Аналитические функции распределения, используемые в гидрологии

1. Аналитические функции распределения, используемые в гидрологии (Ахметов С.К.)

2. Нормальное распределение

Функция плотности
вероятности
Нормальное распределение зависит
от двух параметров:
mx - математического ожидания
σx.
График нормальной
функции распределения
среднеквадратического
отклонения (СКО)
Оно является симметричным, т.е.
для него коэффициент асимметрии
равен нулю (Cs = 0). При таком
распределении СВ ее мода, медиана и
мат. ожидание совпадают. Интервал
изменения СВ от - ∞ до + ∞.

3. Интегральная функция нормального распределения

где z – переменная интегрирования
Ординаты функции выражаются в виде таблицы.
Рассматривается нормированная случайная величина – СВt ,
чтобы не публиковать различные значения для различных
значений mx и σx.

4. Нормирование случайной величины

Нормирование СВ осуществляется по формуле
ti = (xi – mx)/σx
Квантили нормированной нормально распределенной СВ

5. Переход от нормированных значений СВ к исходным

Перевод от нормированных значений СВ к исходным
осуществляется по формуле
xp = tp σx + mx
Для расчета модульных коэффициентов
формула
используется
kp = tpCv + 1
Нормальный закона
и гидрологические процессы
Расходы воды всегда положительны, а область значений
СВ при нормальном распределении изменяется от - ∞ до + ∞
Для нормального распределения Cs = 0, а для многих
гидрологических характеристик Cs >0.

6. Закон равномерной плотности

СВ Х подчиняется закону равномерной плотности, когда ни
одному значению СВ Х не отдается предпочтение
Закон
равномерной
плотности
определяется
двумя
параметрами:
началом – а и концом –
изменения СВ Х.
b
интервала
Плотность вероятности равна:
Дифференциальная функция
распределения закона
равномерной плотности

7. Интегральная функция распределения закона равномерной плотности

Характерные особенности закона равномерной плотности
распределения СВ:
- Медиана равна МО.
- Закон равномерной плотности не имеет Моды
Этот закон используется в гидрологии при
моделировании искусственных гидрологических рядов.

8. Логарифмически нормальное распределение

Для многих гидрологических характеристик нельзя использовать
закон нормального распределения, так как:
многие из них больше нуля или какой-то величины
верхний предел не ограничен
Поэтому многие гидрологические характеристики имеют
положительную асимметрию, которую можно привести к виду
нормального распределения путем замены СВ на ее логарифм
СВ Х называется распределенной логарифмически нормально,
если ее логарифм Z = ln (X) распределен по нормальному закону.
Дифференциальная (а) и
интегральная (b)
функции распределения
логнормального закона
при mz=1 и σz = 0.5

9. Интегральная и дифференциальная функции логнормального распределении СВ

Интегральная функция логнормального распределения
где u = (z- mz)/σz
z = ln(x) s – переменная интегрирования
Дифференциальная функция логнормального распределения

10. Характеристики логнормального распределения

Распределение определяется двумя параметрами: mz и σz
Величина mz – это МО, а σz – это СКО
Дисперсия, СКО и МО связаны соотношениями

11. Характеристики логнормального распределения (2)

Коэффициент
асимметрии
определяется по формуле
Cs = 3•Cv + Cv3
логнормального
распределения
где Cv = σ/mx
Наибольшее
соответствие
эмпирических
данных
с
логнормальным распределением случается при Cs/Cv = 3 – 3,5
Мода и медиана для СВ Х, имеющего логнормальное
распределение, определяются равенствами:
Ординаты
кривой
обеспеченности
логнормального
распределения определяются по таблице стандартного
нормального закона распределения, с учетом того, что Z = ln (X)

12. Последовательность расчетов среднегодовых расходов воды n% обеспеченности – P(n%) при логнормальном распределении

Так как на практике мы не знаем истинное распределение СВ Х,
то допускается два варианта расчета:
оценка mz и σz производится по ряду значений СВ Z
по ряду значений СВ Х производится оценка mx и σx, а затем
по формулам
определяется mz и σz

13. Последовательность расчетов (1 вариант)

Проводим преобразование исходного ряда наблюдений по
формуле zi = lnQi
По ряду значений СВ Z приближенно определяем mz и σz
(методика расчета будет изложена в последующих лекциях)
Вычисляем вероятность непревышения F(n%)=100 – P(n
%)
По таблице квантилей для нормированной нормально
распределенной СВt определяем F(n%) квантиль
по формуле xp=tpσp + mx определяем zp(n%) = tp(n%)σz + mz
Так как zp(n%) = ln Qp(n%), то Qp(n%) = exp (zp(n%)

14. Последовательность расчетов (2 вариант)

По исходному ряду определяем приближенно
m x и σx
Вычисляем mz и σz по формулам
Дальнейший расчет проводится аналогично первому варианту

15. Трехпараметрическое логнормальное распределение

В этом распределении вместо преобразования Z = ln(X)
используется преобразование Z = ln (X-a), где a – дополнительный
третий параметр
Параметр a
связан с коэффициентом асимметрии
соотношением
где k0 – минимальный модульный коэффициент, k0
k0 = 0, это выражение превращается в выражение
Этот тип распределения
рекомендуется использовать при
= a/mx. При

16. Закон распределения крайних членов выборки (распределение Гумбеля)

Закон разработан для расчетов СВ, связанных с
экстремальными случаями (максимальные суточные расходы ….)
Функция обеспеченностей закона Гумбеля выглядит так
где
у – безразмерная величина, связанная с х выражением
y = α(x – q)
где q - мода СВ Х, которая определяется в зависимости от
среднего значения и СКО исходного ряда по формуле
а величину
α можно выразить как

17. Распределение Гумбеля (продолжение)

На практике вместо уравнения
используется уравнение, полученное
при его решении относительно х
Значение ур можно получить из выражения
после двух- кратного логарифмирования
где р - расчетная обеспеченность в процентах. Для основных
опорных обеспеченностей значения ур приводятся в таблице

18.

19. Распределение Гумбеля (продолжение)

және
Теңдеуі:
q және α
-пен байланыстырады
параметрлерін
σx при
→∞
Для конечных выборок Гумбельnпредложил
формулы
и
Параметры
и
анализируемого ряда
σy определяются в зависимости от длины

20.

21. Распределение Гумбеля (жалғасы)

Формуласын ескерсек,
выражение плотности вероятности распределения Гумбеля имеет вид
Из выражения видно, что для распределения Гумбуля область
возможных значений СВ Х находится в интервале (-∞, +∞).
Распределение двухпараметрическру т.е. определяется параметрами
и σx .
распределение Гумбеля используется, в основном, при расчете
дождевых паводков.

22. НАЗАРЛАРЫҢЫЗҒА РАХМЕТ!