Позиционные системы счисления. 14 (повышенный уровень, время – 5 мин). Часть 2. Задания типа «Степени»

1.

Тема: Позиционные системы счисления.
14 (повышенный уровень, время – 5 мин)
Часть 2. Задания типа «Степени»

2.

Что нужно знать:
Примеры
p 10
0 p
2 10000000 2 6 100006
N
N
4
7
p N 1 ( p 1)( p 1) ( p 1) p
215 1 11
...12
N
p N p K ( p 1) ( p 1)0
0 p
K
N K
56 1 4444445
15
28 25 11100000 2
312 35 22
20
03
7
5
Вывод формулы: pN – pK = pK · (pN-K – 1) = (pN-K – 1) · pK
© Е.А. Лапина, 2019

3.

Устно…!!!
Дано: Х= 22020 + 22003+ 212+ 29
Сколько цифр в 2-ой записи числа Х?
Сколько единиц в 2-ой записи числа Х?
Сколько нулей в 2-ой записи числа Х?
© Е.А. Лапина, 2019

4.

Устно…!!!
Дано: Х= 7119 + 7100+ 710+ 75 + 73 + 7
Сколько цифр в 7-ой записи числа Х?
Сколько единиц в 7-ой записи числа Х?
Сколько нулей в 7-ой записи числа Х?
© Е.А. Лапина, 2019

5.

p p ( p 1) ( p 1)0
0 p
K
N
K
N K
Дано: Х= 22020 + 22003+ 212- 29
Сколько цифр в 2-ой записи числа Х?
Сколько единиц в 2-ой записи числа Х?
Сколько нулей в 2-ой записи числа Х?
© Е.А. Лапина, 2019

6.

p p ( p 1) ( p 1)0
0 p
K
N
K
N K
Дано: Х= 7119 + 7100+ 710- 75 + 72
Сколько цифр в 7-ой записи числа Х?
Сколько «6» в 7-ой записи числа Х?
© Е.А. Лапина, 2019

7.

Образцы решения заданий егэ_14 («степени»)
Пример № 1: Сколько единиц в двоичной записи числа
22018 + 42016 – 8600 + 6 ?
Решение
1)
// приводим все числа к степеням двойки, разложив 6 как 22+21
22018 + 42016 – 8600 + 6 = 22018 + (22)2016 - (23)600 + 22 + 21 =
= 22018 + 24032 – 21800 + 22 + 21 =
2) // переставляем слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки
= 24032 + 2 2018 – 21800 + 22 + 21
=
3) // применяем знакомые формулы…:
= 24032 + 2 2018 – 21800 + 22 + 21 =
1
+
218
+
1 +1
=
221
© Е.А. Лапина, 2019

8.

Образцы решения заданий егэ_14 («степени»)
Пример № 2 (99): Сколько единиц в двоичной записи числа
81234 – 4234 + 21620 – 108?
Решение
81234 – 4234 + 21620 – 108 = (23)1234 – (22)234 + 21620 – 26 – 25 – 23 – 22 =
= 23072 – 2468 + 21620 – 26 – 25 – 23 – 22=
1)
2) = 23072 + 21620 – 2468– 26 – 25 – 23 – 22 =
3) стоящие Nдва знака
«минус» подряд, не позволяет сразу использовать
K
p 1) ( p 1)0
0 p
формулу p p (
K
N K
Выход есть! Использовать равенство:
2 N 2 N 1 2 N
= 23072 + 21620 – 2469+ 2468 – 27 + 26 –26 + 25 – 24 + 23 - 22 =
=23072 + (21620 – 2469)+ (2468 – 27)+ (25 – 24)+ (23 - 22 )=
1
+
1151
+
461
+
© Е.А. Лапина, 2019
1
+
1 =
1615

9.

Вывод равенства:
2 2 2 2 2
N
N
N
2 2 2
N
N
2 2
N
N 1
N 1
N 1
2
Только для степеней
двойки !!! :(
N
Примеры:
2 2 2
10
2
468
11
2
469
10
2
468
© Е.А. Лапина, 2019

10.

Пример № 3 (Р-21)
Сколько значащих нулей в двоичной записи числа
4512 + 8512 – 2128 – 250
Общая идея: количество значащих нулей равно
количеству всех знаков в двоичной записи числа (его
длине!) минус количество единиц
Решение
// Учитывая, что 250 = 256 – 4 – 2 = 28 – 22 – 21, приведём все числа к
степеням двойки:
4512 + 8512 – 2128 – 250 = (22)512 + (23)512 – 2128 – 28 + 22 + 21 =
=21536 + 21024 – 2128 – 28 + 22 + 21=
// старшая степень двойки 21536, значит двоичная запись этого числа
содержит 1537 знаков;
N
N 1
2 N , получаем:
// Используя равенство 2 2
= 21536 + 21024 – 2129 + 2128 – 28 + 22 + 21
1
+ 895
+ 120
1537-1018=519 («0»)
+ 1 +1
=
© Е.А. Лапина, 2019
1018 «1»
Ответ: 519

11.

«Степени» с другими основаниями
Пример № 4. (Р-22).
Значение арифметического выражения: 98 + 35 – 9
записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2»
содержится в этой записи?
Решение:
98 + 35 – 9 = 316 + 35 – 32
1(«1»)
3 «2»
Ответ: 3.
© Е.А. Лапина, 2019

12.

«Степени» с другими основаниями
Пример № 5 (215) Значение арифметического выражения:
3611 + 625 – 21 записали в системе счисления с основанием 6.
Сколько цифр «5» в этой записи?
Решение:
1) 3611 + 625 – 21 =622 + 625 – 21 = 625 + 622 – 21
1«1»
2) 21=336 5 5 5 6
622 – 21= 10… 0006
336
55 .. 5236
? «5»
Ответ: 20
20 «5»
© Е.А. Лапина, 2019