Распределения статистик (выборочные распределения)

1.

9. Распределения статистик
( Выборочные распределения)
Параметры совокупности ,
например детерминированные
величины ( «так природа захотела»)
Определенные по выборке объема n
оценки ^
, например X случайные,
варьируют от выборки к выборке
булки

2.

3
2.5
2
f( X)
1.5
1
0.5
0
0
X
X 22
X11 X3
0.5
X X3
X
X1
Пример

3.

Пример
Процент брака на 5 линиях по производству кирпича –
совокупность значений X: 2, 4, 5, 8, 11; = 6.
На 2-х линиях 1-го завода это 5 и 11,
X1= 8, ошибка X1 = 2.
На 2-ом заводе 2 линии дают 2 и 8% брака,
X2= 5, ошибка X2 = 1.
использование X в качестве оценок
предусматривает наличие ошибки
При рассмотрении точности оценок используется
понятие распределения статистики (например, X)

4.

Распределение статистики включает все возможные
значения, которые она
N=5 n=2
(например, среднее) может принять
2
С5 =10
при данном объеме выборки.
выборок→
Распределения статистик называют выборочными
10 значений
средних
распределениями
(они происходят из вариации
выборок)
У них есть свои параметры и ,
в частности у распределения X это X и X
Стандартное отклонение распределения статистики
называют
стандартной ошибкой статистики

5.

Основа статистических выводов :
На них процедуры оценивания
и процедуры проверки гипотез
Важно математическое описание
распределений статистик

6.

Пример с большим значением
3
2
The End
3
1
0
0
2
1
3
0
2 0
0.5
x
0.5
1
5
4
0
3
0
0.5
x1
1
2
1
0.5
0
0
0
0.5
1
6
1
1.5
x
0 распределения
0.5
x
См. Свойства
1
X
X
1

7.

10. Оценивание
Точечная оценка,
Содержат интервальная оценка,
ошибку,интервал,
доверительный
неизвестно
какую?
доверительная
вероятность
Насколько
точность оценки
(надежность
можно оценки),
верить?
Точечная оценка определяемое по выборке
единственное значение, используемое как оценка
характеристики совокупности
Примеры:
X
, s2, s, v^ и др.
Зависит от
объема выборки (n)
и изменчивости
cовокупности ( )

8.

Пример про оценивание возраста
Интервал! Чем длиннее, тем вероятней содержит
истинное значение, «накрывает» его
Интервальная оценка указывает
на точность и доверие к ней, устанавливая интервал,
Доверительные
в котором, вероятно, лежит характеристика
совокупности
границы
Интервальная оценка определяется
двумя числами границами интервала,
который накрывает оцениваемый параметр
Доверительная
вероятность, Доверительный интервал который с
надежность
заданной вероятностью накрывает
оценки
оцениваемый параметр

9.

Записывается P ( н < < в ) = (%)
где н , в нижняя и верхняя границы интервала
Означает: с вероятностью (н а д е ж н о с т ь ю)
параметр имеет значение
в интервале ( н , в)
Простейший, наиболее частый случай симметричный
интервал:
P ( ^ < < ^ + ) = = (1 )
здесь ^ точечная оценка характеристики
ошибка оценки
надежность оценки
р и с к (что это не так, уровень значимости)

10.

Важный пример
Доверительный интервал
для генерального среднего
Определяется среднее совокупности по точечной оценке X
С вероятностью интервал ( X ) будет содержать
?
Используется распределение cтатистики X ,
при «большом» n нормальное (cм. свойства распр. среднего)
P ( X < < X + ) = P ( = X ) = = 1
=
Определяет:
P( X z 2 )
ошибку при заданной надежности
n
надежность при заданной точности
требуемый объем выборки n, обеспечивающий
заданную точность при заданной надежности

11.

В формуле:
z значение нормированной нормальной величины
(аргумент функции Лапласа), соответствующее / 2;
это число «сигм» в
к а к и х «сигм» ?
стандартных отклонений =
X
n
выборочного среднего
Образ ДИ
/2
/2
/2
X
/2
X (z)

12.

Как рассчитать :
, если задана
z 2
/ 2 = ( z 2 n )
n
z /2
, если задана z n (z) = / 2
n , если задана и
n
2
2
z 2
2

13.

Если неизвестна
^= s
Используется
The End
f ( X ), с дисперсией s2 вместо 2,
уже не нормальное
Описывается t - распределением
См. «Дерево(Стьюдента
ситуаций при- student), при f = n 1
оценивании
Если средних»
n
«
велико», ошибка из-за использования
на стр. 22 «Статистики»)
нормального распределения допустима
Интервальная оценка P ( X t s ) 1
среднего
n
при «малом» n
t квантиль для заданной при соответствующем n или f