Биквадратные уравнения

1. Биквадратное уравнение

2.

Уравнение вида
ax bx c 0
4
2
,
где
а, b, c – данные числа и а отлично от нуля, а
х –неизвестное, называют биквадратным
уравнением.
Чтобы решить биквадратное уравнение, вводят
новое неизвестное при помощи равенства у = х2
Тогда исходное уравнение превращается в
квадратное ay 2 by c 0 относительно
неизвестного y.

3. Представьте выражение в виде квадрата:

4. Алгоритм решения биквадратного уравнения

1) Введем в уравнение новую переменную
путем обозначения какого- то выражения из
этого уравнения;
2) Вместо этого выражения подставляем новую
переменную и получим квадратное
уравнение относительно новой переменной;
3) Решаем полученное квадратное уравнение;
4) Способом подстановки находим значение
исходной переменной;
5) С помощью проверки определяем корни
данного уравнения.

5.

Пример 1 Решить уравнение x 4 4 x 2 3 0.
Решение
x 4x 3 0
4
2
введем новую переменную
y x 2 где у 0
исходное уравнение примет вид:
y 4y 3 0
2
так как
корня.
D b 2 4ac 1 0,
то оно имеет два
По теореме обратной теореме Виета имеем: y 3;
1
y2 1.

6.

Пример 1 Решить уравнение x 4 4 x 2 3 0.
Решение
Обратная подстановка дает: x
2
1;
x 2 3.
Ответ:
Решив их получим:
x 1
x 3
x1 1 1;
x3 3;
x2 1 1;
x4 3.
2
2
x1 1;
x2 1;
x3 3 ;
x4 3.

7.

Пример 2 Решить уравнение x 4 2 x 2 2 0.
Решение
x 2x 2 0
4
2
введем новую переменную
y x 2 где у 0
исходное уравнение примет вид:
y 2y 2 0
2
D
2
так как
k ac 1 2 3 0, то оно имеет
два корня. 4
k k ac
a
2
Определим корни по формуле
y1, 2

8.

Пример 2 Решить уравнение x 4 2 x 2 2 0.
Решение
x 2x 2 0
4
2
введем новую переменную
y x где у 0
2
исходное уравнение примет вид:
y 2y 2 0
2
2
х
1 3;
Обратная
дает:
1 подстановка
3
y1, 2
1 3
1
х1 1 3 ;
y1 1 3 0; y 2 1 3 0 - исключается
х2 1 3 .
Ответ:
х1, 2 1 3 .

9.

Пример 3 Решить уравнение 2 x 4 3x 2 5 0.
Решение
2 x 3x 5 0
4
2
введем новую переменную
y x где у 0
2
исходное уравнение примет вид:
2 y 3y 5 0
2
Его дискриминант
D b 4ac 9 4 2 5 0
2
следовательно оно не имеет корней. Тогда и исходное
уравнение тоже не имеет корней.
Ответ: корней нет.

10.

Пример 4 Решить уравнение 9 x 4 6 x 2 1 0.
Решение
9x 6x 1 0
4
2
введем новую переменную
y x где у 0
2
исходное уравнение примет вид:
9 y 6 y 1 0
2
Обратная
подстановка дает: 2 1
Его дискриминант
x ;
2
D b 4ac 36 4 9 3 1 36 36 0
следовательно оно имеет единственный
1 корень.
1
x1
6 0 6 31 3
y
1 0.
18
18
x2 3
3
;
Ответ:
1
x1, 2 .
1
3
.
3

11.

Пример 5 Решить уравнение x 4 10 x 2 25 0.
Решение
x 10 x 25 0
4
2
введем новую переменную
y x где у 0
2
исходное уравнение примет вид:
y 10 y 25 0
2
для которого
D
2
k ac 25 1 25 0
4 таким образом оно имеет единственный корень
5 0
y
5 0
1
Значит исходное уравнение не
имеет корней.
Ответ: корней нет.

12.

Замечание 1
Решить уравнение
x 0
4
Имеет один корень
x 0.
Ответ:
x 0.
Решить уравнение
x x 0
4
2
Решение:
x x 0
4
2
x x 1 0
2
2
x x 1 x 1 0
2
x1 0; x2 1; x3 1.
Ответ: -1; 0; 1.

13.

Замечание 2
Из рассмотренных примеров видно, что биквадратное
уравнение может иметь четыре, три, два, один действительный корень, но может и не иметь корней.
Скоро мы познакомимся с комплексными числами и
узнаем, что биквадратное уравнение имеет, вообще говоря,
четыре комплексных корня.
Впрочем, бывает, что их меньше чем четыре, но в
таких случаях считают, что некоторые корни кратные.