Производная функции

1. Производная функции

2. Проблемный вопрос

Можно ли находить
производные, не
используя определение?
Существуют ли более
удобные способы?

3. Цели и задачи

Научиться находить
производные элементарных
функций, при этом:
повторить
определения приращения функции и
приращения аргумента;
определение производной функции в
точке хо;
алгоритм нахождения производной.

4. Приращение функции и аргумента

х = х – хо – приращение аргумента
f(х) = f(х) – f(хо)
f(х) = f (хо + х ) – f(хо)
–
приращение
функции
Найдите f, если f(х) = х2, хо = 1, ∆х = 0,5
Решение: f(хо) = f(1) = 12 = 1,
f (хо + х ) = f(1 + 0,5) = f(1,5) = 1,52 = 2,25,
f = 2,25 – 1 = 1,25.
Ответ: f = 1,25

5. Определение производной

f
f ( xo ),
x
Алгоритм:
1) ∆х, хо;
2) ∆f = f (хо + х ) – f(хо);
∆f
3)
при ∆х → 0.
∆x
f ′(xо) –
число

6. у = kх + в

у(хо) = kхо + в,
у(хо + ∆х) = k ∙ (хо + ∆х) + в = k хо +
+ k∆х + в,
∆у = у(хо + ∆х) – у(хо) = k хо + k∆х +
+ в – kхо – в = k∆х,
∆y k∆х
=
= k.
∆x
∆x
Ответ: (kх + в)′ = k

7. у = х2

у=
2
х
у(хо) = хо2,
у(хо + ∆х) = (хо + ∆х)2= хо2 + 2 хо ∆х + (∆х)2,
∆у = у(хо + ∆х) – у(хо) = хо2 + 2 хо ∆х +
+ (∆х)2 – хо2 = 2 хо ∆х + (∆х)2 = ∆х(2хо + ∆х),
∆у
∆х (2хо + ∆х)
=
= 2хо + ∆х → 2хо
∆х
∆х
при ∆х → 0
2
′
Ответ: (х ) = 2х

8. у = х3

у=
3
х
у(хо) = хо3
у(хо + ∆х) =
3 + зх 2 ∆х + зх (∆х)2 + (∆х)3
х
= о
о
о
∆у = у(хо + ∆х) – у(хо) =
2 + зх ∆х + (∆х)2)
∆х(зх
=
о
о
∆у
→ зхо2
3′
2
∆х
(х ) = 3х

9. Вывод

Нужны формулы:
быстро,
удобно.
2
′
(х )
= 2х
(х3)′ = 3х2
n
′
(x )
=
n
–
1
nx

10. Найди производную!

1.
2.
3.
4.
5.
6.
(х7)′
(5х3)′
(- 7х9)′
(0,5х-3)′
(9х + 16)′
(7 – 4х)′
7. 1
х
8. х

11. Проверь себя!

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7х6
15х2
– 63х8
– 1,5х-4
9
–4
7.
8.
1
1
2
х
х
1
х
2 х

12. Используемая литература

1.
Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл.
общеобразоват. учреждений/ А.Н.Колмогоров А.Н. и др.;
Под ред. А.Н.Колмогорова. – 11-е изд. – М.:
Просвещение, 2015. – 384 с.