Скалярное произведение векторов

1.

Тема урока:
Скалярное произведение
векторов
Цели обучения:
10.4.4 знать определение и свойства скалярного произведения
векторов в пространстве;
10.4.16 знать формулу скалярного произведения векторов в
координатной форме и применять её при решении задач;

2.

Угол между векторами
b
О
a
Угол между векторами
равен .
a b =
a
и
b

3.

Найдите угол между векторами
a b = 300
a
a c = 1200
d
300
c
b
f
b c = 900
d c = 1800
d f = 00

4.

Критерии оценивания:
Умеет определять скалярного
векторов в пространстве;
Знает свойства
скалярного
векторов в пространстве;
Применяет формулу скалярного
векторов в координатной форме
задач;
произведения
произведения
произведения
при решении

5.

Определение
Скалярным произведением двух
векторов называется произведение
их длин на косинус угла между ними.
a b = a b cos(a b )
Скалярное произведение векторов – число
(скаляр).

6.

Частный случай №1
b
a b = 900
a
a b =
=0
a b cos 900 = 0
Скалярное произведение ненулевых
векторов равно нулю тогда и только тогда,
когда эти векторы перпендикулярны.
a b = 0
a b

7.

Частный случай №2
a b < 900
b
a
a b =
>0
a b cos > 0
Скалярное произведение ненулевых векторов
положительно тогда и только тогда, когда угол
между векторами острый.
a b > 0 a b < 900

8.

Частный случай №3
b
a b > 900
a
a b =
<0
a b cos < 0
Скалярное произведение ненулевых векторов
отрицательно тогда и только тогда, когда угол
между векторами тупой.
a b < 0 a b > 900

9.

Частный случай №4
b
a b = 00
a
a b =
1
a b cos 00 = a b
b
a b = 1800
a
a b =
-1
a b cos1800 = – a b

10.

Частный случай №5
a a = 00
a
a a =
1
a a cos 00 = a a
Скалярное произведение
a a
скалярным квадратом вектора
=
a
называется
a
и обозначается
a
2
2
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
a
2
=
a
2

11.

Формула для нахождения
скалярного произведения
через координаты векторов
a = x1 i + y1 j + z 1 k
a b= ?
b = x2 i + y2 j + z 2 k
a b= (x1 i + y1 j + z1 k) (x2 i + y2 j + z2 k) =
= x1x2 + y1y2 + z1z2
a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

12.

Пример №1
Найти скалярное произведение векторов:
a {-6; 9; 5}
b {-1; 0; 7}
a b= x1x2 + y1y2 + z1z2
a b= -6 (-1) + 9 0 + 5 7 = 41

13.

Пример №3
Найти скалярное произведение векторов:
a {1; 7; 9}
b {-2; 4; 0}
a b= x1x2 + y1y2 + z1z2
a b = 1 (-2) + 7 4 + 9 0 = 26

14.

Домашняя работа
Найти скалярное произведение векторов:
1) a {7; 25; 0} b {11; 0; 54}
2) a {|-2|; 0; |3|} b {1; |-11|; 1}
3) a {-1; 2; 8}
b {5; 5; 0}