Формализация задачи оптимизации

1. Раздел № 2 Математические модели реализации задач оптимального выбора

Тема №1
Формализация задачи оптимизации
1

2. Формализация задачи оптимизации

Классификация экономических задач с точки зрения
моделирования:
Хорошо структурированные – все основные зависимости
могут быть выражены количественно.
Неструктурированные - все основные зависимости могут
быть описаны лишь качественно.
Слабоструктурированные
–
допускают
как
количественное, так и качественное описание зависимостей.
2

3. Формализация задачи оптимизации

Хорошо структурируемые задачи принято
называть
программируемыми (program – план, программа). Для
решения этих задач используют методы математического
программирования
Математическое программирование – математическая
дисциплина, изучающаяся теорию и методы решения задач о
нахождении экстремумов функций на множествах векторного
пространства, заданных с помощью линейных и нелинейных
ограничений.
3

4. Формализация задачи оптимизации

Математические модели, позволяющие определить из
области допустимых решений наилучшее решение по
заранее заданному критерию, принято называть
оптимизационными моделями, а задачи, решаемые с их
помощью, - задачами оптимального выбора.
4

5. Формализация задачи оптимизации

Характеристика задач оптимального выбора:
Наличие цели, достижение которой является решением задачи.
Наличие критерия для сопоставления качества альтернатив
Наличие альтернативных средств достижения цели
Наличие способов оценки затрат ресурсов, необходимых для
каждой альтернативы
Наличие способа отображения
альтернативами и затратами
связей
между
целями,
5

6. Формализация задачи оптимизации

Критерий
оптимальности
показатель,
используемый
для
сравнительной
оценки
вариантов допустимых решений (альтернатив).
Целевая функция – формализованный критерий
оптимальности, записанный в математическом
виде.
6

7. Формализация задачи оптимизации

Этапы формализации задач оптимального выбора:
1. Формирование системы неизвестных. Выявление элементов,
описывающих структуру моделируемой системы, и описание
их в виде переменных.
2. Формирование системы ограничений. Описание в
формальном виде условий (ресурсных, организационноэкономических, технологических и т.д.), которые должны быть
соблюдены при реализации задачи.
3. Формулирование критерия оптимальности и запись его в
виде
целевой
функции
задачи
математического
программирования.
7

8. Формализация задачи оптимизации

Общий вид задачи математического программирования:
Z = F(X) ═> min/max
φi(X) ≤ 0, I = 1,2,…,k,
hj(X) = 0, j = k+1, k+2,…, m.
где: Х=(х1, х2,…,хn) – система неизвестных;
φi(X), hj(X) – система ограничений;
Z – критерий оптимальности;
F(X) – целевая функция
8

9. Пример задачи оптимизации

Формулировка задачи:
Показатели
Урожайность, ц/га
Цена реализации 1 т, руб.
Выручка от реализации с 1 га, руб.
Озимая
пшеница
Ячмень
Сахарная
свекла
Подсолне
чник
38
36
420
22
2 800
2 500
1 050
8 500
10 640
9 000
44 100
18 700
9

10. Пример задачи оптимизации

Показатели
Озимая
пшеница
Ячмень
Сахарная
свекла
Подсолне
чник
38
36
420
22
2 800
2 500
1 050
8 500
10 640
9 000
44 100
18 700
Затраты на 1 га, руб.
7 600
7 300
34 500
9 900
Прибыль в расчете на 1 га, руб.
3 040
1 700
9 600
8 800
40,0
23,3
27,8
88,9
Урожайность, ц/га
Цена реализации 1 т, руб.
Выручка от реализации с 1 га, руб.
Уровень рентабельности, %
10

11. Пример задачи оптимизации

Нормы затрат ресурсов и их наличие:
Расход ресурсов в расчете на 1 га посева
Показатели
Пашня
Удобрения
Дизельное топливо
Площадь
технических
Озимая
пшеница
Ячмень
Сахарная Подсолне
свекла
чник
1
Наличие
ресурсов
всего
1
1
1
1 000
150
100
800
53
48
124
68
80 000
1
1
350
500 310 000
11

12. Формализация задачи оптимизации

Постановка задачи:
Исходя из наличия ресурсов и агротехнических требований,
найти такое сочетание сельскохозяйственных культур, которое
обеспечивало бы получение максимальной суммы прибыли.
12

13. Формализация задачи оптимизации

Система неизвестных:
Х1 – площадь посева озимой пшеницы;
Х2 – площадь посева ячменя;
Х3 – площадь посева сахарной свеклы;
Х4 – площадь посева подсолнечника.
13

14. Формализация задачи оптимизации

Система ограничений:
Ограничения по использованию ресурсов:
aijx j bi
j J
Хj - площадь посева j-той сельскохозяйственной культуры;
аij - затраты ресурсов i-го вида на 1 га посева j-й сельскохоз.
культуры;
bi - объем имеющихся ресурсов i-го вида.
Условия неотрицательности переменных:
Хj ≥0
14

15. Формализация задачи оптимизации

Система ограничений:
Ограничения по использованию:
Пашни:
Удобрений:
Диз. топлива:
1х1 +
1х2 +
1х3 +
1х4 ≤
1 000
150х1 + 100х2 + 800х3 + 500х4 ≤ 310 000
53х1 + 48х2 + 124х3 + 68х4 ≤
Пашни под технические:
1х3 +
1х4 ≤
80 000
325
15

16. Формализация задачи оптимизации

Критерий оптимальности: максимизация суммы прибыли
Целевая функция:
Z max c j x j
j J
где:
сj – выход прибыли с 1 га посева j-ой сельскохоз. культуры
Zmax = 3040х1 + 1700х2 +
9600х3 + 8800х4
16

17. Формализация задачи оптимизации

1х1 +
1х2 +
150х1 + 100х2 +
53х1 +
48х2 +
1х3 +
1х4 ≤
1 000
800х3 + 500х4 ≤ 310 000
124х3 +
68х4 ≤
80 000
1х3 +
1х4 ≤
325
3040х1 + 1700х2 + 9600х3 + 8800х4 → max
17

18. Формализация задачи оптимизации

Результаты решения:
Прибыль
5 156 000 руб.
Х1 – площадь посева озимой пшеницы
Х2 – площадь посева ячменя
650 га
0 га
Х3 – площадь посева сахарной свеклы
125 га
Х4 – площадь посева подсолнечника
225 га
Недоиспользование дизтоплива
14 750 кг
18