Равновесие системы тел

1. Новосибирский Государственный Архитектурно- Строительный Университет (Сибстрин)

Новосибирский Государственный АрхитектурноСтроительный Университет (Сибстрин)
Лекция 5.
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ
ТЕЛ
Теория – это некоторым образом
квинтэссенция практики.
Людвиг Больцман
Кафедра теоретической механики
2

2.

Людвиг Больцман
1844-1906, Вена-Линц-Грац-ВенаЛейпциг-Мюнхен-Вена-Дуино
2

3.

2а

4. На предыдущей лекции

• Была доказана самая важная теорема
статики, универсально решающая
первую ее задачу
• Были установлены условия
равновесия и выведены уравнения
равновесия
• Введено понятие главного момента и
главного вектора системы сил
3

5. Равнодействующая СПС

На
предыдущей лекции
Равнодействующая
СПС
Было показано, что для плоской системы сил (все силы находятся
в плоскости Oxy) имеем три уравнения равновесия. Эти уравнения
можно использовать в трех разных формах
Основная форма уравнений равновесия ПСС
n
n
n
Fix 0, Fiy 0, M А ( Fi ) 0
i 1
i 1
i 1
Вторая форма уравнений равновесия ПСС (АВ Ox)
n
n
n
M А ( Fi ) 0, M В ( Fi ) 0, Fix 0
i 1
i 1
i 1
Третья форма уравнений равновесия ПСС (точки А, В, С не
должны лежать на одной прямой)
n
n
n
M А ( Fi ) 0, M В ( Fi ) 0, M С ( Fi ) 0
i 1
i 1
3.3. ЦЕНТР СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
i 1
4

6. Цель лекции

• Расчет плоской фермы
• Расчет составной конструкции
План лекции
5.1. Определение плоской фермы
5.2. Расчет плоской фермы
5.3. Расчет составных конструкций
5.4. Заключение
5

7. 5.1. Плоская ферма

6

8. 5.1.1. Мотивация

Металлические
каркасы
Опоры
Мосты
ЛЭП зданий
2.1.
ССС
5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПЛОСКАЯ ФЕРМА
7

9. 5.1.2. Определение

Ферма – жесткая, геометрически неизменяемая
конструкция, состоящая из невесомых прямолинейных
стержней, соединенных идеальными (без трения)
шарнирами
Шарнирные соединения называются узлами фермы
Плоской называется ферма, все стержни и шарниры
которой лежат в одной плоскости
• Узлы фермы будем
E 8
C 4
обозначать большими
B
латинскими буквами
1
3
5
7
9
A, B, … G
2
6
• Стержни пронумеруем
A
D
G
2.1.
ССС
5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПЛОСКАЯ ФЕРМА
8

10. 5.1.3. Усилия в стержнях фермы

RA
…
Предполагается, что все усилия приложены к узлам фермы.
В этом случае все стержни будут испытывать только
продольные нагрузки
• Действительно, рассмотрим
равновесие стержня АВ
F
FA 2 A1
• Системы сил, приложенные к узлам,
FB1
это ССС и их можно заменить
A
FB 2 • равнодействующими
Согласно аксиоме 1, для равновесия
FAn
B
тела необходимо, чтобы
силы
и RB были равны R A
F R
…
Bn
B
Т.о., эти равнодействующие силы образуют уравновешенную
систему сил и, следовательно, направлены вдоль стержня
2.1.
ССС
5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПЛОСКАЯ ФЕРМА
9

11. Расчет ферм

5.1.4.
определимые
фермы
____Статически
_ ферм
____________
________
____
Расчет
• Мы будем рассчитывать фермы без лишних стержней. Ее
можно построить присоединяя к треугольной конструкции
последовательно по два стержня и шарниру
YA
A
Лишний
стержень
XA
RB
B
У плоских статически определимых ферм число
неизвестных опорных реакций должно равняться трем
• Число стержней плоской статически определимой
фермы определяется формулой
k = 2n – 3,
где k – число стержней, n – число узлов
СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫЕ ФЕРМЫ
5.1.
ПЛОСКАЯ ФЕРМА
10

12. 5.2. Расчет плоской фермы

11

13. 5.2.1. Требования к расчету

Расчет плоской фермы сводится к
нахождению сил реакции опор
определению усилий в стержнях
фермы методом вырезания узлов
и/или методом сечений ( Риттера)
2.1.
ССС
5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ
ФЕРМЫ
12

14. Определение реакций опор фермы

5.2.2.
Определение
опорных
реакций
____
_
____________
________
____
Определение реакций опор фермы
YA
y
F3
A
F2
XA
Дана плоская ферма, образованная
одинаковыми равнобедренными
треугольниками, к узлам которой
параллельно оси x приложены силы
F1 = F2 = F3=2 кН
a
• Освободимся от связи в точке А и
заменим ее реакциями
B
x
• Освободимся от связи в точке В и
заменим ее реакцией
• Запишем уравнения равновесия для плоской системы сил
Fix 0, F1 F2 F3 X A 0,
R
F1 B
RB 3 кН
i
F
m
iy
0, RB YA 0,
Y A 3 кН
0, F1 2a F2 a RB 2a 0.
X A 6 кН
i
i
A
2.1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ССС
ПРИМЕР
РАСЧЕТА
ФЕРМЫ
5.2.
РАСЧЕТ
ПЛОСКОЙ
ФЕРМЫ
13

15. Метод вырезания узлов

5.2.3.
Метод
вырезания
узлов
____
_
____________
________
____
Метод вырезания узлов
F3
F2
F1
• Пронумеруем все стержни
y
фермы арабскими цифрами:
III
IV
V XA
8
6
1, 2, 3, … 9
A
5
7
4
• Пронумеруем узлы фермы
9
II 3
римскими цифрами: I, II,…, IV
1
VI
a
RB
• Рассмотрим равновесие каждого
2
I
узла и составим для него уравнения
x
B
равновесия, cчитая условно все
стержни растянутыми и направляя
реакции шарниров от узлов
YA
• Следует учесть, что стержни находятся в равновесии,
поэтому реакции соединительных шарниров должны быть
равны по величине и противоположно направлены
2.1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ССС
ПРИМЕР
РАСЧЕТА
ФЕРМЫ
5.2.
РАСЧЕТ
ПЛОСКОЙ
ФЕРМЫ
14

16. Метод вырезания узлов

5.2.4.
Определение
усилий
в
стержнях
фермы
____
_
____________
________
____
Метод вырезания узлов
Расчет следует начинать с узла, в котором
сходятся два стержня с неизвестными
усилиями (узел V)
Узел V
8
r
YA
XA
S8 9
S9
Узел
IV '
S 6 S8
S7
S4
S6 '
i
y
III 6 IV 8 V
4
7
A XA
5
9
II 3
1 VI a
RB 2
x
IB
F
0
:
Y
S
sin
45
0
iy
A
9
i
'
F
0
:
S
ix
8 S 6 0,
i
Fiy 0 :
i
S8' S8
S 7 0
'
o
'
F
0
:
S
F
S
cos
45
0
,
S
ix
6
3
5
6 S 6
Узел
III
F3
Fix 0 :
F3
F2
X A S8 S 9 cos 45 0 F1
YA
i
S5
S
S
sin
45
0
F
0
:
4
5
iy
i
2.1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ССС
ПРИМЕР
РАСЧЕТА
ФЕРМЫ
5.2.
РАСЧЕТ
ПЛОСКОЙ
ФЕРМЫ
15

17. Метод вырезания узлов

5.2.4.
Определение
усилий
в
стержнях
фермы
____
_
____________
________
____
Метод вырезания узлов
Узел II
S
F2 4 S 3
S1
Узел I
'
S1
F1 RB S
Fix 0 : F2 S3 0
i
Fiy 0 :
S 4 S1 0
Fix 0 :
F1 S 2 cos 45 0
i
F3
F2
F1
y
YA
III 6 IV 8 V
4
7
A XA
5
9
II 3
RB 1 2 VI a
x
IB
i
2
'
'
S
R
S
sin
45
0
,
S
F
0
:
1
B
2
1 S1
iy
i
Узел VI
S3
S5 S 7
S2
S9
S
S
cos
45
S
cos
45
S
cos
45
0
F
0
:
3
2
5
9
ix
i
S
S
sin
45
S
sin
45
S
sin
45
0
5
9
Fiy 0 : 7 2
i
2.1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ССС
ПРИМЕР
РАСЧЕТА
ФЕРМЫ
5.2.
РАСЧЕТ
ПЛОСКОЙ
ФЕРМЫ
16

18.

5.2.5.
Метод
сечений
(Риттера)
Метод сечений (Риттера)
• Метод Риттерау удобен, если
необходимо определить усилия в
каких-то отдельных стержнях
фермы, например, 6, 7, 9
• Число стержней в сечении
должно быть не более трех
y
F3
4
F2
R
F1 B
YA
z
6 IV
5
7
3
1
B
2
VI
V
8
9
XA
A
z
a
x
Последовательность действий
Проведем сквозное сечение z–z через стержни 6,7,9
Пользуясь принципом отвердевания, рассмотрим
равновесие
одной из частей фермы, например, правой
• Составляем 3 уравнения равновесия для этой части фермы
2.1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ССС
ПРИМЕР
РАСЧЕТА
ФЕРМЫ
5.2.
РАСЧЕТ
ПЛОСКОЙ
ФЕРМЫ
17

19.

5.2.5. Метод сечений (Риттера)
YA
y z
6 IV
V
S6
7 S A
S7
9 9
VI
XA
z
m 0 : S 0
i
A
7
m 0 : aY aS sin 45 0
i
IV
A
9
m 0 : a Y a S a X 0
i
VI
A
6
A
• Решив систему уравнений, находим усилия в стержнях 6,7,9
• Полученные результаты можно использовать для проверки
усилий, определенных методом вырезания узлов
• Если усилия в стержне получилось со знаком « », то
стержень не растянут, а сжат
2.1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ССС
ПРИМЕР
РАСЧЕТА
ФЕРМЫ
5.2.
РАСЧЕТ
ПЛОСКОЙ
ФЕРМЫ
18

20. 5.3. Расчет составных конструкций

19

21. 5.3.1. Примеры составных конструкций

Детская
кроватка
Сборный производственный модуль
1-ый панельный дом Новосибирск, 1960 г.
Деревянные
строительные
Дмитровский
мост,
Новосибирск, конструкции
1971-1780 гг.
2.1.
ССС КОГСТРУКЦИЙ
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ
20

22. 5.3.2. Расчет составных рам

3м
F2
Дано: F1 = √2 кН, F2= 3 кН, М = 3 кНм
С
M
1.5 м
4м
А
F1
Определить реакции внешних
и внутренних связей
45о
• освобождаемся от внешних
связей и заменяем их реакциями
2м
• Система статически неопределимая
Метод расчленения
В
F2
С
YС
XС
С
XС
С
YС
M
F1 F2
M
45о
YA
А
МА
XA
RB
В
2.1.
ССС КОНСТРУКЦИЙ
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ
YA
А
XA
F1
RB
В
21

23. 5.3.3. Расчет составных рам

YС
Метод расчленения
XС
С
F1
M
Fix 0 :
X С F1 cos 45o 0
Fiy 0 :
YС F1 cos 45o RB 0
i
i
m
С
RB
0 :
М 1.5 RB 2 F1 cos 45o 1.5 F1 sin 45o 0
i
В X
С
F2
С
YС
YA
МА
А
XA
F
0 :
F2 Х С Х А 0
F
iy
0 :
YА YС 0
m
А
0 :
4 F2 4 Х С 3YС М А 0
ix
i
i
i
2.1.
ССС КОНСТРУКЦИЙ
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ
22

24.

5.3.4.Расчет составной конструкции из балок
Дана конструкция, состоящая из двух
однородных балок AB и CD весом P и
длиной l, AC = 0.7l
Определить реакции жесткой
заделки А, шарнирной опоры D и
давление в точке С на балку AB
A
D
NC
C
M
N C
B
• Освобождаемся от связей и расчленяем конструкцию на
две части
Балка СD
NC
C
P
YA
D
M
XA
YA
2.1.
ССС КОНСТРУКЦИЙ
РАСЧЕТ
СОСТАВНЫХ
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
РАСЧЕТ
СОСТАВНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
Балка АВ
XA C
Am
A
P
N C N C
N C
B
23

25.

5.3.4.Расчет составной конструкции из балок
Балка AB
y
YA
P
Балка СD
y
C
ix
i
XA C
Am
A
F 0 : X 0
F 0 : Y N P 0
m 0 : m P 0.5 l N 0.7 l 0
i
x
NC
YD
D
B
i
A
iy
A
C
A
A
C
F 0 : X 0
i
ix
D
Fiy 0 : YD N C P 0
XD i
M
mD 0 : M P 0.5l cos
x
i
N C l cos 0
P
NC
Находим реакции связей:
2.1.
ССС КОНСТРУКЦИЙ
РАСЧЕТ
СОСТАВНЫХ
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
РАСЧЕТ
СОСТАВНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
X A , YA , mA , N C , X D , YD
24

26. 5.4. Заключение

26

27. 5.4.1. Основные выводы

На данной лекции Вы овладели
основными методами расчета
• плоских ферм
• двухсоставных конструкций
• пользуясь этими методами легко
рассчитывать и конструкции,
состоящие из произвольного числа
элементов
5.4.ОСНОВНЫЕ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1.2.
ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ
27

28. 5.4.2. Тема следующей лекции

Центр тяжести
Равновесие при наличии
трения
1.3.
СТАТИКИ
5.4.АКСИОМЫ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1.2.
ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ
28