Введение в магнитостатику (1). Лекция 1

1.

Кафедра физики
ЛЕКЦИЯ 1
Электромагнетизм
План лекции
1. Введение в магнитостатику. Сила Лоренца.
2. Взаимодействие токов. Физический смысл индукции
магнитного поля.
3. Графическое изображение магнитного поля.
4. Закон Био – Савара - Лапласа.
5. Примеры расчета магнитных полей:
- магнитное поле прямого тока;
- магнитное поле равномерно движущегося заряда.

2.

Кафедра физики
Введение в магнитостатику. Сила Лоренца
Электромагнитные силы - одни из наиболее важных в природе,
поскольку они определяют существование атомов.
Магнитостатика - раздел
постоянных магнитных полей.
физики,
изучающий
свойства
Рассмотрим пространство, в котором находятся заряды. Выделим
один из них, обозначим его q. На этот заряд действует сила со
стороны всех остальных зарядов. Сила зависит от величин
зарядов, от их расположения и скорости.
Из экспериментов: на заряд q действует сила:
v
F qE q v , B
- скорость заряда в рассматриваемой точке пространства.
Это выражение - формула Лоренца, а сила F- сила Лоренца.
Общая физика. «Электромагнетизм»
2

3.

Кафедра физики
Введение в магнитостатику. Сила Лоренца
В формуле Лоренца
F qE q v , B
Первое слагаемое не зависит от
скорости движения заряда, и
определяет компоненту силы,
которая
действует как на
движущийся,
так
и
на
неподвижный заряды. E - это
напряженность электрического
поля, т.е. сила, действующая на
неподвижный единичный заряд
со стороны других зарядов.
Общая физика. «Электромагнетизм»
два слагаемых.
Второе слагаемое определяет
компоненту
силы,
которая
возникает только тогда, когда
выделенный
заряд
имеет
отличную от нуля скорость.
Вектор B - индукция магнитного
поля. Магнитное поле, в свою
очередь, может быть создано в
пространстве только при наличии
движущихся зарядов.
3

4.

Кафедра физики
Введение в магнитостатику. Сила Лоренца
F qE q v , B
Индукцию магнитного поля B уже нельзя, как напряженность E ,
определить через силу, действующую в рассматриваемой
точке
пространства на движущийся со скоростью v заряд.
Эта сила, как следует
из
формулы Лоренца, зависит не только от
B и v , но и от их взаимного расположения. Если
модулей векторов
. v \ \ B , то v , B 0 , даже если B 0.
Итак, движущиеся заряды создают магнитное поле. Пример движущихся
зарядов – протекание тока в проводниках. Стационарные электрические
токи являются источниками постоянного магнитного поля. Раздел
физики - магнитостатика.
Как обнаружить магнитное поле ?
а) по воздействию на стрелку компаса (постоянный магнит);
б) по поведению в магнитном поле плоского замкнутого контура
очень малых размеров с циркулирующим в нем током.
Общая физика. «Электромагнетизм»
4

5.

Кафедра физики
Взаимодействие токов. Физический
смысл индукции магнитного поля
Рассмотрим поведение в магнитном поле плоского замкнутого
контура с током.
Ориентацию контура в пространстве характеризуют направлением
нормали n к контуру, которое связано с направлением тока I в
контуре правилом правого винта. Это положительная нормаль.
Магнитное
поле
устанавливает
контур
n
положительной нормалью по направлению поля.
I
При повороте контура возникает вращающий
момент, стремящийся вернуть контур в
равновесное положение.
Модуль момента зависит от угла между
нормалью и направлением поля.
При 2 модуль вращающего момента максимален M max .
Общая физика. «Электромагнетизм»
5

6.

Кафедра физики
Взаимодействие токов. Физический
смысл индукции магнитного поля
n Вращающий момент зависит от магнитного поля.
В то же время он зависит и от свойств контура:
площади S и тока в контуре. Свойства контура
учитываются через его дипольный магнитный
I
момент:
pm ISn0
Дипольный магнитный момент – это вектор, направленный по
положительной нормали контура.
При одинаковой ориентации разных пробных контуров ( const)
для них оказывается одним и тем же отношение
M max pm
- это модуль магнитной индукции
Магнитная индукция это векторная величина, модуль которой
задается выражением B M max pm , а направление – равновесным
положением положительной нормали к контуру с током.
Общая физика. «Электромагнетизм»
6

7.

Кафедра физики
Взаимодействие токов. Физический
смысл индукции магнитного поля
Для магнитного поля, как и для электрического,
справедлив принцип суперпозиции:
B,
Поле с магнитной индукцией
порождаемое несколькими
движущимися
зарядами (токами), равно векторной сумме
полей Bi , порождаемых каждым зарядом (током) в
отдельности:
B
Общая физика. «Электромагнетизм»
B
i
7

8.

Кафедра физики
Графическое изображение магнитного поля
Магнитное поле изображается с помощью линий магнитной
индукции.
Линии магнитной индукции - это такие линии, касательные к
которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором
магнитной индукции.
Силовые линии магнитного поля замкнуты, либо начинаются и
оканчиваются в бесконечности. В местах увеличения магнитной
индукции силовые линии сгущаются, а в местах ослабления
изображаются более редкими.
Общая физика. «Электромагнетизм»
8

9.

Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа
Токи, текущие по проводникам, создают в окружающем
пространстве магнитное поле. Как вычислить магнитное поле
произвольного тока? В электростатике: взаимодействие точечных
зарядов, затем - принцип суперпозиции. В магнитостатике - тот же
прием. Аналог точечных зарядов - малые прямолинейные участки
проводников с током - элементы тока. Важно знать закон, по
которому вычисляется магнитное поле, созданное элементом тока.
Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока I
длиной dl, справедлива формула
Это закон Био – Савара – Лапласа
Общая физика. «Электромагнетизм»
I d l ,r
dB k 3
r
9

10.

Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа
' I dl , r
dB k
r3
k - коэффициент пропорциональности
dl - вектор, совпадающий по модулю с
размером элементарного участка
тока и направленный в сторону
протекания тока;
r - вектор, проведенный от элемента
тока в точку А.
dB
r
dl
I
А
Направление dB : перпендикулярно плоскости,
в которой располагаются векторы dl и r ; его
направление совпадает с направлением
правого винта,
вращающегося по кратчайшему
пути от dl к r .
В системе СИ
0 I dl , r
0
'
, следовательно dB
k
4
4 r 3
Общая физика. «Электромагнетизм»
10

11.

Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа
0 I dl , r
dB
3
4 r
dB
r
dl
Магнитная индукция является силовой
характеристикой магнитного поля.
dl , r dl r sin
Модуль dB определяется как
А
0 I dl r sin 0 I dl sin
dB
3
4
4 r 2
r
- угол между векторами dl и r .
I
Общая физика. «Электромагнетизм»
11

12.

Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
Поле прямого тока
Постановка задачи:
I
Имеется тонкий, прямой, бесконечно
протяженный проводник, по которому
течет ток I.
Вычислим магнитную индукцию в
точке А на расстоянии
b от
проводника.
Способ решения:
Выделим элементарный участок
тока dl ,
А
b
r
dl
направим
радиус-вектор r от элемента
тока dl в точку А.
Общая физика. «Электромагнетизм»
12

13.

Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
Элемент тока dl создает в точке А
магнитное поле с индукцией dB .
Положение dl на рисунке
выбрано
произвольно,
вектор dB от любого
другого dl в точке А будет иметь
одно и то же направление –
перпендикулярно
плоскости
чертежа.
Следовательно, сложение векторов dB
можно заменить сложением их модулей.
Общая физика. «Электромагнетизм»
dB
I
Поле прямого тока
А
b
dB
r
dl
13

14.

Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
dB
I
Поле прямого тока
Модуль dB определяется формулой
0 I dl sin
dB
4
r2
Одно уравнение, три переменных (dl, r, α ).
dB
Способ решения - свести все переменные
к одной и проинтегрировать.
Удобнее в качестве переменной
использовать угол α.
Решение:
А
b
r
dl
0 I
B
2 b
Общая физика. «Электромагнетизм»
14

15.

Закон Био – Савара – Лапласа.
Кафедра физики
Примеры расчета магнитных полей
ИЗУЧИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО:
1. Магнитное поле прямого тока - вывод формулы;
2. Магнитное поле равномерно движущегося заряда.
Общая физика. «Электромагнетизм»
15

16.

Закон Био – Савара – Лапласа.
Кафедра физики
Примеры расчета магнитных полей
Магнитное поле на оси кругового тока
Пусть электрический ток силой I течет по проводнику радиусом R.
Найти магнитное поле на оси х в точке А,
находящейся на расстоянии а от центра.
R
a
I
Общая физика. «Электромагнетизм»
А
x
16

17.

Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
Магнитное поле на оси кругового тока
Разобьем круговой ток на элементы тока длиной
dl и проведем от
произвольного элемента тока радиус-вектор r в точку А.
dl
dB
r
R
I
a
А
x
Вектор dB направлен перпендикулярно
плоскости, в
которой располагаются векторы dl и r .
Общая физика. «Электромагнетизм»
17

18.

Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
dl
Магнитное поле на оси кругового тока
dB
r
dBn
R
I
a
А dB
x
Модуль вектора магнитной индукции в точке А:
0 I d l sin 0 I d l
90 0 , sin 90 0 1
dB
4 r 2
4 r 2
Разложим вектор dB на две составляющие: dB и dBn
Общая физика. «Электромагнетизм»
18

19.

Закон Био – Савара – Лапласа.
Кафедра физики
Примеры расчета магнитных полей
dl
Магнитное поле на оси кругового тока
r
dBn
R
dB
I
a
А
dB
x
Любые
два
противоположных
элемента
тока
создают
поле,
составляющие dBn
которых равны по
величине
и
противоположно
направлены.
Эти составляющие уничтожают друг друга.
Итог: вектор магнитной индукции равен сумме модулей вектора dB
Общая физика. «Электромагнетизм»
19

20.

Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
dl
Магнитное поле на оси кругового тока
r
dBn
R
dB
0 I d l
dB
4 r 2
I
А
a
x
dB
0 I
0 I
0 IR
B dB dB sin
sin dl
sin 2 R
sin
2
2
2
4 r
4 r
2 r
l
l
l
R
sin
,
Преобразуем полученное выражение, учитывая, что
r
2
2
2
r R a . После подстановки получим
B
0 IR
2r
2
sin
0 IR
2 R a
2
2
Общая физика. «Электромагнетизм»
R
R a
2
2
0 IR 2
2 R a
2
2
3
2
20

21.

Закон Био – Савара – Лапласа.
Кафедра физики
Примеры расчета магнитных полей
B
0 IR 2
2 R a
2
2
3
Магнитное поле на оси кругового тока
2
В центре кругового тока a = 0,
индукция магнитного поля равна
0I
B0
2R
Вдали от контура на оси x (a >> R):
0 IR
B
2a 3
Общая физика. «Электромагнетизм»
2
21