Применение методов матричной алгебры к расчету электрических цепей

1.

Практическое занятие №2
Тема:Применение методов матричной алгебры
к расчету электрических цепей
План занятия:
Примеры:
1. Формирование матрицы соединений в узлах;
2. Формирование матрицы соединений ветвей в
независимые контуры;
3. Составление обобщенного уравнения электрической
цепи в матричной форме;
4. Порядок получения матрицы соединений ветвей в
независимые контуры (N) непосредственно по
известной матрице соединений ветвей в узлах
без балансирующего узла (М).

2.

Литература:
1. Лекции № 2, 3, 4.
2. В.А. Веников “ Электрические системы.
Математические задачи электроэнергетики” М:
Высшая школа 1981г.
3. В.А. Веников “Расчеты и анализ режимов работы сетей”
М: Энергия 1974г.
4. “Справочник по проектированию электрических
систем” под редакцией С.С. Рокотяна и И.М. Шакиро М:
Энергия 1971г.
5. Мельников Н.А. “Электрические сети и системы” М:
Энергия 1969г.

3.

4.

Задача №1.
Для заданного графа рис.1 сформировать матрицу
соединений ветвей в узлах , т.е. матрицу МΣ = (m i j )
где i = 1...n; j = 1…m
а
здесь n – вершина; m – ребра
узлов – 5: a, в, c, d, e
.
1
I
2
5
е
4
ветвей – 6: 1, 2, 3, 4, 5, 6
c
II
b
6
Рис.1.
3
d

5.

Решение
используя материал лекции №4 составить
1). Матрицу соединений ветвей в узлах:
M
1 1 0 0 0 0 а
0 0 0 1 0 1 б у
з
0 1 1 0 1 1 с л
0 0 1 0 0 0 д ы
1 0 0 1 1 0 е
1 2
3
4
5
6
ветви
(рассмотреть порядок заполнения строки для узла с)

6.

2) Выберем за балансирующий узел, узел e, тогда
матрицу М получим путем исключения
последней строки из матрицы М .
M
1 1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1 1
0
1 1
1
0
0
0
0
0
0
0

7.

3) Матрица соединений ветвей в узлах для
балансирующего узла
Мб = -nt·M
1 1
Мб 1 1 1 1
0
0
0
Проверка:
M
M
Мб
0
0
0
0
1
0
1
1 1
0
1 1
1
0
0
0
1
0
0
0
0 1
1
0
0

8.

M
1
1 0
0
0
0
1
0
0
0
1 0
1
1
0
1
1 0
1 1
0
0
1
0
Mb
0
T
n M
n
1
0
1
(1 0 0 1 1 0 )
Проверка
M
stack M M b
1
1 0
0
0
0
0
0
0
1 0
1
0
1
1 0
1 1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0

9.

10.

Формирование матриц соединений ветвей в
независимые контуры N=(ni j )
где: i = 1… k j = 1… m;
k – число контуров.
Для рис.10 матрица N имеет вид:
(сформировать самостоятельно, используя лекцию №4)
N
1 1 0
0
0
0
1
0
0 1 1 1
ветви (ребра)
I
II
независимые
контуры

11.

Проверка
1
M
0
1 0
0
0
0
0
1 0
0
1
0
1
1 0
1 1
0
0
1
0
0
0 0 0 0
T
N M
0 0 0 0
0
N
1
1 0 0
0 0 0
1 0
1 1 1

12.

13.

Обобщенное уравнение состояния электрической
цепи в матричной форме
M
J
A I F
I
NZ
E
в
к
1) Определим предварительно матрицы NZв и Ек для рис.9,10
лек №2.
Z1
Z2
NZв
1 1 0
0
0
0
0 1
1 0
1
1
Z3
Z4
Z5
Z6
Z1 Z 2 0
0
0
0
0 Z4
Z5
0
Z5
Z6

14.

N
1
Z1
0
0
0
0
0
1 0
0
Z2
0
0
0
0
1 1 1
0
0
Z3
0
0
0
0
0
0
Z4
0
0
0
0
0
0
Z5
0
0
0
0
0
0
Z6
1 0 0
0 0 0
Zв
N Z в
N Z в
Z1
Z2 0
0
0
0
Z4 Z5 Z6
Z1
Z2 0
0
0
Z4 Z5 Z6
0
0
0
Z5
Z5
0
0

15.

Jа
а
E1
Z1
I
I1
E5
Jе е
E4
E2
I4
Z2
I2
Z5
I5
с
I6
II
Z4
E6
Jб
б
Рис.9.
Z6 Jс
E3
Z3
I3
д Jд

16.

E1
E2
Ek N E
1 1 0
0
0
1 0 E3
0 1 1 1 E4
0
E5
E6
EkI
E
1 E 2 E 5
E 4 E 5 E 6 E
kII

17.

Тогда:
M
J
I
NZв
Eк
Или:
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
Z1
Z2
0
0
Z5
0
0
0
Z4
Z5
0
1
1
I1
Ja
I2
Jв
I
3
J
c
0
I4
Jd
0
I 5 Eк1
Z6
I6
EккI

18.

1
Использование Mathcad
2
N
1
1 0 0
0 0 0
1 0
E
1 1 1
3
4
5
6
N E E k
1
2
5
E kI
4
5
6
E kII

19.

I1
A
M
J
F
N Z в
Ek
I
I2
Ja
I3
Jb
J
I4
Jc
I5
Jd
I6
A
stack M N Z в
1
1
0
0
0
0
Ja
0
0
0
1
0
1
Jb
0
1
1
0
1
1
Jc
0
0
1
0
0
0
Z2 0
0
Z5
0
0
Z4 Z5 Z6
Z1
0
0
F
stack J E k
Jd
E kI
E kII

20.

Z1
0
A I F
I2
Z2 0
0
0
Z4 Z5 Z6
0
Z5
I1
I2
Ja
I4
I6
Jb
I3
I5
0
Jc
I6
Jd
I3
Z 1 I 1
Z 2 I 2
Z 5 I 5
1
2
5
Z 4 I 4
Z 5 I 5
Z 6 I 6
4
5
6

21.

Определение матрицы N по известной матрице М с
использованием теории графов.
Для этого разобьем матрицы М и N на подблоки
М = [М α Мβ ] ; N = [N α Nβ ],
затем используем выражение: NMt = 0 или
N
N
M t
M t
N M t N M t 0
откуда N = -Nβ Mβ t · Mα t-1
Матрицу Nβ можно задать единичной, т.е. (Nβ =1)
Это соответствует выбору системы таких контуров,
которые характеризуются следующими свойствами:
каждый из контуров замыкается одной хордой, т.е.
каждая хорда входит только в один контур;

22.

последовательности нумерации хорд и контуров
одинаковы;
•направление обхода контуров и замыкающих их хорд
одинаковы.
Рассмотренные контуры называются базисными.
Они являются независимыми, т.к. в каждый из них входит одна
хорда, не входящая в другой контур.
Таким образом при выделении базисных контуров (Nβ =1)
будем иметь:
N = - Mβt ·Mαt-1
Таким образом для формирования уравнений состояния
электрической цепи необходимо получить матрицу М, разделить
все на блоки Мα и Мβ и выполнить над ними стандартные
операции.
Проиллюстрируем это для графа, показанного на рис.1.
Для этого воспользуемся деревом и хордой рис.3 второй вариант,
т.е. выделим блоки соответствующие ветвям дерева (1,2,3,4) и
хордам (5 и 6) и запишем для них матрицу М:

23.

Выбор независимых контуров, обеспечивающих N = 1
а
2
1
I
5
е
c
II
6
4
b
Рис. 1а.
3
d

24.

4
Дерево
Хорды
а
1
2
3
е
4
е
d
с
5
с
в
в
6
Рис.3.
М
1 1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
Мα
Мβ
Выбранный вариант дерева второй из восьми рис 3 удобен
лишь тем, что не требует перенумерации столбцов полученной ранее матрицы М тогда:

25.

Тогда:
N M t M t
1
0
0
1
1
1
0
1 1
0
0 t
0
0
0
1
0
0
1
1 0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1 0
0
0
0
1 0
1
0
0
0 t
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1 1 0
0
1 1
0
1
1 1
0
0
1
1
1
1
0
1 0
0
1

26.

1
т.к. Nβ = 1 = 0
0
по условию,
1
то N = NαNβ =
1
1
1
0
1 0
0
1 0
1 0
1
Матрице N соответствует два контура. В первый входят
ветви 1,2,4,5, во второй – 1,2,4 и 6. При этом хорда 5 входит
только в первый контур, а хорда 6 только во второй и направление обхода контуров совпадают с направлениями соответствующих хорд (рис.2,3). Т.о. получена система базисных
контуров отвечает вы-деленным дереву и хордам.

27.

M
N
N
1
1 0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1 0
0
0
1
M
T
M
M
1 1
0
T
augment N N
0
1
0
1 1 0 0
1
N
1 0
1
N
1 1 0 0 1 0
1
1 0
1 0 1
1 0
0 1

28.

На практике расчета установившегося режимов электроэнергетических систем, кроме обобщенного уравнения состояния
электрической цепи
AI F
позволяющего:
1) определить токи в ветвях , для чего оно решается
относительно токов в ветвях;
2) по найденной матрице токов I определяется падение
напряжения в ветвях схемы Uв по уравнению
Uв = ZвI – E
3) находится относительно балансирующего UΔ
Uв = М+ UΔ
Широко используются:
а) узловое уравнение Уу UΔ = J – MУВЕ
здесь Уу – матрица узловых проводимостей
УВ – матрица проводимости ветвей

29.

б) контурное уравнение
1
М
ZKIK = EK – NZB J
0
По сравнению с обобщенным уравнением, уравнения а) и б)
имеют маленький порядок системы уравнений. При этом области
наиболее рационального применения узловых либо контурных
уравнений определяются характером исходных данных и задачами расчета. Так, узловые уравнения удобны при отсутствии ЭДС в
ветвях, что приводит узловое уравнение к виду УУ·UΔ = J, а
контурные – при отсутствии задающих токов в узлах схемы
замещения, что соответствует уравнению ZKIK = EK.
Для выполнения расчета любого установившегося режима
необходима информация о схеме и параметрах электрической
системы, о потребителях (нагрузке) и источниках электроэнергии
(электростанциях).

30.

Как уже было показано выше, сеть электрической системы в
расчетах установившихся режимов представляется схемой замещения в виде линейной электрической цепи, конфигурация и параметры которой отображаются той или иной матрицей обобщенных
параметров.
Исходными данными о нагрузке реальных электрических
систем при проектировании и эксплуатации обычно служат
значения потребляемых ими активных и реактивных мощностей
(Рнi + Qнi) = Sнi, которые могут приниматься постоянными
(Sнi = const) либо зависящими от напряжения в точке подключения
нагрузки к сети, т.е. Sнi = f(Uнi).
Исходными данными об источниках питания как правило служат
выдаваемые генераторами в систему активные мощности (Рнi =
const) и абсолютные значения напряжений в точке их подключения
UГj = const. Хотя в ряде случаев источники питания могут быть
заданны и постоянными значениями активных и реактивных
мощностей (Рнi = const и Qнi = const)аналогично нагрузкам

31.

Кроме того один из источников (как правило наиболее мощная
электрическая станция), играющий роль балансирующего, задается комплексным значением напряжения (Uб= const).
При указанных исходных данных целью расчета установившихся режимов электрической системы в общем случае является
определение мощностей и токов в ветвях схемы замещения и
комплексных значений напряжений в узловых точках. С математической точки зрения задача сводится к решению системы
нелинейных алгебраических уравнений из-за нелинейности зависимости мощности от тока и напряжения. Конкретный вид таких
уравнений определяется формами уравнений состояния и обобщенными параметрами системы. Из уравнений состояния наиболее широко применяются узловые уравнения, которые характеризуются как простотой формирования, так и большими возможностями эффективной организацией процесса их решения.
Контурные уравнения формируются несколько сложнее,
однако и они имеют определенную рациональную область
применения

32.

Уравнения установившегося режима электрической системы
трехфазного переменного тока, связывающего мощности, задающие
токи и напряжения узлов, при отсутствии ЭДС в ветвях имеет вид:
^
Sy = 3Uд J
Уу(U – Uб ) = J
- система нелинейных уравнений
- система линейных уравнений
где мощность трехфазной цепи определяется фазными значениями
напряжения и тока.
Если в расчетах режимов электрических систем используются
выражение мощности через линейные напряжения и фазные
токи, то уравнения будут иметь вид:
Sy = 3 Uд J^
Уу·(U – Uб ) =
3J
где Sy – столбец мощностей источников или потребителей
присоединенных к узлам схемы замещения системы;

33.

Uд = diag(Ui ) – диагональная матрица напряжений в
узлах схемы замещения;
U – столбец напряжений в узлах системы;
Uб = Uбn – столбец, каждый элемент которого равен
напряжению в балансирующем узле ( U - Uб = UΔ);
J – столбец задающих токов в узлах (символ ^
указывает на комплексно-сопряженные величины).