Задачи оптимизация Лагранж

1.

1. Определите, какое количество товаров х и у будет приобретать
потребитель, чтобы максимизировать полезность, если его доход 45
д.е., цена товара х 1,5 д.е., цена товара у 7,5 д.е.Функция полезности
имеет вид U ( x , y ) = x 2 + y 2
Использовать метод множителей Лагранжа. Дано: U ( x, y ) = x 2 + y 2
I=45 Px=1,5 Py=7,5 Найти: x=? y=?
Решение: Бюджетное ограничение имеет вид: 1,5*x+7,5*y=45
Составляем функцию Лагранжа:
L = x 2 + y 2 − λ (1,5 x + 7,5 y − 45)
Находим первые производные функции Лагранжа по x, y, λ
L ′ x = 2 x − 1, 5 λ
L ′ y = 2 y − 7 ,5 λ
L ′ λ = − (1, 5 x + 7,5 y − 45 )
Приравняем первые производные к 0 и получим систему вида:
2x-1,5 λ=0
2y-7,5 λ=0
1,5*x+7,5*y=45
Решая полученную систему, находим, что:
x=45/39 y=225/39
Ответ: потребитель, чтобы максимизировать полезность, будет
приобретать 45/39 единиц товара x и 225/39 единиц товара y.