуголь ный параллелепипед.
B1
AB 3, BC 4, CC1 5.
5
Назовите векторы, равные векторам
D
A
3
С
B
4
AB, BC , CC1 .
Назовите длины векторов :
AD, AA1 , AD1 , AC , BD1 .

9. Сложение векторов Правило треугольника

b
Дано: a, b
a
Построить: c = a + b
Построение:
b
с
a
a + b =c

10. Сложение векторов Правило параллелограмма

b
Дано: a, b
a
Построить: c = a + b
Построение:
с
b
a
a + b =c

11.

Правило параллелепипеда
D
C
OD OA OB OC
B
О
A

12. Правило многоугольника

х =a + b + c + d + m + n
b
a
х
b
a
m
c
n
m
n
d
c
d

13. Вычитание векторов

b
Дано: a, b
a
Построить: n = a - b
Построение:
n
a-b=n
a
b

14.

Сумма и разность векторов
AB AC CB
AB BC AC
C
C
A
B
A
B

15.

Законы сложения векторов
D
b
D
C
a
c
a
A
b
B
A
a
b
B
AC a b, AD a b c,
AC a b, AC b a,
a b c a b c .
BD b c, AD a b c ,
a b b a.
ПЕРЕМЕСТИТ ЕЛЬНЫЙ
ЗАКОН
C
СОЧЕТАТЕЛЬ НЫЙ ЗАКОН
Назад

16. Умножение вектора a на число k

k·a = b,
|a| ≠ 0, k – произвольное число
|b| = |k|·|a|,
2a
если k> 0, то a ↑↑ b a
если k< 0, то a ↑↓ b
-2a
Для любых чисел k, l и любых векторов a, b справедливы равенства:
1º. (kl)a= k(la) (сочетательный закон),
2º. (k+l)a= ka+la (первый распределительный закон),
3º. k(a+b) = ka+kb (второй распределительный закон).

17.

Умножение вектора на число
Сочетательный закон
kl a k l a
a
О
B
A
OA 3a, OB 6a ,
OB 2 OA 2 3a
6а 2 3а
2 3 a 2 3a

18.

Умножение вектора на число
Первый распределительный закон
k l a k a l a
a
О
OB 5a,
B
A
ОА 3а,
АВ 2а
ОВ OA АB
5а 3a 2а, тогда 3 2 a 3a 2a

19.

Умножение вектора на число
Второй распределительный закон
k a b k a kb
a
О
A
a
A1
2b
b
B1
B
1) OB 2 OB1 2 a b ,
2) OB OA AB, OB 2a 2b,
следовательно
2 a b 2a 2b

20.

Компланарные векторы
Векторы называются компланарными,
если при откладывании их от одной точки они будут
лежать в одной плоскости.
Замечания
Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три
вектора считаются компланарными.
Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов,
компланарна.

21.

Компланарные векторы
c
B1
D
C
Компланарные векторы
BB1 , OD и OE .
b
E
B
A
О
a
Некомпланарные векторы
OA, OB и OC .

22. Прямоугольная система координат

• Тройка взаимно
перпендикулярных
координатных
прямых с общим
началом координат.
• Впервые введена
Р.Декартом(15961650)

23. Координаты точки

• Каждая точка в
пространстве
задаётся тройкой
чисел (x,y,z )
называемых
координатами
точки в
пространстве

24. Координаты вектора

• Векторы (i. j. k)
единичные
векторы
• Любой вектор
можно разложить
по координатным
векторам

25. Длина вектора

26. Скалярное произведение векторов

27. Свойства скалярного произведения. Угол между векторами.