Прямоугольная система координат на плоскости

1. Тема 5. Координаты и векторы

IХ.Прямоугольная система координат
на плоскости

2.

II
У
ПРОВЕДЕМ ДВЕ ВЗАИМО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ
О
С
Ь
ПРЯМЫЕ
I
Х
И
У -ОСИ КООРДИНАТ.
ТОЧКА О –НАЧАЛО КООРДИНАТ
(О;О)
III
О
Р
Д
И
Н
А
Т
ОСЬ АБСЦИСС
Х
О
IV
ОСИ КООРДИНАТ РАЗБИВАЮТ
ПЛОСКОСТЬ НА ЧЕТЫРЕ ЧАСТИЧЕТВЕРТИ
I, II, III, IV.

3.

У
Точка пересечения осей О
разбивает их на две полуоси.
Условимся одну из них
называть положительной,
отмечая ее стрелкой,
(-;+)
(+;+)
о
(+;-)
Х
а другую
отрицательной.
В пределах одной четверти знаки
обеих координат сохраняются.
В I четверти они положительны,
во II-абсцисса отрицательна,
а ордината положительна,
в III - абсцисса и ордината
отрицательны,
в IV- абсцисса положительна,
а ордината отрицательна.

4.

Через точку А проведем прямую, параллельную оси
ординат,она пересечет ось абсцисс в некоторой точке
Х1.
у
у1
А
Через точку А проведем прямую, параллельную оси
абсцисс, она пересечет ось ординат в некоторой
точке У1.
х
о
х1
Координаты точки записываются в скобках
А(х1;у1) (на первом месте абсцисс, на
втором-ординат).
Число Х1 и У1 называют абсолютной величиной которая
равна расстоянию от О до А.

5.

Если точка лежит на оси ординат,
то ее абсцисса равна нулю А(0;4).
у
А 4
С1
3
С
2
в
-4 -3 -2 -1
Если точка лежит на оси абсцисс, то ее
ордината равна нулю В(-3;0).
1
х
0 1 2 3 4
-1
-2
-3
D
В записи координат точек порядок чисел
имеет существенное значение.
Например,
С(3;2) и С1(2;3) – различные точки
плоскости.
Если нужно построить точку D(1;-2).
На оси абсцисс отметим точку с
координатой 1 и проведем через нее
перпендикуляр к этой оси.
На оси ординат отметим точку с
координатой –2 и проведем через нее
перпендикуляр к оси ординат. Точка
пересечения этих перпендикуляровискомая точка D.

6.

По рисунку найдите координаты точек А,В,С,D,E,F,G.
y
6
C
5
E
4
3
D
2
A
1
-5 -4 –3 –2 –1 0
F
B
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-2
G

7.

Постройте фигуру по точкам,
соединяя их последовательно
(5;2)
(5;-4)
(3;-4)
(3;1)
(-1;-1)
(-1;-4)
(-3;-4)
(-3;4)
(-4;3)
(-4;4)
(-5;3)
(-5;4)
(-6;3)
(-6;5)
(-3;5)
(-3;7)
(-1;5)
(-1;2)
(5;2)
(7;4)
(7;3)
(6;3)
(6;2)
(5;2)

8.

9.

Правильные ответы
A(-3;0)
D(9;2)
B(4;0)
E(5;4)
C(-2;5)
F(-5;-1)
G(8;-2)

10.

Y
8
7
6
5
4
3
2
1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-1
-2
-3
-4
-5
x
2
3
4
5
6
7
8

11. Тема 5. Координаты и векторы

Х. Метод координат в пространстве.
Прямоугольная система координат
• https://infourok.ru/videouroki/1456

12.

Прямоугольная система координат
Если через точку пространства
проведены три попарно
перпендикулярные прямые,
на каждой из которых выбрано
направление и единичный
отрезок, то говорят, что задана
прямоугольная система
координат в пространстве.
z
1
0
1
x
1
y

13.

Определение
Прямые с выбранными на них направлениями,
называются осями координат и обозначаются: Ох, Оy, Оz.
z
Ох – ось абсцисс;
Оy – ось ординат;
1
Оz – ось аппликат;
Oxyz
0
1
y
1
x
Прямые с выбранными на них направлениями, называются осями координат и обозначаются так:
Ох, Оy, Оz, имеют свои названия: ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат соответственно,
а их общая точка – началом координат. Обычно она обозначается буквой О.
Вся система координат обозначается Охуz.

14.

Если через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох провести плоскости,
то такие плоскости будут называться координатными плоскостями и
обозначаться: Оху, Оуz, Оzх соответственно
z
z
1
1
0
1
x
1
0
y
z
Оху
x
1
Плоскость Оху
x
y
Оуz
Плоскость Оzх.
0
1
1
1
1
Оzх
y
Плоскость Оzх.

15.

Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча.
Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью,
а другой луч — отрицательной полуосью.
z
положительная полуось
отрицательная полуось
1
0
1
x
1
y

16.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства
сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами.
Они определяются аналогично координатам точек на плоскости
z
Посмотрим, как это делается.
Проведем через точку М
три плоскости,
перпендикулярные осям
координат,
М(х;у;z)
M
1
0
1
x
1
y
обозначим через М₁, М₂ и М₃
точки пересечения этих плоскостей
соответственно с осями
абсцисс, ординат и аппликат.

17.

Координаты точки М
записываются в скобках
после обозначения точки
М (х; у; z).
z
M
1
0
1
1
x
Аналогично с помощью точки М₂ определяется
вторая координата (ордината) у точки М,
а с помощью точки М₃ — третья координата
(аппликата) z точки М.
y

18.

Первая координата точки М (она называется абсциссой
и обозначается обычно буквой х) определяется так:
х = ОМ₁, если М₁ - точка положительной полуоси;
х= - ОМ₁, если М₁ - точка отрицательной полуоси;
х =0, если М₁ совпадает с точкой О.
z
Координаты точки М
записываются в скобках
после обозначения точки М
(х; у; z).
Аналогично с помощью точки М₂
определяется вторая координата
(ордината) у точки М,
а с помощью точки М₃ — третья
координата (аппликата) z точки М.
M
1
0
1
y
1
М(х;у;z)
x
Запомните! Первой указывают абсциссу (х), второй –
ординату (у), третьей — аппликату (z).

19.

Задача 1.
Дано:
Oxyz
A, B, C, D, E, F
Найти: координаты точек: A, B, C, D, E, F
9
8
Решение:
Проведем через точку А
три плоскости,
перпендикулярные к осям
координат,
тогда точки пересечения этих
плоскостей соответственно с
осями абсцисс, ординат и
аппликат будут координатами
точки А
z
10
7
6
A
5
4
B
3
D
2
1
–3
А (9; 5; 10);
C
9
x
8
7
6
5
4
3
2
F
E
1
01
–3
2
3
4
5
6
7
8
y

20.

z
10
Задача 1.
Дано:
Oxyz
A, B, C, D, E, F
9
8
7
6
Найти:
координаты точек: A, B, C, D, E, F
B
Решение:
Аналогично записываются
координаты следующих точек:
A
5
4
3
D
2
1
А (9; 5; 10);
–3
В (4; -3; 6);
C
9
x
8
7
6
5
4
3
2
F
E
1
01
–3
2
3
4
5
6
7
8
y

21.

z
10
Задача 1.
Дано:
Oxyz
A, B, C, D, E, F
9
8
7
6
Найти:
координаты точек: A, B, C, D, E, F
B
Решение:
А (9; 5; 10);
В (4; -3; 6);
A
5
4
3
D
2
1
С (9; 0; 0);
–3
C
9
x
8
7
6
5
4
3
2
F
E
1
01
–3
2
3
4
5
6
7
8
y

22.

z
10
Задача 1.
Дано:
Oxyz
A, B, C, D, E, F
9
8
7
6
Найти:
координаты точек: A, B, C, D, E, F
B
Решение:
А (9; 5; 10);
В (4; -3; 6);
A
5
4
3
D
2
1
С (9; 0; 0);
D (4; 0; 5);
–3
C
9
x
8
7
6
5
4
3
2
F
E
1
01
–3
2
3
4
5
6
7
8
y

23.

z
10
Задача 1.
Дано:
Oxyz
A, B, C, D, E, F
9
8
7
6
Найти:
координаты точек: A, B, C, D, E, F
B
Решение:
А (9; 5; 10);
В (4; -3; 6);
A
5
4
3
D
2
1
С (9; 0; 0);
D (4; 0; 5);
Е (0; 8; 0);
–3
C
9
x
8
7
6
5
4
3
2
F
E
1
01
–3
2
3
4
5
6
7
8
y

24.

Задача 1.
Дано:
Oxyz
A, B, C, D, E, F
9
8
7
6
Найти:
координаты точек: A, B, C, D, E, F
B
Решение:
А (9; 5; 10);
В (4; -3; 6);
A
5
4
3
D
2
1
С (9; 0; 0);
D (4; 0; 5);
Е (0; 8; 0);
F (0; 0; -3).
z
10
–3
C
9
x
8
7
6
5
4
3
2
F
E
1
01
–3
2
3
4
5
6
7
8
y

25.

Если МєОху (точка М принадлежит плоскости Оху), то
аппликата точки М равна нулю: z=0.
z
z=0
y
M
x
Плоскость Оху

26.

z
y=0
M
y
x
Плоскость Охz

27.

Если МєОх (точка М лежит на оси абсцисс) ордината и аппликата
точки М равны нулю: у=о и z=0.
В нашем примере это точка С.
z
M
x=0
y
x
Плоскость Оуz

28.

Если МєОх (точка М лежит на оси абсцисс) ордината и аппликата
точки М равны нулю: у=о и z=0.
В нашем примере это точка С.
z
у=0
z=0
y
М
x

29.

Если МєОу (точка М лежит на оси ординат),
то х=0 и z=0. В нашем примере это точка Е.
z
x=0
z=0
M
y
x

30.

Если МєОz (точка М лежит на оси аппликат),
то х = 0 и у = 0. В нашем примере это точка F
z
M
х=0
y=0
y
x

31.

Если все три координаты точки М равны нулю, то это значит,
что М=О (0; 0; 0) – начало координат.
z
М (0; 0; 0)
M
0
x
y

32.

Задача 2.
Дано:
ABCDA1B1C1D1– куб;
A(0; 0; 0);
B(1; 0; 0);
D(0; 1; 0);
A1(0; 0; 1).
Найти:
координаты точек.
Решение:
⟹ z = 0; x = CD = AB = 1; y = CB = AD = 1;
C(1; 1; 0);
⟹ y = 0; x = А 1 B1 = AB = 1; z = B1B = AA1 = 1;
1
A1(0; 0; 1);
D1
C1
B1
A(0; 0; 0);
D(0; 1; 0);
0
1
1
B(1; 0; 0);
B1(1; 0; 1);
⟹ x = 0; y = A1D1 = AD = 1;
z = А1В1= AВ = 1;
D1(0; 1; 1);
z
y
C
x
C1: x = C1D1 = AB = 1; y = B1C1 = AD = 1; z = CC1 = AA1 =1; C1(1; 1; 1).
Ответ: C(1; 1; 0); B1(1; 0; 1); D1(0; 1; 1); C1(1; 1; 1).

33.

Задача 3.
Дано:
Найти:
координаты проекции точки на
Oxy, Oxz, Oyz; Ox, Oy, Oz
z
L
R
Решение:
N
O
x
y

34.

Задача 3.
Дано:
Найти:
координаты проекции точки на
Oxy, Oxz, Oyz; Ox, Oy, Oz
z
L
R
P
Решение:
N
G
x
K
O
y