Первообразная функция и неопределенный интеграл

1.

Первообразная функция и неопределенный интеграл
def:
Функция F(x) называется первообразной для f(x), если f(x) является производной для F(x),
т.е. если F‘(x) = f(x).
Ex 1:
f ( x) cos x
F ( x) sin x C
F ( x) ?
Ex 2:
f ( x) x 2
3
x
(sin
2005
F ( xx)
C )
3
Таким образом, если функция F(x) является первообразной для f(x), т.е. F‘(x) = f(x), то и
любая функция вида F(x) + С с постоянным С будет также первообразной для f(x).
Лемма о первообразных. Если F1(x) и F2(x) – две первообразные для функции f(x), то F2(x) =
F1(x) + C, где С – некоторая постоянная.
(sin x)
f ( x) cos x
(sin x 3)
Совокупность всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным
интегралом от этой функции и обозначается символом ∫ f(x)dx.
Если F(x) какая-либо первообразная
F ( x) для
sin f(x),
x тоC∫ f(x)dx = F(x) + C.
Нахождение неопределенного интеграла называется интегрированием, функция f(x) –
интегрируемой функцией, а произведение f(x) на dx: f(x)dx – интегрируемым или
подынтегральным выражением.
Знак интеграла ∫ является искаженным знаком буквы S, обозначающей сумму.
def:
(sin x )
1

2.

Основные свойства неопределенного интеграла
1)
Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме
интегралов от этих функций, т.е.
gg( x( x) ) dx
f ( x) dx
pp( x()x )dxdx
2)
3)
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
kf ( x)dx
k f ( x)dx
Вид формул интегрирования не изменится, если независимое переменное x заменить любой
дифференцируемой функцией от x,
x F ( x) C
f (xx)dx
f (t )dt F (t ) C
x t ( x)
Это свойство называют инвариантностью формул интегрирования.
4) (∫ f(x) dx )’ = f(x)
5) d (∫ f(x) dx) = f(x) dx
6) ∫ f '(x) dx = f(x) + C
7) ∫ df(x) = f(x) + C
2

3.

Непосредственное интегрирование
Ex 1:
3
(
x
2
)
dx ?
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 - b3
1212
6 6 x 2 dx
x 88)dx
dx
( x 2)3 dx ( x 3 dx
xdx
x4
x 4 6 x 3 12 x 2
2 x3 6 x 2 8x C
8x C
4
4
3
2
2 x 11
Ex 2: 2 x 1 dx 2 dx
dx
x xxdx
x
2x ln x C
a b
a b
c
c c
sin x 44
xx dx
dx
5 dx
Ex 3:
5
1
4
cos x x 4 C
5
5
Ex 4:
1
4
5
4
1
1
x
sin xdx x dx cos x C
5
5
5
4
33
11
66
dx
)dx
22((xx22 44)) dx 33 sin
sin22 xx xx22 99
3
dx
1 dx
dx
2
2 6
3 arctg x 1 ctgx 6 ln x x 2 9 C
2 ( x 4) 3 sin x
2 3
x2 9 4
(
3

4.

Интегрирование подстановкой. Внесение под знак дифференциала
Ex 1: ∫(x – 3)3 dx = ? d ( x 3) ( x 3) dx dx
4
3
3
(
x
3
)
(x – 3) dx (x – 3) d(x – 3) 4 C
d(x C) dx,
dx C - const
Вывод 1: d(x
Ex 2: ∫(3x + 7)25 =
?
1
1
1
d(3x 7) (3x 7) dx 3dx dx
3
3
3
d ( x 3) ( x 3) dx dx
26
26
1
1
1
(3x
7)
1
t
25
C
3 7) d( x 7 ) t dt C
(3x 7) dx (3x
3 26
3
26
3
3
1
dx d (Cx)), C const 3x 7 t
C
1
1
1
Вывод 2:
d(3x 7) (3x 7) dx 3dx dx
1
1
3
3
Ex
e x 23:xdx ? e x dx 2 e x C3
25
25
2
2
2
x n dx
2
1
dx n 1
n 1
ln 3 x
dx ?
Вывод 3: x
1
ln 4 x
ln 3 x
1 3
3
x dx x ln xdx x ln x ddxln x 4 C
Ex 4:
Вывод 4: dx ln x
x
4

5.

Ex: sin 2 xdx
?
I способ: sin 2 xdx
1
2
1
2
sin 22 xd x cos 2 x C
sin 2 x
II способ: sin 2 xdx 2 sin x cos dx 2 sin xd (sin x) 2
C sin 2 x C
2
cos 2 x
C cos 2 x C
III способ: sin 2 xdx 2 sin x cos xdx 2 cos xd cos x 2
2
Вывод 5: cos xdx d sin x
sin xdx d cos x
Ex:
x
x 5dx
?
x 5 t
2
4
2
2
2
2
x
5
t
x
x
5
dx
2
(
t
5
t
)dt
2
(
t
5
)
t
dt
(
t
5
)
t
2
tdt
2
x t 5
dx 2dt
3
2
5
5
2
5
t 5 5t 3
2 5 5 3
2
(
x
5
)
( x 5)3 C
2(
) C t t C ( x 5) ( x 5) C 5
3
5
3
5
3
5
3
5
2
5