Множества

1. МНОЖЕСТВА

Вводный курс математики

2. Множества

Г. Кантор
Множество – совокупность некоторых
объектов, рассматриваемая как единое целое
a A a A
|A| - мощность
N, Z, Q, R
A – подмножество B, если множество A
состоит из элементов, принадлежащих B
A
A B
N Z Q R
Свойства: 1) A A
2) Если A B и B A, то A = B
3) Если A B и B C, то A C

3. Множества

Булеан множества P(A) – множество
всех подмножеств множества A
A = {a,b,c}
P(A) = { , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A }
Если |A|=n, то |P(A)|=2n
Множества A и B равны, если A и B состоят
из одних и тех же элементов
A=B
Свойства: 1) A = A
2) Если A = B, то B = A
3) Если A = B и B = C, то A = C

4. Способы задания множества

1) Перечисление элементов:
A = {a, b, c, 2, 3}
2) Обобщение 1 способа (закономерность):
K = {20, 21, 22, 23, …}
3) Характеристическим свойством:
A = { x R | x>0 }
A = { x | P(x) }
4) С помощью операций над множествами
(см. позже)
5) Стандартные обозначения: N, Z, Q, R

5. Способы задания множества

6) Стандартные обозначения подмножеств
множества R:
Сегмент [a,b] = { x R | a x b }
Интервал (a,b) = { x R | a < x < b }
Полусегмент [a,b) = { x R | a x < b }
Полуинтервал (a,b] = { x R | a < x b }

6. Операции над множествами

Объединение A и B A B = { x | x A или x B }
Пересечение A и B A B = { x | x A и x B }

7. Операции над множествами

Разность A и B A \ B = { x | x A и x B }
Универсальное множество UДополнение A A = U \ A = { x | x A }

8. Свойства операций

1. Ассоциативность: (А B) C = A (B C)
(А B) C = A (B C)
2. Коммутативность: А B = B A
А B = B A
3. А A = A, А A = A
4. Дистрибутивность: A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
5. Поглощение: (А B) A = A, (А B) A = A

9. Свойства операций

6. A \ B = A B
7. A A =
8. (A ) = A
9. Законы двойственности де Моргана:
(A B) = A B
(A B) = A B