Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Урок геометрии в 7 классе

1.

Медианы,
биссектрисы
и высоты
треугольника
Урок геометрии в 7 классе

2.

Перпендикуляр к прямой
Если АН а, то отрезок
А
АН называют перпендикуляром
к прямой а, проведенным из
точки А.
Н
а
С
M
b
N
ВМ b
В
CN b

3.

Теорема
Из точки, не лежащей на прямой, можно провести
перпендикуляр к этой прямой, и притом только один
А
Дано : прямая ВС и точка А
А ВС
Доказать :
1
В
1) Можно провести АН ВС
Н
С
2
2)
АН единственный
Проведем луч ВА
Построим МВС АВС
А1
Наложим АВС на МВС
M
АН искомый перпендикуляр
А А1
АА1 ВС Н
ПОЧЕМУ ?

4.

Теорема
Из точки, не лежащей на прямой, можно провести
перпендикуляр к этой прямой, и притом только один
А
Дано : прямая ВС и точка А
А ВС
Доказать :
1) Можно провести АН ВС
В
Н1 Н
С
2)
АН единственный
АН искомый перпендикуляр
Предположим, что через точку А можно провести еще один перпендикуляр к
прямой ВС - АН1
Получим:
АН ВС
АН1 ВС
АН АН
1
(противоречие)
Вывод: АН - единственный

5.

Медианы треугольника
Отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину
противоположной стороны, называется медианой треугольника
В
К
А
Т
С
М
АМ = МС, М АС
АК = КВ, К АВ
ВТ = ТС, Т ВС
ВМ – медиана
СК – медиана
АТ – медиана

6.

Биссектрисы треугольника
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину
треугольника с точкой противоположной стороны, называется
биссектрисой треугольника
В
М
А
С
ВАМ САМ , М ВС АМ биссектриса

7.

Биссектрисы треугольника
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину
треугольника с точкой противоположной стороны, называется
биссектрисой треугольника
В
Т
А
М
К
С
ВАМ САМ , М ВС АМ биссектриса
АВК СВК , К АС ВК биссектриса
ВСТ АСТ , Т АВ СТ биссектриса

8.

Высоты треугольника
Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой,
содержащей противоположную сторону, называется высотой
треугольника
В
А
Н
С
ВН АС , ВН высота

9.

Высоты треугольника
Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой,
содержащей противоположную сторону, называется высотой
треугольника
В
К
ВН АС , ВН высота
СК АВ, СК высота
А
Н
С

10.

Высоты треугольника
Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой,
содержащей противоположную сторону, называется высотой
треугольника
В
К
ВН АС , ВН высота
М
СК АВ, СК высота
АМ ВС ,
АМ высота
А
Н
С

11.

Высоты треугольника
Н
Перпендикуляр, проведенный
из вершины треугольника к
прямой, содержащей противоположную сторону, называется
высотой треугольника
В
А
С
СН АВ, СН высота

12.

Равнобедренный треугольник
В
А
Треугольник, у которого две стороны
равны, называется равнобедренным.
Равные стороны называются
боковыми сторонами, а третья сторона
– основанием треугольника.
С
основание
Углы А и С называются углами при основании
Угол В (лежит против основания) – угол при вершине
В
А
С
Треугольник, у которого все стороны
равны, называется равносторонним

13.

В
Виды равнобедренных
треугольников
N
А
основание
С
остроугольный
основание
M
прямоугольный
R
P
основание
тупоугольный
S
F

14.

Свойство равнобедренных треугольников
В
Теорема.
В равнобедренном треугольнике
углы при основании равны
Дано : АВС , АВ ВС
Доказать : А С
А
D
С
Доказательство.
Проведем биссектрису ВD.
Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них:
1) …
2) …
3) …
Из равенства ΔАВD = ΔCBD следует ‫ ے‬A=‫ ے‬C

15.

Медианы, высоты и биссектрисы в
равнобедренном треугольнике
В
В
M
К
Н
основание
А
С
А
M
К
Н
С

16.

Свойство равнобедренных треугольников
Теорема.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к
основанию, является медианой и высотой.
В
Дано : АВС , АВ ВС
ВD биссектриса
Доказать : ВD медиана ( AD DC )
ВD высота ( ADB CDB 900 )
А
С
D
Доказательство.
Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них:
Из равенства ΔABD = ΔCBD следует …
1) AD = DC (BD -медиана)
2) ‫ے‬ADB = ‫ے‬CDB=900 (BD -высота)