Непрерывные случайные величины

1.

Случайна величина Х называется непрерывной,
если невозможно перечислить все ее значения

2.

Случайна величина Х называется непрерывной,
если невозможно перечислить все ее значения
Например, X – время работы электролампочки до
перегорания
X – рост случайно выбранного человека

3.

Вместо вероятности того, что
случайная величина Х примет значение,
равное х, т.е. p(X=x), рассматривают P( X
F ( x ) P( X x )
Функция распределения
x)

4.

Известно, что студент приходит на занятия в
случайный момент времени в интервале от
8.00 до 9.00. Пусть X – Время прихода
студента. Найдем функцию распределения X.

5.

F ( x ) P( X x )
событие
8.00
X x
x
9.00
( x 8)
F ( x)
x 8
1
если
x 8;9

6.

F ( x ) P( X x )
F ( x) 0
если
x 8

7.

F ( x ) P( X x )
F ( x) 0
если
F ( x) 1
если
x 8
x 9

8.

F ( x ) P( X x )
0, x 8
F ( x) x 8, x (8;9]
1, x 9

9.

0, x 8
F ( x) x 8, x 8;9
1, x 9
1
8
9

10.

Автобусы ходят с интервалом 20 минут. Пассажир
подходит к остановке в случайный момент
времени. Пусть Х – время ожидания автобуса
пассажиром.
Найти функцию распределения Х и построить ее
график.

11.

F ( x ) P( X x )
событие
X x
x
0
x
F ( x)
20
20
если x 0;20

12.

F ( x ) P( X x )
F ( x) 0
если
x 0

13.

F ( x ) P( X x )
F ( x) 0
F ( x) 1
если
x 0
если
x 20

14.

F ( x ) P( X x )
0, x 0
x
F ( x) , x (0;20]
20
1, x 20

15.

0, x 0
x
F ( x) , x (0;20]
20
1, x 20
1
0
20

16.

1
Функция распределения является
неубывающей
функцией. Для
любых x1 x2 выполнено
F ( x1 ) F ( x2 )

17.

2
На минус бесконечности функция
распределения равна нулю:
F ( ) 0

18.

3
На плюс бесконечности функция
распределения равна единице:
F ( ) 1

19.

4
p( X ) F ( ) F ( )

20.

5
p( X ) 1 F ( )

21.

Пример Используя функцию распределения
величины X – Время прихода студента на
лекцию, найти вероятность того, что он
прибудет в интервал времени от 8.30 до 8.40.
0, x 8
F ( x) x 8, x 8;9
1, x 9

22.

Рассмотрим
непрерывную
случайную
величину Х с функцией распределения F(x).
Вычислим вероятность попадания этой
случайной величины на промежуток
[ x; x x]

23.

Рассмотрим
непрерывную
случайную
величину Х с функцией распределения F(x).
Вычислим вероятность попадания этой
случайной величины на промежуток
[ x; x x]
p( x X x x) F ( x x) F ( x)
Рассмотрим предел
F ( x x) F ( x)
lim
x 0
x
=

24.

По определению производной этот предел
равен производной функции F(x) :
=
F ( x) f ( x)
Функция f(x), равная производной
от функции распределения, называется
плотностью вероятности случайной
величины Х.

25.

F ( x x) F ( x)
f ( x) lim
x 0
x
f ( x) x F ( x x) F ( x)
P ( x X x x )
При малых x величина f ( x) x
приближенно показывает вероятность попадания в
[ x; x x]

26.

Пример Дана функция распределения.
0, x 0
x
F ( x) , x (0;20]
20
1, x 20
Найти плотность распределения

27.

Пример Дана функция распределения.
0, x 0
x
F ( x) , x (0;20]
20
1, x 20
0, x 0
1
f ( x) F ( x) , x (0; 20]
20
0, x 20

28.

0, x 0
1
f ( x) , x (0; 20]
20
0, x 20
1
20
0
20

29.

1
Плотность вероятности является
неотрицательной функцией
f ( x) 0

30.

2
Вероятность попадания случайной величины
в отрезок
p ( X ) f ( x)dx

31.

3
Вероятность попадания случайной величины
в отрезок равна площади под графиком
плотности распределения на этом отрезке
а
b

32.

4
Интеграл в бесконечных пределах
от плотности вероятности равен 1:
f ( x ) dx 1