Стационарные состояния электрона в идеальной решетке (задача Блоха)

1.

Стационарные состояния электрона в идеальной решетке (задача Блоха)
Задача Блоха предполагает:
1) Атомы неподвижны (не колеблются) и образуют строго периодическую
решетку.
2) Нет внешних полей. .
Потенциальная энергия – периодическая функция с периодом кристаллической
решетки
U 0 (r) U 0 (r n)
Периодичность потенциала позволяет сформировать базис стационарных
состояний из функций Блоха
k , r exp ikr uk , r ;
uk , r n uk , r
Теорема Блоха справедлива тогда и только тогда, когда потенциальная
энергия электрона является ПЕРИОДИЧЕСКОЙ функцией.
Теорема Блоха перестает быть справедливой в непериодическом потенциале.

2.

Задача Блоха: в чем проблема?
Теорема блоха справедлива тогда и только тогда, когда потенциальная энергия
электрона - ПЕРИОДИЕЧСКАЯ функция.
Реальный кристалл: Атомы колеблятся, есть примеси и деффекты решетки,
делающие потенциальную энергию НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ функцией.
NONPERIODICAL potentials
Внешние (приложенные) поля: потенциальная энергия – НЕПЕРИОДИЧЕСКАЯ
функция.
Колебания атомов, примеси, несовершенства решетки и приложенные поля
нарушают периодичность потенциала электрона. Теорема Блоха перестает быть
справедливой.
U (r ) U (r n) exp ikr u ,k (r ) with u ,k (r ) u ,k (r n)
Блоховсткие волны не являются волновыми функциями стационарных
состояний в реальном кристалле при наличии внешних полей.
Как описывать движение электрона в реальном кристалле под воздействием
внешних полей?

3.

Формализм огибающей
Полный потенциалU (r ) U 0 (r ) Vext (r )
U 0 (r ) - периодический потенциал идеальной решетки
Vext (r ) - непериодический потенциал, обусловленный колебаниями решетки,
примесями, дефектами решетки и приложенными к кристаллу полями
Потенциалl Vext медленно изменяется на межатомном масштабе. Vext остается
почти постоянным в пределах элементарной ячейки. Vext существенном
меняется только на расстоянии, содержащем много элементарных ячеек.
a
Vext
1
Vext
Формализм огибающей функции – метод, позволяющий описать электрон в
таком потенциалеVext , медленно изменяющимся на межатомном масштабе.

4.

Формализм огибающей функции: функции Ваннье
Vext медленно меняется на межатомном масштабе => Разумно использовать
базис, локализованный в пределах элементарной ячейки.
Такой базис можно сформировать из функций Ваннье
k G , (r ) k , (r ) k , (r ) N
(n; r) exp ikn
n
(n; r ) - функция Ваннье
1) Функция Ваннье – линейная комбинация функций Блоха (волновой пакет из
блоховскизх функций)
exp ikm (r) N exp ikm (n; r) exp ikn
exp ikm (r) N (n; r) exp ik n m
1
exp
i
k(n
m)
N
(
n
;
r
)
exp ikn (r )
N
k ,
k
k
n
k ,
k
n
n ,m
k
k
k ,
k

5.

Формализм огибающей функции: функции Ваннье
2) Функция Ваннье зависит только от разности r-n (n; r) (r n)
1
(n; r)
N
k
1
exp ikn exp( ikr)uk , (r )
N
3) Набор функций Ваннье – полная система функций
(r n) (r n)
,n
,n
1
N
k ,
(r ) k , (r )
k ,k
exp i(k k )n N
n
1
N
exp ikn k , (r )
exp(ik(r n))u
k ,
k
1
N
k
exp ik n
k
n
k ,k
(r n) (r n)
,n
Функции Блоха формируют полную систему =>
k ,
k , (r ) k , (r ) (r r )
Система функций Ваннье удовлетворяет условию полноты
,n
(r n) (r n) r r
(r ) k , (r )
,k
,k
k ,
exp i(k k )n
(r n)
(r )

6.

Формализм огибающей функции: функции Ваннье
4) Функции Ваннье являются ортонормированными
1
1
dr (r n) (r n ) dr
exp ikn k , (r )
exp ik n k , (r )
N k
N k
1
1
exp ikn ik n dr k , (r ) k , (r )
exp ikn ik n k,k ,
N k ,k
N k ,k
exp ikn ikn
N
,
, n, n
k
5) Главное приемущество функций Ваннье заключается в том, что они
локализованны вблизи своих элементарных ячеек
(r n) - локализована вблизи элементарной ячейки, определяемой вектором
решетки n и затухает на расстоянии, порядка межатомного
Если f(r) слабо изменяется на расстоянии, порядка межатомного
, n f (r) , n dr (r n) f (r) (r n ) f (n) dr (r n) (r n ) f (n) , n,n

7.

Формализм огибающей функции: временное уравнение Шредингера
(r, t ) ˆ
H (r, t )
t
Hˆ Hˆ 0 Vext (r )
Hˆ - Гамильтониан идеального кристалла
i
0
Vext - медленно изменяющийся потенциал, дополнительный к потенциалу
идеального кристалла
Переходим к представлению по базису Ваннье
(r, t ) C (n, t ) (r n)
,n
i
C (n, t )
(r n) Hˆ 0 1 (r m) C 1 (m, t ) (r n) Vext 1 (r m) C 1 (m, t )
t
1 ,m
1m
(r n)
1
N
exp ikn
k ,
k
1
(r n) Hˆ 0 1 (r m)
N
(r ) (r n) Hˆ 0 1 (r m) dr (r n) Hˆ 0 1 (r m)
exp ik n exp ik m dr
1
2
k 1 ,
Hˆ 0 k 2 , 1
k 1 ,k 2
Hˆ 0 k 2 , 1 1 (k 2 ) k 2 , 1 dr k 1 , Hˆ 0 k 2 , 1 1 (k 2 ) dr k 1 , k 2 , 1 (k 1 ) , 1 k1 ,k 2
1
(r n) Hˆ 0 1 (r m)
N
exp ik (n m)
1
k
(k )

8.

Формализм огибающей функции: функции Ваннье
i
C (n, t )
(r n) Hˆ 1 (r m) C 1 (m, t )
t
1 ,m
(r n) Hˆ 1 (r m)
,
N
1
exp ik (n m)
(k ) (r n) Vext 1 (r m)
k
(r n) Vext 1 (r m) dr * (r n)Vext (r ) 1 (r m)
*
d
r
(r n)Vext (r) 1 (r m)
n1 cell n1
Vext (r ) почти постоянный в пределах элементарной ячейки
dr (r n)V
*
ext
dr (r n)
(r ) 1 (r m) Vext (n1 )
cell n1
*
1
(r m)
cell n1
(r n) локализована в ячейке n
*
d
r
(r n) 1 (r m) 0, if n m or n m n1
cell n1
(r n) Vext 1 (r m) n ,mVext (n)
dr (r n)
*
1
(r n)
cell n
*
d
r
(r n) 1 (r n)
cell n
*
d
r
(r n) 1 (r n) , 1
whole
crystal
(r n) Vext 1 (r m) n ,m , 1Vext (n)

9.

Формализм огибающей функции: функции Ваннье
C (n, t )
i
(r n) Hˆ 1 (r m) C 1 (m, t )
t
1 ,m
(r n) Hˆ 1 (r m)
i
C (n, t )
1
t
m N
,
N
1
exp ik (n m)
(k ) n ,m , 1Vext (n)
k
exp ik (n m)
k
(k )C (m, t ) Vext (n)

10.

Формализм огибающей функции: функции Ваннье
(r, t )
,n
2
C (n, t ) (r n) i
Vc (r ) V (r )
t 2m0
(k ) exp ik (n m) C (m, t ) V
(k G ) (k ) (k ) (m ) exp ikm
i
C (n, t ) 1
t
N
ext
(n)C (n, t )
m ,k
1
1
m1
1
N
(k ) exp ik (n m) C (m, t )
m ,k
1
N
(m ) exp ik (m n m) C (m, t )
1
m ,m1 ,k
exp ik (m n m) N
1
(k ) exp ik (n m) C (m, t ) (m)C (m n, t )
N
1
N
m ,m1 n
1
k
m ,k
m
1

11.

Формализм огибающей функции: функции Ваннье
1
N
(k ) exp ik (n m) C (m, t ) (m)C (m n, t )
m,k
m
C (m n, t ) 1
1
N
1
m
n 2
,
2
m m
C (n, t )
n n
(k )C (m, t )
m ,k
(m) 1
2
m m
C (n, t )
n n
(m) exp m C (n, t ) ( i )C (n, t )
( i ) (m) exp m
m
1
m
n 2
m
m
,

12.

Формализм огибающей функции: функции Ваннье
C (n, t )
i
( i ) Vext (n) C (n, t )
t
Vext слабо изменяется на межатомном масштабе => C имеет близкие значения в
соседних ячейках=> С можно приблизить непрерывной функцией координат
(r, t ) C (r, t )
- огибающая функция (огибает значения C в
дискретных точках n)
(r, t ) ˆ
i
H (r, t ); Hˆ ( i ) V (r )
t
Уравнение Шредингера для частицы с Гамильтонианом

13.

Формализм огибающей функции: матричные элементы
Для описания макроскопических свойств электронной подсистемы кристалла
нужно уметь вычислять матричные элементы макроскопических величин.
Макроскопическая величина L изменяется слабо на межатомном масштабе
(1)
L
( 2)
C
1
(n1 )C (n) dr 1 (r n1 ) L(r ) (r n)
,n
1 ,n1
dr
(1)
1
(r n1 ) L(r ) (r n) L(n) , 1 n ,n1
L
( 2)
C
1
(n1 ) L(n)C (n)
,n
1
C 1 (n1 ) L(n)C (n)
0
(1)
L
( 2)
dr (r ) L(r ) (r )
n
dr (r)L(r) (r) dr (r)L(r) (r)
1
0
n
n
1
0
Для вычисления матричных элементов макроскопических величин
достаточно знать только огибающие функции.

14.

Envelope function formalism
Если потенциал Vext , дополнительный к потнциалу идеальной решетки,
слабо меняется на межатомном масштабе, тогда макроскопическое
поведение электронной подсистемы в кристалле является практически
таким же как и поведение газа квазичастиц с одночастичным
Гамильтонианом
Hˆ (kˆ ) Vext (r )
(k )
- закон дисперсии идеального кристалла (блоховский закон дисперсии)
ˆk i pˆ
(k ) (n) exp ink (k ) (n) exp n
n
n
1
2
exp n 1 n
n n
x 2 ,
x x

15.

Формализм огибающей функции: простой невырожденный экстремум
k0=0 – простой невырожденный экстремум
2
2 1
1
k k 0 k k kˆ k 0 kˆ kˆ
, 2 m ,
, 2 m ,
2
1
ˆ
ˆ
H k Vext (r ) k 0 pˆ pˆ Vext (r )
, 2 m ,
1
1
pˆ pˆ Vext (r ) (r ) E k 0 (r )
2 m ,
pˆ i

16.

Формализм огибающей функции: простой невырожденный экстремум
1
2
pˆ 2
Vext (r ) (r ) E (r )
*
2m
Вместо электронов в кристалле, можно рассматривать квазичастицы с
эффективными массами.

17.

Формализм огибающей функции: простой невырожденный экстремум
1
2
pˆ 2
Vext (r ) (r ) E (r )
*
2m
1) В окрестности дна зоны проводимости с невырожденным параболическим
законом дисперсии
pˆ 2
Vext E
2mc
2) В окрестности потолка валентной зоны с простым невырожденным законом
дисперсии
2
2
me ,V
E (p)
pˆ
0
Vext E
2
p k 0
2 mV
pˆ 2
Vext E
2 me ,V
Vext имеет электрическую природу => -Vext потенциальная энергия квазичастицы
с положительным зарядом (дырка)
m p me ,V
- Эффективная масса дырки
Энергия дырки имеет знак, противоположный энергии отсутствующего электрона

18.

Примесные состояния в полупроводниках
Доноры – Валентность донора превышает валентность атомов матрицы =>
Один из валентных электронов донора не образует связь с атомом
матрицы=> под внешним воздействием электрон отрывается и становится
электроном проводимости => примесь становится положительно
заряженным ионом. Положительно заряженная примесь создает
электрическое поле, которое меняет энергетический спектр электолна
Positively charged ion creates electric field, which transforms electron spectrum
Мелкие примеси:
1) Среднее расстояние между электроном и примесью >> постоянной
решетки => можно использовать приближение сплошной среды
(предполагается, что электрон движется в сплошной среде с
диэлектрической проницаемостью ε)
2) Размер иона << среднего расстояния между электроном и ионом => Поле
иона можно разложить по мультиполям. Ион – заряженная систем => можно
ограничиться монопольным членом => поле иона – такое же как и точечного
заряда.

19.

Примесные состояния в полупроводниках
pˆ 2 e 2
- уравнение Шредингера для «атома водорода»
E EC
2 m r
E Ec - непрерывный спектр => делокализованные состояния. Электрон
движется свободно по кристаллу – зона проводимости,
модифицированная полем ионаconduction band modified by field of ions
E Ec
- связанное состояние
4
me e
m e4
E n Ec 2 2 E n Ec 2 2 2
2 n
2 n e e /
me m
m e4
E Ec 2 2 2
2 n
- дискретные уровни, возникающие внутри щели
(донорные уровни)
Когда электрон находится на донорном уровне, он локализован около примеси.
Когда электрон отрывается, он переходит в зону проводимости.

20.

Примесные состояния в полупроводниках
Акцепторы – валентность меньше, чем валентность атомов матрицы. => одна из
связей является вакантной. Электроны соседних атомов захватываются на эту
связь. Акцептор заряжается отрицательно, и вакантная связь (дырка) движется
по кристаллу.
pˆ 2 e 2
pˆ 2
e 2
E ; m p m 0
E
r
2
m
p r
2 m
E 0
4
me e
m e4
En 2 2 En 2 2 2
2 n e e /
2 n
me m
m e4
E EV 2 2 2
2 n
- дискретные уровни, возникающие в щели (акцепторные
уровни)
Когда электрон находится на примесном уровне, он локализован вблизи
примеси. Переход электрона из валентной зоны на примемсный уровень –
разрыв связи с атомом матрицы и захват электрона на примесный ион.

21.

Envelope function formalism and kp-method
Consider states which are close to nondegenerate extemum at k=0
(r ) a (k ) exp ikr u ,k (r )
k
kp method for Vext 0 gives
u ,k u , 0
E
k
m0
p ,
(0)
E ( 0 )
u
,0
p , u , 0 pˆ u ,0
;
(r ) (1) (r ) ( 2) (r )
(1) (r ) (r )u ,0 r ;
(r ) a (k ) exp ikr
k
( 2) (r )
m0
E
a (k )k exp ikr
k
(0)
k exp ikr i exp ikr
p ,
E
(0)
u ,0
1
pˆ exp ikr
a (k )k exp ikr
1
1
pˆ a (k ) exp ikr pˆ (r )
k
k
p
1
( 2) (r )
pˆ (r ) ( 0 ) , ( 0 ) u , 0 r
m0
E E

22.

Envelope function formalism and kp-method
(r ) (1) (r ) ( 2) (r )
(1) (r ) (r )u ,0 r ;
(r ) a (k ) exp ikr
k
( 2)
p ,
1
pˆ (r) (0) (0) u ,0 r
(r )
m0
E E
2
Hˆ
U 0 (r ) Vext (r )
2m0
(1) u , 0 u , 0 u , 0 u , 0
2 u ,0 u , 0 u , 0 2 u , 0
u , 0 2 u , 0 u , 0
pˆ 2
1
pˆ 2
pˆ 2 (1)
u ,0
pˆ u ,0 pˆ
u , 0
2m0
2m0 m0
2m0

23.

Envelope function formalism and kp-method
(1) (r ) (r )u ,0 r ;
2
ˆ
p
U 0 (r ) Vext (r )
Hˆ
2m0
pˆ 2
1
pˆ 2
pˆ 2 (1)
u ,0
pˆ u ,0 pˆ
u ,0
2m0
m0
2m0
2m0
2
2
ˆ
ˆ
p
1
p
u , 0 U 0u , 0 Vext u , 0
pˆ u ,0 pˆ
Hˆ (r ) u , 0
2m0
2m0 m0
pˆ 2
u , 0 U 0u , 0 E ( 0)u , 0
2m0
(1)
2
ˆ
1
p
(0)
ˆ
pˆ u ,0 pˆ
Vext (r ) E
H (r ) u , 0
m0
2m0
(1)

24.

Envelope function formalism and kp-method
(r ) (r )
(1)
( 2)
pˆ 2
ˆ
H
U 0 (r ) Vext (r )
2m0
(r );
Hˆ Hˆ (1) Hˆ ( 2 )
( 2)
p
1
pˆ (r ) (0) , (0) u ,0 r 1
(r )
m0
E E
m0
p ,
E
(0)
E ( 0)
ˆ
p u
,0
pˆ 2
1
pˆ 2
pˆ 2
pˆ u ,0 u ,0
pˆ pˆ u ,0 pˆ pˆ pˆ
u , 0
2m0
2m0
m0
2m0
Hˆ pˆ u ,0
pˆ 2
pˆ Vext 1
u , 0
2m0
m0
pˆ 2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
p
u
p
p
p
u
U
u
,0 2m ,0 0 ,0
0
pˆ 2
u ,0 U 0u , 0 E ( 0)u , 0
2m0
pˆ 2
1
ˆ
pˆ u ,0 pˆ pˆ
H pˆ u ,0 u , 0
pˆ Vext E ( 0 ) pˆ
m0
2m0
2
p ,
ˆ
1
p
1
(
2
)
(0)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Hˆ
u
p
V
E
p
p
u
p
p
E (0) E (0) ,0 2m ext m ,0
m0
0
0

25.

Envelope function formalism and kp-method
(1) ( 2) Hˆ E
Hˆ (1) Hˆ ( 2 ) E (1) ( 2 )
2
ˆ
p
1
Hˆ (r ) u , 0
Vext (r ) E ( 0 )
pˆ u , 0 pˆ
m0
2m0
p , pˆ 2
1
1
(
2
)
(0)
ˆ
ˆ
Hˆ
u
p
V
E
p
E (0) E (0) ,0 2m ext m
m0
0
0
(1)
dr
ˆ
p
pˆ u pˆ
,0
,k dru *,k exp( ikr) exp( ikr)u ,k dru *,k u ,k dru *,k u ,k
*
,k
n n
u ,k (r n) u ,k (r ) dru *,k u ,k dru *,k u ,k does not depend on cell n
n
dr
,k N dru *,k u ,k
0
*
,k
0
*
d
r
,k ,k ,
dru *,k u ,k
,
N
N- the number of unit cells

26.

Envelope function formalism and kp-method
(1) ( 2) Hˆ E
Hˆ (1) Hˆ ( 2 ) E (1) ( 2 )
2
ˆ
p
1
pˆ u ,0 pˆ
Hˆ (r ) u , 0
Vext (r ) E ( 0 )
m0
2m0
p , pˆ 2
1
1
(
2
)
(0)
ˆ
ˆ
Hˆ
u
p
V
E
p
E (0) E (0) ,0 2m ext m
m0
0
0
(1)
dru
*
0
u
,0 ,0
,
N
*
ˆ (1) Hˆ ( 2 ) dru * E (1) ( 2 )
d
r
u
H
,
0
,k
0
0
u ,0 Hˆ (1) u , 0 Hˆ ( 2) E u , 0 (1) E u , 0 ( 2)
f (r ) g (r ) drf * (r ) g (r )
0
pˆ u ,0 pˆ pˆ

27.

Envelope function formalism and kp-method
pˆ 2
1
(1)
ˆ
pˆ u ,0 pˆ
H (r ) u , 0
Vext (r ) E ( 0 )
m0
2m0
pˆ 2
1
(1)
*
(1)
*
(0)
ˆ
ˆ
u ,0 H
dru , 0 H dru , 0u , 0
Vext (r ) E
m0
2m0
0
0
*
,0
0
is practicall y constant w ith a unut cell
u ,0 Hˆ
(1)
pˆ 2
Vext (r ) E ( 0 ) dru *, 0u ,0 pˆ dru *,0 pˆ u , 0
2m0
0
0
*
dru ,0u ,0
0
,
N
1 pˆ 2
(1)
ˆ
u ,0 H
Vext (r ) E ( 0 ) pˆ dru *, 0 pˆ u ,0
N 2m0
0
p
1
u , 0 (r n) u , 0 (r ) dru *, 0 pˆ u ,0 dru *, 0 pˆ u ,0 ,
N
N
0
u ,0 Hˆ
(1)
1
N
pˆ 2
1 p ,
(0)
pˆ
V
(
r
)
E
ext
2
m
N
m
0
0
dru pˆ u pˆ
,0

28.

Envelope function formalism and kp-method
1
Hˆ ( 2 )
m0
u , 0
Hˆ
( 2)
p ,
E
1
m0
(0)
E ( 0 )
pˆ 2
1
pˆ Vext E ( 0 ) pˆ
u , 0
m0
2m0
p ,
E
(0)
( )
E ( 0 )
ˆ
p
pˆ u pˆ
,0
pˆ 2
1
*
pˆ Vext E ( 0 ) pˆ
dru ,0u , 0
m0
2m0
0
ˆ
ˆ
ˆ
dru ,0 p u ,0 p p
0
*
is practicall y constant w ith a unut cell
u , 0
1
Hˆ ( 2 )
m0
*
dru ,0u ,0
0
u , 0
1
m02
Hˆ
( 2)
p ,
E
(0)
( )
pˆ 2
1
pˆ Vext E ( 0 ) pˆ ,
N
m0
2m0
N
1
m0
E
(0)
( )
p ,
E
(0)
( )
E
(0)
E ( 0 )
ˆ ˆ
ˆ
p p dru p u
*
,0
1
u ,0 (r n) u ,0 (r ) dru ,0 pˆ u , 0
N
1 1
Hˆ ( 2 )
N m02
,0
0
*
u , 0
pˆ pˆ dru ,0 pˆ u ,0
0
*
,
p ,
,
E ( 0 )
pˆ 2
1
pˆ Vext E ( 0 ) pˆ dru *, 0u , 0
m0
2m0
0
dru ,0 pˆ u ,0
*
0
p p
E E pˆ
,
( )
,
,
(0)
(0)
pˆ
p
,
N
*
ˆ
ˆ
ˆ
p p dru ,0 p u ,0
0

29.

Envelope function formalism and kp-method
u , 0 Hˆ E u ,0 (1) E u , 0 ( 2 )
u , 0 Hˆ u , 0 Hˆ (1) u ,0 Hˆ ( 2 )
u , 0
u , 0
1 pˆ 2
1 p ,
(1)
ˆ
pˆ
H
Vext (r ) E ( 0 )
N 2m0
N
m
0
p , p ,
1 1
Hˆ ( 2 )
E (0) E (0) pˆ pˆ
N m02 ,
( )
2
p , p ,
p ,
1
pˆ
(0)
u , 0
2
pˆ pˆ
pˆ Vext (r ) E
(0)
(0)
2
m
m
E
E
m
0 ,
0
0
( )
pˆ 2 pˆ pˆ , pˆ pˆ
1
Hˆ
N
pˆ 2
1
2
2m0 m0
,
p , p ,
E
(0)
,
( )
, 1
1
2
m
m
m0
,
0
E ( 0 )
1 ,
1
pˆ pˆ
2
m0 m0
, 2
p , p ,
E
,
( )
(0)
E ( 0 )
p , p ,
E
(0)
,
( )
p
1 1 1
u , 0 Hˆ * pˆ pˆ , pˆ Vext (r ) E ( 0 )
N , 2 m ,
m0
E ( 0 )
pˆ pˆ

30.

Envelope function formalism and kp-method
1 1
p ,
(0)
(1)
ˆ
ˆ
ˆ
p
p
p
V
(
r
)
E
E u , 0 ( 2 )
*
ext
E u , 0
m0
, 2 m ,
p , p ,
, 1
1
E (0) E (0)
m0 m02 ,
m ,
1
N
( )
(1) u ,0
u , 0 (1) dr u , 0u , 0 dru , 0u , 0
0
( 2 ) (r )
1
m0
u , 0 (1)
0
E
1
m0
p ,
(0)
E
(0)
E
pˆ (r ) u , 0 r
p ,
(0)
1
N
dru pˆ u r
E
(0)
,0
dru ,0pˆ (r) u ,0 r pˆ dru ,0u ,0 r
0
u , 0 (1)
0
1
m0
E
p ,
(0)
,0
0
E ( 0 )
1
pˆ ,
N
1
pˆ , 0
N

31.

Envelope function formalism and kp-method
1 1
p ,
(0)
pˆ Vext (r ) E (r ) E (r )
* pˆ pˆ
m0
, 2 m ,
p , p ,
, 1
1
2
m0 m0 ,
E ( 0 ) E ( 0 )
m ,
( )
p , 0, if extremum is inversion point

32.

Magnetic field
2
1
2mc ,
e
i
A V B g σB E
x c
1
2m p ,
e
i
A VU B g σB E - In vicinity of top
x c
2
- In vicinity of bottom

33.

Degenerate extremum
(r) (r)
r
(r)
j
j
j 1
r
j1 1 ,
j , j1
,
D
pˆ pˆ j1 V j E j