Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Задачи

1.

Задача 1
Задача 3
Задача 2
Задача 4
Задача 5
Задача 6
Задача 7
Задача 8
Теоретическое введение

2.

Закон Кулона
Напряженность электрического поля
По закону Кулона сила, действующая между двумя заряженными телами, размеры которых малы
по сравнению с расстоянием между ними, определяется формулой:
F
q1q2
,
2
4 0 r где q1 и q2 – электрические заряды тел,
r – расстояние между ними,
– относительная диэлектрическая проницаемость среды,
0 – электрическая постоянная, равная в СИ 8,85 10-12 Ф/м.
Напряженность электрического поля определяется формулой
E
F
,
q
где F – сила, действующая на заряд q.
E
Напряженность поля точечного заряда
q
4 0 r 2
.
Напряженность электрического поля от нескольких зарядов находится по правилу
геометрических сложений полей.
По теореме Гаусса поток напряженности сквозь любую замкнутую поверхность
NE
q
0
,
где q – алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри этой поверхности.
При помощи теоремы Гаусса можно найти напряженность электрического поля,
образованного различными заряженными телами.
Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно длинной нитью
Е
,
2 0 а

3.

где – линейная плотность заряда на нити,
а – расстояние от нити.
Если нить имеет конечную длину, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре,
восстановленном из середины нити на расстоянии а от нее равна:
E
r sin
,
2 0a
где – угол между направлением нормали к нити и радиус-вектором, проведенным из рассматриваемой
точки к концу нити.
Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно протяженной плоскостью
E
,
2 0
где – поверхностная плотность заряда на плоскости.
Если плоскость представляет собой диск радиусом R, то напряженность поля в точке, находящейся
на перпендикуляре, восстановленном из центра диска на расстоянии а от нее,
Е
a
1
2 0
R2 a2
.
Напряженность поля, образованного разноименно заряженными бесконечными плоскостями
Е
.
0
Напряженность поля, образованного заряженным шаром
Е
q
4 0 r
2
,
где q – заряд шара радиусом R,
r – расстояние от центра шара, причем r>R.

4.

Задача 1
В вершинах правильного шестиугольника расположены три
положительных и три отрицательных заряда. Найти напряженность Е
электрического поля в центре шестиугольника при различных
комбинациях в расположении этих зарядов. Каждый заряд 1,5 нКл,
сторона шестиугольника 3 см.

5.

Задача 1
-q4
Решение:
Дано:
Ē4
N+=3
3 варианта расположения
N-=3
а) Ēрез= Ē1+Ē2+Ē3+Ē4+Ē5+Ē6 (1)
q4=q5=q6=-1,5∙10-9 Кл
2α=120°
a=3 см=3∙
k=9109 Н∙м2/Кл2
k
Ēрез= 2Ē1+2Ē2+2Ē3 (2)
E рез 2 E3 k
2q
a
Ē1
Ē5
Ē2
-q5
Ē6
2 2 q cos 60
E3
Т.к.
2
Ē3
+q1
q1=q2=q3=1,5∙10-9 Кл
10-2 м
+q2
a2
kq
a2
k
то
2q
+q3
-q6
a2
Ерез= 0
Ерез - ?
+q3
б)
Ерез= Ē1+Ē2+Ē3+Ē4+Ē5+Ē6
Ерез= E2+E5=2E2
E2
kq
a
2
(4)
+q1
(5)
Подставим (5) в (4)
Ē3
-q5
Ē2 Ē
5
-q4
kq
E рез 2 30кВт / м
a
Ē6
Ē4
Ē1
+q2
в)
Ēрез= Ē1+Ē2+Ē3+Ē4+Ē5+Ē6 (6)
+q2
E1 E4 , E2 E5 , E3 E6
(3)
+q3
-q6
Ēрез= 2Ē1+ 2Ē2+2Ē3
-q4
Ē1
Ē4
Ē2
Ē5
Ē6Ē3
+q1
2q
2q
2q
k
cos
60
k
cos 60
a2
a2
a2
4q
E рез k 2 60кВ / м
a
E рез k
Ответ:
напряженность в центре шестиугольника при трех вариантах расположения
зарядов равна Е=0; Е=30 кВ/м; Е=60 кВ/м, соответственно.
-q6
-q5

6.

Задача 2
Два точечных заряда q1=7нКл, q2=–14.7 нКл расположены на расстоянии r=5
см. Найти напряженность Е электростатического поля в точке, находящейся
на расстоянии а=3 см от положительного заряда и b=4 см от отрицательного
заряда.

7.

Задача 2
Дано:
Решение:
Теор. косинусов
q1=7,5∙10-9 Кл
q2
=-14,7∙10-9
Кл
EA E1 E2 2E1E2 cos
2
r=5∙10-2 м
E1
а=3∙10-2 м
b=4∙10-2 м
q1
4 0 a
(1)
2
2
E2
q2
4 0b
(2)
+q
2
a
r a b 2ab cos
2
π=3,14
ε0=8,85∙10-12Ф/м
ЕА=?
2
2
a 2 b2 r 2
cos
2ab
r
(3)
А
Ē2
b
Ē1
Ēр
-q
2
2
q1 q2
1 q12 1 q2 2
a 2 b2 r 2
3
4
4 2
E A
111
,
6
10
( В / м)
2
2 2
16 0 a b
2ab
4 0 a 4 0 b
Ответ: напряженность электрического поля в точке А равна Е=111,6 кВ/м

8.

Задача 3
Два шарика одинаковых радиусов и массы подвешены на нитях
одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. Какой заряд
Q нужно сообщить шарикам, чтобы сила натяжения нитей стала равной
Т=98 мН? Расстояние от центра шарика до точки подвеса l=10 см, масса
каждого шарика m=5г.

9.

Задача 3
Дано:
Решение:
r1=r2=r
kq2
F 2
4r
m1=m2
=5∙10-3
T=98 ∙
10-3
кг
(1)
l
mg Fупр Fk 0
Н
L=10-1 м
Ox : Fк Fупр sin 0
ε=1
Oy : Fупр cos mg 0
k=9 ∙ 109 Н ∙ м2/Кл2
FК Fупр sin
q-?
mg Fупр cos
cos
r
(2)
(3)
mg
mg
T
2
r
r 2 r 2l 2 sin
2l
Подставим формулы (1), (4), (5) в (2), получаем
3
x
y
mg
sin 1 cos 1
T
sin
Fупр
Fk
2
16l 2T
q
k
2α
mg 2
1
1,1 10 6 ( Кл)
T
(4)
(5)
kq2
T sin
2
2
16l sin
Ответ: чтобы сила натяжения нитей была равна 98 мН нужно сообщить шарикам заряд
который равен 1,1 мкКл.

10.

Задача 4
Два заряженных шарика одинаковых радиусов и массы подвешены на нитях
одинаковой длины и опущены в жидкий диэлектрик, плотность которого равна
, а диэлектрическая
проницаемость равна
. Какова должна быть плотность
0
материала шариков,
чтобы углы расхождения нитей в воздухе и в диэлектрике
были одинаковы?

11.

Задача 4
Решение:
1) В воздухе (ε=1)
Дано:
mg Fупр Fk 0
Ox : FK Fупр sin 0 FК Fупр sin
m1=m2=m
Fк mgtg
ρ
ε
sin
ρ0-?
mg
q2
4 0 r 2
r
2l
mgtg
(3)
x
y
(5)
l
α
(6)
Oy : Fупр cos mg Fарх 0 mg Fарх Fупр cos
Поделим почленно (6) на (7) получим
Fk
q mg
2
q
16 0l 2 sin 2 tg
(7) q
r
F
арх
α
Fупр
Fk
q mg
x
Fарх gV (10)
(8)
q2
16 0l 2 sin 2 tg
α
(4). Подставим (3) в (4), получим
Ox : FK Fупр sin 0 FK Fупр sin
FK
tg
r
q
2) В жидком диэлектрике mg Fупр Fk Fарх 0
mg Fарх
Fупр
Oy : Fупр cos mg 0 mg Fупр cos (2)
l
mg Fарх
α
l
(1)
y
Из (5), (9), (10) имеем
(9) mg Fарх
0 1
0
0 gV gV 0 sin 2 tg q 2 4 0 4l 2
0 gV
0
sin 2 tg q 2 4 0 4l 2
mg
0
1
Ответ:
Плотность материала шарика должна быть получена из формулы 0
1

12.

Задача 5
На рисунке АА — заряженная плоскость с поверхностной плотностью
заряда 40 мкКл/м2 и В — одноименно заряженный шарик с массой 1г и
зарядом 1нКл. Какой угол с плоскостью АА образует нить, на которой висит
шарик?

13.

Задача 5
σ = 40 ∙ 10-6 Кл/м2
m = 0,001 кг
α
Fупр
mg Fупр cos (2)
g = 9,8 м/с2
ε0 = 8,85 ∙ 10-12 Ф/м
α-?
FK
mg
(3)
По опр.
FK qE
Напряженность бесконечной плоскости
Подставим (5) в (4)
q
2 0
(6)
y
A
Разделим почленно (1) на (2) получим
tg
FK
mg
FK F упрsin (1)
ε=1
(4)
E
2 0
Подставляя (6) в (3), получаем
tg
arctg
Ответ:
α
Oy : Fупр cos mg 0
q = 10-9 Кл
FK
A'
Решение:
kq2
mg Fупр FK 0
Fк 2
r
Ox : FK Fупр sin 0
Дано:
q
2 0 mg
q
13
2 0 mg
угол, который образует нить с плоскостью, равен α=13°
(5)
x

14.

Задача 6
С какой силой Fl на единицу длины отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно
длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда 3 мкКл/м, находящиеся на расстоянии
r1=2 см друг от друга? Какую работу на единицу длины надо совершить, чтобы сдвинуть эти
нити до расстояния r2=1 см.?

15.

Задача 6
Дано:
τ1 = τ2
=3∙10-6
Кл/м
r2
E
2 0 r1
(1)
dq
dq dl
dl
r1=2∙10-2 м
=10-2
Решение:
м
ε=1
ε=8,86∙10-12 Ф/м
а)
dF E dq (2)
dl
(3) где dl – длина физически
бесконечно малого отрезка нити
2l
F
2 0 r1
F
2
l 2 0 r1
(1’)
dq dF
r1
F=8 (Н/м)
F1-?, А1-?
б)
2 dl
dF
2 0 x
x2
(4)
dAl Fl dx
(5)
Al Fl dx (6)
x1
2 dx 2
Al x 2
2 0 x 2 0
x
x2
1
x1
dx
2
2
x x 2 0 ln x 2 0 ln x2
1
x2
А = 0,112 (Дж/м)
Ответ:
две одноименно заряженные бесконечно длинные нити отталкиваются с силой F=8,1
Н/м, приходящиеся на единицу длины; чтобы сдвинуть эти две нити на 1 см, надо
совершить работу Аl = 0,112 Дж/м, приходящуюся на единицу их длины.
х

16.

Задача 7
В плоском горизонтально расположенном конденсаторе заряженная
капелька ртути находится в равновесии при напряженности
.q=
Найти радиус R капли.
10 9 СГС
электрического поля Е=60кВ/м.2,4Заряд
капли
q

17.

Задача 7
Дано:
Е = 6∙104 В/м
q = 8∙10-19 Кл
ρ = 13,6∙103 кг/м3
g = 9,8
м/с2
ε=1
R-?
Решение:
Fэл mg 0
(1)
Oy : mg Fэл 0 mg Fэл
По определению
(2)
Fэл=Eq
E
0
4
m V R 3
3
(3)
4
R 3 g Eq
3
3qE
R 3
4 g
R=1∙10-3
Ответ:
E
радиус капли должен быть R= 1∙10-3 м
Fэл
mg
y
E

18.

Задача 8
Кольцо из проволоки радиусом R=10 см имеет отрицательный заряд q=–5
нКл. 1) Найти напряженность Е электрического поля на оси кольца в
точках, расположенных на расстояниях L равных 0, 5, 8, 10 и 15см.
Начертить график Е=f(L). 2) На каком расстоянии L от центра кольца
напряженность электрического поля будет иметь максимальное значение?

19.

Задача 8
Дано:
R=0,1 см
q=-5∙10-9 Кл
L1=0м
L2=0,05 м
L3=0,08 м
L4=0,1 м
L5=0,15 м
ε =1
ε0=8,85 10-12 Ф/м
E1,E2,E3,E4,E5-?
Emax-?
Lm=?
начертить E=f(L)
Решение:
dE
dq
dq
4 0 x 2
E dEt
L
Ldq
x 4 0 x 3
L
Lq
E
dq
4 0 x 3
4 0 x 3
Lq
4 0 ( R 2 L2 ) 3 / 2
E
Если L>>R, то
R x sin , L x cos
E
q
4 0 R 2
L
x R 2 L2
(1)
q
4 0 L
2
E1 = 0 (В/м)
E2 = 1609 (В/м)
E3=1714 (В/м)
cos sin
2
E4 = 1590 (В/м)
dE
q
(cos 2 2 sin sin 3 ) 0
2
d 4 0R
2 cos 2 sin sin 3 0
2 cos 2 sin 2 0
x
R
dEt dE cos dE
E
dl
E5 = 1152 (В/м)
tg 2 2
L
R
R
tg
2
Продолжение…
dE
dEt
dEn

20.

График Е=f(L)
E, В/м
1732
1000
0
0,1
0,2
L,м
R=0,1 м, следовательно Lm=7,1∙10-2 м, Emax=1732 В/м.
Ответ:
напряженность электрического поля на 0 м; 0,05 м; 0,08 м; 0,1 м; 0,15 м равна
соответственно 0 В/м; 1609 В/м; 1714 В/м; 1590 В/м; 1152 В/м. Напряженность будет
максимальной на расстоянии от центра Lm=7,1∙10-2 м и равна Е=1732 В/м.