Потенциал. Решение задач

1.

Задача 1
Задача 2
Задача 4
Задача 5
Задача 6
Задача 7
Задача 8
Задача 9
Задача 10
Задача 11
Задача 12
Задача 3
Теоретическое введение

2.

Потенциал
Разность потенциалов между двумя точками электрического поля определяется
работой, которую надо совершить, чтобы единицу заряда перенести из одной
точки в другую
A
1 2 U .
q
Потенциал точечного заряда
q
4 0 r
, где r – расстояние от заряда.
Напряженность электрического поля и потенциал связаны соотношением
E
dU
,
dr
где U – разность потенциалов между пластинами конденсатора,
d – расстояние между ними.
1) Шаровой конденсатор
Разность потенциалов между внутренней сферой и какой-либо точкой внутри
конденсатора, удаленной на расстояние r от центра конденсатора, равна
U
1 1
,
4 0 a r
q
где а – радиус внутренней сферы.
2) Плоский конденсатор
Разность потенциалов между положительно заряженной пластиной и произвольной
точкой, удаленной на расстояние х от нее, равна U
x.
0

3.

3) Цилиндрический конденсатор
Разность потенциалов между внутренним цилиндром и произвольной точкой между
электродами равна
q1
r
U
ln ,
2 0
a
где а – радиус внутреннего цилиндра,
q1 – заряд внутреннего цилиндра на единицу длины.

4.

Задача №1
Условие задачи
Шарик массой m=40 мг, заряженный положительным зарядом q1=1нКл, движется со
скоростью v=10см/с На какое расстояния r может приблизиться шарик к
положительному заряду q2=1,3 нКл?

5. Дано:

Решение:
Дано:
m 40 10 6 кг
y
q1 10 9 Кл
q2
v 10 1 м / с
r
q2 1,3 10 9 Кл
1
0 8,85 10 12 Ф / м
A q1 ( 1 2 ),
A W2 W1.(1)
где 1 – потенциал поля заряда в той точке, где
шарик обладал кинетической энергией W1
r–?
x
q1
m 02
,
2
2– потенциал поля заряда в той точке, где шарик остановился W2=0
1
получим
q2
4 0 R
,
2
q1q2
m 02
4 0 r
2
q2
. A q1q2 , (2) Подставляем (2) в (1)
4 0 r
4 0 r
q1q2
.
выразим r r
2
2 0 m 0
10 9 1,3 10 9
2
м
r
6
10
12
6
2
2 3,14 8,85 10 40 10 10
Ответ: шарик сможет приблизиться к положительному точечному заряду на расстояние 6 см.

6.

Задача №2
Условие задачи
На какое расстояние могут сблизиться два электрона, если они движутся навстречу
друг другу с относительной скоростью 108 см/с?

7. Дано:

Решение:
Дано:
1
0 8,85 10
12
y
Ф/ м
е 1,6 10 19 Кл
me 9,1 10
31
e
кг
v 10 6 м / с
1
r
x
e
A e( 1 2 ),
где 1 – потенциал поля электрона в той точке,
m 12
,
где другой электрон обладал кинетической энергией W1
r–?
1
A W2 W1 (1)
e
4 0 R
,
2
e
4 0 r
A
2
m
e
1
выразим r
4 0 r
2
2
2
e2
4 0 r
, (2)
Подставим (2) в (1), получаем
с учетом того, что 2=0:
2e 2
r
.
2
2 0 m 1
2 2,56 10 38
10
r
5
,
1
10
( м).
12
31
4 3,14 8,85 10 9,1 10
Ответ: два электрона, летящие с относительной скоростью =106 м/с могут сблизиться до
расстояния r 5,1 10 10 м.

8.

Задача №3
Условие задачи
Два шарика с зарядами q1=6,6нКл и q2=13,3 нКл находятся на расстоянии r1=40см.
Какую работу нужно совершить, чтобы сблизить их до расстояния r2=25см?

9. Дано:

Решение:
q1 6,6 10 9 Кл
q 2 13,3 10 9 Кл
r1 0,4 м
A W p (W p2 W p1 ), W p1 ,W p2 потенциальная энергия
заряда q2 в точках 1 и 2 соответственно.
r2 0,25 м
1
Н м2
9
k 9 10
Кл 2
А–?
Первый способ
A A W p W p q q q2 2 1 ,
2
1 2 2 2 1
где 2, и 1 – потенциалы электростатического
q2
поля заряда в точках 2 и 1 соответственно 1
,
4 0 R
2
q
q q 1 1
q
1
1 1 2
Получим A q
.
2
4 0r2 4 0r1
4 0 r r
1
2
Второй способ
r
q1q2 1 2 q1q2 1 1
q1q2
.
A A F (r )dr
dr
2
4 0 r
4 0 r r1 4 0 r2 r1
r1
r1
1
1
A 9 109 6,6 10 9 13,3 10 9
1,2 10 6 ( Дж ).
0,25 0,4
r2
r2
Ответ: чтобы шарики сблизить до расстояния r2=25 см,
надо совершить работу А= 1,2 10 6 Дж.
q2
4 0 r
.

10.

Задача №4
Условие задачи
Какая работа А совершается при перенесении точечного заряда q=20нКл из
бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 1см от поверхности шара
радиусом 1см с поверхностной плотностью заряда =10-5 Кл/м2?

11. Дано:

Решение:
Дано:
q 2 10 8 Кл
r 10 2 м
R 10
2
10 5 Кл / м 2
1
А–?
r
q
R
м
k 9 109
σ
Н м2
Кл 2
qш
,
S
x
где S – площадь поверхности,
qш – заряд, сосредоточенный на ней.
qш 4 R .
2
S=4 R2
kqш 4 R 2 k
r
.
R r
R r
При переносе заряда q из точки с потенциалом r
в бесконечность работа электрических сил
4 R 2 kq
4 3,14 (0,01) 2 10 5 9 109 2 108
A rq
. A
1,13 10 4 ( Дж).
0,01 0,01
R r
Ответ: работа электрических сил при переносе точечного заряда q из
бесконечности в данную точку равна 1,13 10-4 Дж.

12.

Задача №5
Условие задачи
На расстоянии r1=4см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный
заряд q=0,66 нКл. Под действием поля заряд приближается к нити на расстояние
r2=2см, при этом совершается работа А=50эрг. Найти линейную плотность заряда на нити.

13. Дано:

q = 0,66 10-9 Кл
r1 = 0,04 м
r2 = ,02 м
А = 5 10-6 Дж
=1
= 3,14
0 = 8,85 10-12
Ф/м
–?
r
Решение:
r2
2
x
dA qdU A qdU ,
dU=-Edr
r1
r2
A qEdr.(1)
r1
Напряженность поля, образованного
заряженной бесконечно длинной нитью
r1
E
, ( 2)
2 0 a
где а – расстояние до нити.
Подставим выражение (2) в (1), получаем
r2
q dr
q
q
ln r2 ln r1 q ln r1 .
ln r
2 0 r
2 0
2 0
2 0 r2
r1
r
r2
A
1
выражаем
2 0 A
12
6
. 2 3,14 8,85 10 5 10 6 10 7 ( Кл / м).
r
6,6 10 10 ln 2
q ln 1
r2
Ответ: линейная плотность заряда нити равна 6 10 Кл / м.
7

14.

Задача №6
Условие задачи
Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора U=90В.
Площадь каждой пластины S=60см2 и заряд q=1нКл. На каком расстоянии
друг от друга находятся пластины?

15. Дано:

Решение:
Дано:
U = 90 В
S = 60 10-4 м2
Q = 10-9 Кл
=1
0 = 8,85 10-12
Ф/м
d–?
U
E , (1)
d
U
S
q
,
S
Е
+q
при =const. (2)
-q
Используем то, что напряженность поля, образованного разноименно заряженными
параллельными бесконечными плоскостями (поле плоского конденсатора)
E
.(3)
0
Подставим (3) в (2), получаем
E
q
.(4)
S 0
Так как формулы (1) и (4) являются двумя способами выражения одной и
той же величины, то можно приравнять их
4
12
SU 0
U
q
90
60
10
8
,
85
10
d
. d
4,8 10 3 ( м).
9
d S 0
q
10
Ответ: расстояние между пластинами конденсатора d=4,8 мм.

16.

Задача №7
Условие задачи
В плоском горизонтально расположенном конденсаторе, расстояние между пластинами
которого d=1 см, находится заряженная капелька массой m=5 10-11 г. При отсутствии
электрического поля капелька вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой
постоянной скоростью. Если к пластинам конденсатора приложить разность
потенциалов U=600 В, то капелька падает вдвое медленнее. Найти заряд капельки.

17. Дано:

d = 0,01 м
m = 5 10-14 кг
U = 600 В
1 = 2 2
g = 9,8 м/с
q–?
Решение:
y
Fсопр
mg
Fсопр mg 0.
Найдем проекции векторов сил на ось Оу:
1
Fсопр mg 0. Fсопр=mg. (1)
Используя формулу Стокса, выразим Fсопр:
Fсопр 6 rv1.(2)
Fэл
F
сопр
2
U Е q
получаем mg 6 rv1.(3)
-qn Подставив (2) в (1),
Fэл Fсопр mg 0.
d
Найдем проекции векторов сил на ось Оу:
Fэл Fсоп р mg 0 Fсопр=mg–Fэл (4)
Используя формулу Стокса, выразим Fсопр:
mg
+qn
Fсопр 6 rv2 .
Fэл=Eq.
Подставим полученные формулы
в (4), получаем
mg Eq v 6 rv2 .(5)
Почленно разделив уравнения (3) и (5), получаем mg Eq 2 mg. выражаем заряд капли
v1
q
v
U
mg
14
1 2 .E .Тогда q mgd 1 v2 . q 5 10 9,8 0,01 1 1 4,1 10 19 ( Кл).
d
E
v1
U
v1
600
2
Ответ: заряд капельки q=4,1 10-18 Кл.

18.

Задача №8
Условие задачи
Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает
пылинка. Вследствие сопротивления воздуха скорость падения пылинки постоянна
и равна v=2 см/с. Через какое время после подачи на пластины разности потенциалов
U=3 кВ пылинка достигнет одной из пластин? Какое расстояние l по вертикали пылинка
пролетит до попадания на пластину? Расстояние между пластинами d=2 см, масса
пылинки m=2 10-9 г, ее заряд q=6,5 10-17 Кл.

19. Дано:

v1 0,02 м / с
U 3000 В
d/2
m 2 10 12 кг
q 6,5 10
17
v1
Кл
d 0,02 м
t–?
l–?
d/2
+q
Fсопр
Fсопр
Fэл
Fсопр
F сопр m g 0
Найдем проекции векторов сил на ось Оу:
Fсопр mg 0
mg
Fсопр=mg. (1)
Используя формулу Стокса, выразим Fсопр:
y
Подставив (2) в (1), получаем
Fсопр 6 rv1.(2)
mg 6 rv1.(3)
qE 6 rv2 .(4)
-q
mg
l
y
Решение:
Разделим почленно выражения (4) и (3), получаем
mg v1
v qE
U
v2 1 .(5) E
.(6)
qE v2
mg
d
x
Подставляя (5) в (4) получаем
v1qU d
. v2t. выразим t
dmg 2
d
d 2 mg
t
. L = v1t.
2v 2
2v1qU
v2
4 10 4 2 10 12 9,8
t
1(c),
2 2 10 2 6,5 10 17 3000
L=2 10-2 1 = 2(см).
Ответ: через 1 с после подачи на пластины разности потенциалов U=3000 В пылинка
достигнет одной из пластин. За это время она пролетит по вертикали 2 см.

20.

Задача №9
Условие задачи
Между двумя вертикальными пластинами, находящимися на расстоянии 1 см друг
от друга, на нити висит заряженный шарик массой 0,1 г. После того, как на пластины
была подана разность потенциалов 1000 В, нить с шариком отклонилась на угол 10 .
Найти заряд шарика.

21. Дано:

Решение:
Дано:
Fэл Fупр mg 0.
d 10 2 м
Найдем проекции векторов на оси Ox и Оу
m 0,1 10 3 кг
a
U 1000 В
10
Fупр
Fэл
g 9,8 м / с 2
Оx : Fэл Fупр sin 0 Fэл Fупр sin (1)
Оy : mg Fупр cos 0 mg Fупр cos (2)
x
mg
1
+q
-q
y
q–?
Fэл qE.
E
U
,
d
Разделим почленно уравнение
(1) на (2), получаем
Fэл
tg .(3) По определению
mg
И, учитывая то, что внутри конденсатора имеется
однородное электрическое поле с напряженностью
получим из (3)
qU
tg dmg
tg
q
.
mgd
U
tg 10 0,01 1 10 4 9,8
q
1,73 (нКл).
1000
Ответ: заряд шарика равен q 1,73 10
9
Кл.

22.

Задача №10
Условие задачи
Электрон с некоторой начальной скоростью v0 влетает в плоский, горизонтально
расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них.
К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U=300 В, расстояние
между пластинами d=2 см, длина конденсатора l=10 см. Какова должна быть
предельная начальная скорость электрона v0, чтобы электрон не вылетел из
конденсатора. Решить эту же задачу для альфа-частицы.

23. Дано:

Решение:
Дано:
U 300 B
F=eE,
-q
d 0,02 м
Е
e
l 0,1 м
Fэл
1
e 1,6 10
t
Кл
q 3,2 10 19 Кл
m 6,6 10
0 ?
27
l
v0
,
y
кг
отклонится на расстояние
at 2
eEl 2
y
,
2
2
2mv0
Чтобы электрон не вылетел из конденсатора, надо, чтобы
отсюда
eE
m
пролетая длину l конденсатора
l
y за время
me 9,1 10 31 кг
19
a
U
v0 l
y
U
eE
eU
l
; E , отсюда v0 l
d
md
md 2
d
0,1 1,6 10 19 300
v0 e
3,64 107 ( м / с).
31
0,02
9,1 10
v0
d
,
2
eU
.
m
0,1 3,2 10 19 300
5
6
10
( м / с).
27
0,02
6,6 10
Ответ: чтобы электрон и альфа-частица не вылетели из конденсатора, их предельная
скорость должна быть v0e 3,64 107 м / с и v 6 105 м / с соответственно.
0

24.

Задача №11
Условие задачи
Протон и альфа-частица с одинаковой скоростью влетают в плоский конденсатор
параллельно пластинам. Во сколько раз отклонение протона полем конденсатора
будет больше отклонения альфа-частицы?

25. Дано:

Решение:
Дано:
v1 v2 v
1
mпр 1,7 10
27
19
кг
y пр
y
?
a
qE
m
y пролетая длину l конденсатора
за время
Кл
m 6,6 10 27 кг
U
Fэл
d
ускорение по второму закону
Ньютона
Е
e
qпр 1,6 10 19 Кл
q 3,2 10
F=eE,
-q
l
+q
y
t
l
,
at 2
qEl 2
.
отклонится на расстояние y
2
2
2m
y пр qпр m 4
2,
Найдем соотношение
y mпр q 2
вследствие того что
mпр 1 а.е. м., qпр e ,
m 4 а.е. м., q 2 e .
Ответ: отклонение протона полем плоского конденсатора в два раза больше отклонения
альфа-частицы в этом же поле плоского конденсатора.

26.

Задача №12
Условие задачи
Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов U=300В при прохождении через
незаряженный плоский горизонтально расположенный конденсатор дает светящееся
пятно на флуоресцирующем экране, расположенном на расстоянии l1=12 см от конца
конденсатора. При зарядке конденсатора пятно на экране смещается на
расстояние у=3 см. Расстояние между пластинами конденсатора d=1,4 см, длина
конденсатора l=6 см. Найти разность потенциалов U1, приложенную к пластинам
конденсатора.

27. Дано:

Решение:
-q
Дано:
e
U 300 В
Е
l1 0,12 м
U1 – ?
at12
y1
.
2
l
al 2
t1
, (*) y1 2 .(1)
0
2 0
y1
l 0,06 м
d 1,4 10
l 0 t1 ,
d/2
2
м
+q
+q
Найдем v0. Если ускоряющее поле совершает над частицей массой m и зарядом q работу
A=qU
m 02
m 02 2 2qU
.(2) F ma . F qE , a E U1 ,
Wk
. qU
. 0
2
m
2
d
где Е – напряженность поля между пластинами конденсатора, то
F
qU 1
.
d
qU1
qU1
Подставим (3) и
qU1l 2 m U1l 2
ma a
.(3) (2) в (1), получаем y1
.v at1.( 4)
4mdqU 4dU y1
d
md
y l1
l1
по оси Ox смещение: x=vx t2, l1 0t2
Подставим в (5) выражение
t
.
y
.(
5
)
2
по оси Оу смещение: y=vy1 t2, y2 y t2
(4), (*), (3), (2), получаем
0 2 0
2
qU1ll1m U1ll1
U
l
y2
. y y1 y2 , y 1 U1ll1 U1 2dUy .
2mdqU 2Ud
4dU 2dU
l l l1
2
2
2
2 1,4 10 3 10 300
U1
28 ( В).
2
2
2
6 10 3 10 12 10
1
1
Ответ: разность потенциалов, приложенная к пластинам конденсатора равна U=28 В.