Площадь параллелограмма и треугольника

1. Тема: Площадь параллелограмма и треугольника.

Цель.
Вывести формулы для вычисления
площади параллелограмма и
треугольника.
Решать задачи на применение формул
площади фигур; свойств площади.

2. Задача: Периметр квадрата РТМК равен 48 см. Найдите площадь пятиугольника РТМОК

Т
М
О
Р
К
Дано: РТМК – квадрат;
РРТМК = 48 см;
РМ ТК = 0;
Найти: S РТМОК.
Решение:
1) РТ=ТМ=МK=РK=48:4=12 (см);
2) SPTMK = 12 ·12 = 144 (cм²);
3) OT=OP=OK=OM
PT=TM=MK=PK
∆ MOT= ∆ TOP = ∆ POK = ∆ KOM
S MOT = S TOP = S POK = S KOM
1) S OMK = 144 : 4 = 36 (cм²);
S KPT =144 – 36 = 108 (cм²);
Ответ: 108 cм².

3. Задача №448.

Дано: ABCD - прямоугольник;
AE BC = M; AM = ME;
DE BC = N.
Доказать: SABCD = SAED.
E
B
A
M
К
Р
N
C
D
Доказательство.

4. Любые два равновеликих многоугольника равносоставленны.

Теорема Бойяи – Гервина.
Ф.Бойяи – венгерский математик, доказал это утверждение в 1832 г.
П.Гервин – немецкий математик–любитель, независимо от Ф.Бойяи
доказал её в 1833 году.
Следствие: любой многоугольник можно разрезать на такие части,
из которых можно составить равновеликий этому
многоугольнику квадрат.
Доказательство теоремы в литературе:
В.Ф.Каган «О преобразовании многогранников»
В.Г.Болтянский «Равновеликие и равносоставленные фигуры».

5. Дано: АВС D– параллелограмм ВМ АD, CN AD, BC = 9 cм, ВМ = 4 см.

B
C
А
M
D
N
Найти: - равновеликие
фигуры;
- SMBCN;
- SABCD.

6.

Тема:
Площадь
параллелограмма
и треугольника.

7.

Сколько высот можно провести в параллелограмме?
С
В
А
D

8. S = a·ha = b·hb

b
hb
ha
a

9.

В
С
10
30º
A
H
16
Дано:ABCD – параллелограмм,
АВ = 10, АD = 16, А =30º
Найти:S ABCD.
Решение.
D
BH AB
1
AB 5
2
SABCD BH AD, SABCD 5 16 80
BH
Ответ:
80

10. Дано: ABCD –параллелограмм, АВ = 8, АD =10, A =150°. Найти: SABCD . Решение.

B
H
C
150°
А
D
Дано: ABCD –параллелограмм,
АВ = 8, АD =10, A =150°.
Найти: SABCD .
Решение.
B 180 150 30
AH BC ,
1
1
AB 8 4,
2
2
BC AD(по свойству парал.)
AH
S ABCD AH BC 4 10 40
Ответ : 40

11. Дано: ABCD –параллелограмм, АВ = 4, ВН =6, ВМ =3, Найти: РABCD . Решение.

B
C
H
А
М
D
BMABCD
AD, –параллелограмм,
BH DC
Дано:
АВ = 4, ВН =6, ВМ =3,
S ABCD BH
DC . BM AD
Найти:
РABCD
DC AB 4
Решение.
S 6 4 24
S ABCD
BM
24
AD
8
3
PABCD ( AB AD) 2
AD
PABCD (8 4) 2 24
Ответ : 24

12. Домашнее задание:

Вопросы для повторения к главе VI 4 – 5;
№ 459(б), № 469.
Вывести формулу площади дельтоида.

13. Подведение итогов.

1. Площадь параллелограмма
равна произведению высоты
параллелограмма на высоту
к которой она проведена.
hb
b
ha
S = ha·a = hb·b
a
2. Площадь треугольника равна половине
произведения его высоты на сторону к
которой она проведена.
S = 1ha·a =
2
1
hb·b
2
=
1
2
hс·с
hc
b
ha
c
hb
а

14. Подведение итогов.

Следствие 1 Площадь прямоугольного треугольника равна половине
произведения его катетов.
В
S=
а
С
1
a·b
2
А
b
Следствие 2 Если высоты двух треугольников равны, то их площади
Cотносятся как основания.
SACD : SDCB = AD : DB
A
H
D
B