Неравенства: линейные, квадратные, показательные, логарифмические

1.

Неравенства

2.

Линейные неравенства
Линейным неравенством с одной
переменной х называется неравенство
вида ах + b › 0, где а≠0.
Решение неравенства – значение
переменной х, которое обращает
неравенство в верное числовое
неравенство.

3.

2: а) обе части неравенства можно
умножить или разделить на одно и то же
положительное число, не меняя при
этом знака неравенства.
Например: а)8х – 12 > 4х
2х – 3 > х
( :4)

4.

2.б) Обе части неравенства можно
умножить или разделить на одно и то
же отрицательное число, изменив при
этом знак неравенства на
противоположный
Например: а) - 6х – 15 < 0
2х + 5 > 0
(: (-3))

5.

Квадратные неравенства
ах2 bx c 0
ах2 bx c 0
ах bx c 0
ах bx c 0
2
2

6.

1. Направление ветвей
Если старший коэффициент a>0, то
ветви параболы направлены вверх.
Если старший коэффициент a<0, то
ветви параболы направлены вниз.

7.

2. Количество точек пересечения
Если D>0, две точки пересечения с осью
Ох.
Если D=0, одна точка пересечения с
осью Ох.
Если D<0, нет пересечения с осью Ох.

8.

Схема решения квадратного неравенства
(с помощью параболы)
1. Рассмотрим функцию у=ах2+вх + с , определим
направление ветвей параболы.
2. Находим нули функции, решая уравнение
ах2+вх + с=0.
3. Отмечаем корни на оси Ох и схематически рисуем
параболу в соответствии с направлением ветвей.
4. Находим решение неравенства с учетом знака
неравенства.
5. Запишем ответ интервалом.

9.

5x²+9x-2 <
<0
Рассмотрим функцию y=5x²+9x-2
Графиком является парабола, ветви вверх ( а>0).
Нули функции:
5x²+9x-2=0
X1=-2; X2=0,2
-2
Ответ: (-2; 0,2)
0,2
X

10.

Схема решения квадратного неравенства
(методом интервалов)
Решение.
Подсказка.
х 8 х 12 0
2
х 8 х 12 0
x1 6 x2 2
2
х
-6
-2
6; 2

11.

Решите неравенство:
Решение.
2
Подсказка.
х 3х 40 0
2
х 3х 40 0
x2 5
x1 8
2
х
-8
5
; 8 5;

12.

Показательные неравенства –
это неравенства, в которых
неизвестное содержится в
показателе степени.
Примеры:
3 9;
х
2 5 2
х
х 1
11

13.

Решение простейших показательных неравенств
a 0, a 1
a
f ( x)
a
g ( x)
a 1
0 a 1
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
Знак неравенства
Меняется
Сохраняется

14.

Решите неравенство:
3 81
x
3 3
x
4
т.к.3 1, то функция y 3 возрастающая
x
x 4
x 4;

15.

Решите неравенство:
x
1 1
2 2
3
2
x
1
т.к.0 1, то функция y убывающая
2
2
1
3
x
2
x - ;1.5

16.

Решение
показательных неравенств
Вынесение за скобки степени с меньшим
показателем
1 х
х 3
3 3 10
3
3
х 3
3
3
1 3
(1 3 ) 10
3
х 3
х 3
(1 9) 10
10 10
: 10
3
3
х 3
х 3
3 > 1, то
1
3
х 3 0
0
х 3.
Ответ (3;+∞)

17.

Решение
показательных неравенств
введение новой переменной
(t 9) t 1 0
9 10 3 9
х
х
3 10 3 9 0
2х
х
3 t (t 0)
х
1 t 9
t 2 10t 9 0
D 10 4 9 100 36 64 8
2
10 8 18
t1
9
2
2
10 8 2
t2
1
2
2
1 3x 9
2
3 3 ; 3 3 ;
х
2
х 2
3>1, то
Ответ:
0; 2
х
0
х 0.

18.

Логарифмическими
неравенствами
называют
неравенства вида
log
a
f ( x) log g ( x)
a

19.

При а > 1
Знак сохраняется!
При 0 < a < 1
Знак меняется!
f ( x) 0,
g ( x) 0,
f ( x) g ( x)
f ( x) 0,
g ( x) 0,
f ( x) g ( x)

20.

log (2x 4) log (14 x)
3
3
Решение:
2 x 4 0
14 x 0
2 x 4 14 x
2 x 4
x 14
3x 18
6;14
x 2
x 14
x 6

21.

log
1
3
(2 x 4) log 1 (14 x)
3
Решение:
2 x 4 0
14 x 0
2 x 4 14 x
2 x 4
x 14
3x 18
x 2
x 14
x 6
2;6