Векторы в пространстве

1. Векторы в пространстве

вход

2. Содержание

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Понятие вектора в пространстве
Коллинеарные векторы
Компланарные векторы
Действия с векторами
Разложение вектора
Базисные задачи
Проверь себя
Помощь в управлении презентацией
Выход

3. Понятие вектора в пространстве

Вектор(направленный отрезок) –
отрезок, для которого указано какой из его
концов считается началом, а какой – концом.
В
А
AB
a
M
MM 0
Длина вектора AB – длина отрезка AB.
AB AB
0 0

4. Коллинеарные векторы

Два ненулевых вектора называются
коллинеарными, если они лежат на одной
прямой или параллельных прямых.
Среди коллинеарных различают:
• Сонаправленные векторы
• Противоположно направленные векторы

5. Сонаправленные векторы

Сонаправленные векторы - векторы, лежащие
по одну сторону от прямой, проходящей через их
начала.
a
a b
b
Нулевой вектор считается сонаправленным с
любым вектором.
• Равные векторы

6. Равные векторы

Равные векторы - сонаправленные векторы,
длины которых равны.
a
a b a b, a b
b
От любой точки можно отложить вектор,
равный данному, и притом только один.

7. Противоположно направленные векторы

Противоположно направленные векторы –
векторы, лежащие по разные стороны от прямой,
проходящей через их начала.
a
a b
b
Противоположные векторы

8. Противоположные векторы

Противоположные векторы – противоположно
направленные векторы, длины которых равны.
a
a b a b, a b
b
Вектором, противоположным нулевому,
считается нулевой вектор.

9. Признак коллинеарности

Если существует такое число k при котором
выполняется равенство a k b и при том
вектор b 0 , то векторы a и b коллинеарн ы.

10. Определение компланарных векторов

Компланарные векторы – векторы, при
откладывании которых от одной и той же точки
пространства, они будут лежать в одной
плоскости.
Пример:
B1
A1
C1
D1
B
А
C
D
BB1 , AC,AC 1 компланарн ы, т.к.
BB1 AA1 , а векторы AA1 , AC , AC1
лежат в плоскости (AA1C)

11. О компланарных векторах

Любые два вектора всегда компланарны.
α
a
b
a
b
a
b
a и b компланарн ы
Три вектора, среди которых имеются два
коллинеарных, компланарны.
a, b и c
компланарн ы
если
a, b, c
a kb

12. Признак компланарности

Если вектор c можно разложить по векторам
а и b, т.е. представить в виде
с xa yb
где х и у некоторые числа, то векторы a, b
и c компланарн ы.

13. Задачи на компланарность

1)
2)
Компланарны ли векторы:
а) a, b, 2a, 3b;
б) a, b, a b, a b ?
Справка
Решение
Известно, что векторы a , b и c компланарны.
Компланарны ли векторы:
а) a, 2b, 3c;
б) a b, a 2c, 2b 3c ?
Справка
Решение

14. Решение

а )векторы a и 2a коллинеарн ы,
векторы b и 3b коллинеарн ы,
значит векторы a, b, 2a и 3b компланарн ы
б )векторы a, b и a b компланарн ы,
векторы a, b и a b компланарн ы,
значит векторы a, b, a b и a b компланарн ы

15. Решение

a) если векторы a , 2b , 3c компланарн ы,
то существуют такие х и у,что
a xb y c
проверяем существуют ли такие т и п,что
a m 2b n 3c
имеем :
x
2m x m
2
y
3n y n
3
m и п определяют ся единственным образом,
значит векторы компланарн ы

16. Решение

б)если векторы a b , a 2c , 2b 3c
компланарн ы, то существуют такие х и у,что
a b x( a 2c ) y(2b 3c )
a b x a 2xc 2yb 3y c
a(1 x) b(1 2y) c( 2x 3y) 0
1 x 0 x 1
1
1 2y 0
y
3y 2x 0
2
1
a b a 2c (2b 3c )
2
искомые х и у существуют,
значит векторы компланарн ы

17. Свойство компланарных векторов

Если векторы a, b и c компланарн ы, то один из них
можно выразить линейным образом через два других,
т.е. представить в виде :
с xa yb
причем коэффициен ты разложения
определяют ся единственным образом.

18. Действия с векторами

Сложение
Вычитание
Умножение вектора на число
Скалярное произведение

19. Сложение векторов

Правило треугольника
Правило параллелограмма
Правило многоугольника
Правило параллелепипеда
Свойства сложения

20. Правило треугольника

Для сложения двух векторов необходимо :
1. отложить от какой нибудь точки А вектор
AB, равный а
2. от точки В отложить вектор BC , равный b
3. вектор AC называется суммой векторов a и b
B
a
a
А
b
a b
b
C

21. Правило треугольника

B
a
А
a b
b
C
Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:
AB BC AC

22. Правило параллелограмма

Для сложения двух векторов необходимо :
1. отложить от какой нибудь точки А
вектор AB, равный а
2. от точки А отложить вектор AC, равный b
3. достроить фигуру до параллелограмма , проведя
дополнительные линии параллельно данным
векторам
4. диагональ параллелограмма сумма векторов
B
a
a
b
А
с
b
с a b
C

23. Свойства сложения

Для любых векторов a , b и c справедливы
равенства :
a b b a
a b с а b с
переместительный закон
сочетательный закон

24. Правило многоугольника

Сумма векторов равна вектору, проведенному
из начала первого в конец последнего(при
последовательном откладывании).
a
B
b
C
A
a b c d e
e
c
E
d
Пример
D
AB BC CD DE AE

25. Пример

B1
A1
C1
D1
B
A
C
D
AA1 D1C1 A1 D BA CB 0

26. Правило параллелепипеда

Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,
равен сумме векторов, проведенных из той же
точки и лежащих на трех измерениях
параллелепипеда.
B
A1
C1
1
d
AB b
D1
с bB
C
А
a
AD a
D
AC1 AD AB AA1
AA1 c
AC1 d

27. Свойства

B1
A1
C1
d
D1
с aB
А
C
b
D
d a b c для любого параллелепипеда
d 2 a 2 b 2 c 2 для прямоуголь ного
параллелепипеда

28. Вычитание векторов

• Вычитание
• Сложение с противоположным

29. Вычитание

Разностью векторов a и b называется такой
вектор, сумма которого с вектором b равна
вектору a .

30. Вычитание

Для вычитания одного вектора из другого необходимо :
1. отложить от какой нибудь точки А
вектор AB, равный а
2. от этой же точки А отложить вектор AC,
равный b
3. вектор CB называется разностью векторов a и b
B
a
b
Правило трех точек
a
a b
A
b
C

31. Правило трех точек

Любой вектор можно представить как разность
двух векторов, проведенных из одной точки.
B
BK AK AB
А
BK
K

32. Сложение с противоположным

Разность векторов
как сумму вектора
a
a
и
b можно представить
и вектора,
противоположного вектору
b.
a b a b
a
B
b
a b
b
O
А
a

33. Умножение вектора на число

Произведением ненулевог о вектора a на число k
называется такой вектор b , длина которог о
равна к а , при чем векторы a и b сонаправле ны
при k 0 и противоположно направлены при k 0.
a
2a
b
1
b
3

34. Свойства

• Произведением нулевого вектора на любое число
считается нулевой вектор.
0 n 0
• Произведение любого вектора на число нуль есть
нулевой вектор.
n 0 0

35. Свойства

Для любыхвект оровa и b и любых
чисел k, l справедливы равенст ва:
(kl)a k(la )
сочет ат ельный закон
k( a b ) k a k b
1 ый распределит ельный
закон
(k l)a k a l a
2 ой распределит ельный
закон

36. Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус угла
между ними.
ab a b cos( a ; b )
Справедливые утверждения
Вычисление скалярного произведения в координатах
Свойства скалярного произведения

37. Справедливые утверждения

• скалярное произведение ненулевых векторов
равно нулю тогда и только тогда, когда эти
векторы перпендикулярны
a b 0 a 0 b 0 a b
• скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное
произведение вектора на себя) равен квадрату
его длины
2
a
а
2
а
2

38. Вычисление скалярного произведения в координатах

Скалярное произведен ие векторов a x1 ; y1 ; z1
и b x 2 ; y 2 ; z 2 выражается формулой
a b x 1 x 2 y1 y 2 z 1 z 2

39. Свойства скалярного произведения

Для любых векторов a , b и с и любого
числа k справедливы равенства :
10.
2
a 0 причем a 0 при a 0
20. a b ba (переместительный закон)
(распределительный
0
a
b
c
a
c
b
c
3.
закон)
40. k a b k a b (сочетательный закон)

40. Разложение вектора

• По двум неколлинеарным векторам
• По трем некомпланарным векторам

41. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Теорема.
Любой вектор можно разложить по двум
данным неколлинеарным векторам, причем
коэффициенты разложения определяются
единственным образом.

42. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Если вектор p представлен в виде
p xa yb z c
где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор
p разложен по векторам a , b и c .
Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.
Теорема
Любой вектор можно разложить по трем данным
некомпланарным векторам, причем коэффициенты
разложения определяются единственным образом.

43. Базисные задачи

Вектор, проведенный в середину отрезка
Вектор, проведенный в точку отрезка
Вектор, соединяющий середины двух отрезков
Вектор, проведенный в центроид треугольника
Вектор, проведенный в точку пересечения
диагоналей параллелограмма
Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда

44. Вектор, проведенный в середину отрезка,

равен полусумме векторов, проведенных из той же
точки в его концы.
С
A
B
O
1
1
1
OC ( OA OB ) OA OB
2
2
2
Доказательство

45. Доказательство

С
A
B
O
Доказательство :
OC OA AC
OC OB BC
Дано :
AB отрезок
AC CB
Доказать :
1
OC ( OA OB )
2
2OC OA AC OB BC OA OB (
AC
BC
)
o
2OC OA OB 2
1
OC ( OA OB ) ч.т.д.
2

46. Вектор, проведенный в точку отрезка

Точка С делит отрезок АВ в отношении т : п.
A
m
Сn
B
O
n
m
OC
OA
OB
m n
m n
Доказательство

47. Доказательство

A
m
Сn
B
Дано :
AB отрезок
AC m
CB n
O
Доказатель ство :
OC OA AC
Доказать :
n
m
OC
OA
OB
m n
m n
m
m
AC
AB
(OB OA)
m n
m n
m
m
OC OA
OB
OA
m n
m n
m
m
OA
OA
OB ч.т.д.
m n
m n

48. Вектор, соединяющий середины двух отрезков,

равен полусумме векторов, соединяющих их концы.
С
N
D
B
С
N
D
B
M
M
A
A
1
1
MN ( AD BC ) ( AC BD )
2
2
Доказательство

49. Доказательство

С
N
D
B
M
A
Доказатель ство :
MN MA AC CN
MN MB BD DN
2 MN AC BD
1
MN ( AC BD ) ч.т.д.
2
Дано :
AB; CD
BM AM
CN ND
Доказать :
1
MN ( AC BD )
2

50. Вектор, проведенный в центроид треугольника,

равен одной трети суммы векторов, проведенных из
этой точки в вершины треугольника.
Центроид – точка пересечения медиан
треугольника.
O
С
A
M
B
1
OM ( OA OB OC )
3
Доказательство

51. Доказательство

O
С
A
M
K
B
Дано :
ΔABC
M центроид
Доказать :
1
OM ( OA OB OC )
3
Доказательство :
1
2
OM OA OK
3
3
1
2 1
OA ( ( OC OB ))
3
3 2
1
1
1
1
OA OB OC ( OA OB OC ) ч.т.д.
3
3
3
3

52. Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма,

равен одной четверти суммы векторов, проведенных
из этой точки в вершины параллелограмма.
O
C
B
M
A
D
1
OM ( OA OB OC OD )
4
Доказательство

53. Доказательство

O
B
C
M
Дано :
ABCD пар м
BD AC M
Доказать :
1
OM ( OA OB OC OD )
4
A
D
1
OM ( OA OC )
2
1
OM ( OB OD )
2
1
1
1
1
2OM OA OB OC OD
2
2
2
2
1
1
1
1
OM OA OB OC OD
4
4
4
4
1
( OA OB OC OD ) ÷.ò.ä.
4

54. Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,

равен сумме векторов, лежащих на трех его ребрах,
исходящих из одной вершины.
B1
C1
A1
a
A
d
D1
B
C
b
с
D
d a b c
Доказательство

55. Доказательство

Дано :
B1
C1
A1
a
A
d
AA1 a
D1
B
C
b
D
с
Доказательство :
AC1 AA1 AB1 BC1
AA1 AB AD
a b c ч.т.д.
ABCDA1B1C1D1 пар м
AB b
AD c
AC1 d
Доказать :
d a b c

56. Помощь в управлении презентацией

• управление презентацией осуществляется с
помощью левой клавиши мыши
• переход от одного слайда к другому и на
гиперссылки по одиночному щелчку
• завершение презентации при нажатии кнопки
выход
переход к следующему слайду
возврат к содержанию
возврат к подтеме
возврат с гиперссылок

57. Проверь себя

• Устные вопросы
• Задача 1. Задача на доказательство
• Задача 2. Разложение векторов
• Задача 3. Сложение и вычитание векторов
• Задача 4. Скалярное произведение

58. Устные вопросы

Справедливо ли утверждение:
а) любые два противоположно направленных
вектора коллинеарны?
б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены?
в) любые два равных вектора коллинеарны?
г) любые два сонаправленных вектора равны?
д) если a b, b c, то a c ?
е) существуют векторы a , b и c такие, что a
и c не коллинеарны, b и c не коллинеарны, а a
и b коллинеарны?
Ответы

59. Ответы

а) ДА
б) НЕТ (могут быть и противоположно
направленными)
в) ДА
г) НЕТ (могут иметь разную длину)
д) ДА
е) ДА

60. Задача 1. Задача на доказательство

B1
A1
M
B M1 2
А
Решение
C1
D1
C
D
Дано :
ABCDA1 B1C1 D1 пар д
М 1 , М 2 точки пересечения
медиан ΔА1 ВD и ΔD1CB1
соответственно
Доказать :
AM 1 M 1 M 2 M 2 C1

61. Решение

B1
A1
M
B M1 2
C1
D1
C
Дано :
ABCDA1 B1C1 D1 пар д
М 1 , М 2 точки пересечения
медиан ΔА1 ВD и ΔD1CB1
соответственно
Доказать :
AM 1 M 1 M 2 M 2 C1
А
D
Доказательство :
Рассм. тетраэдр AA1 BD
M 1 центроид ΔA1 M 1 B
1
AM 1 ( AA1 AB AD )
3
AC1 AA1 AB AD по правилу пар да
1
AM 1 AC1
3
1
M AC1 AM 1 AC1
3
1
аналогично M 2 AC1 C1 M 2 AC1
3
следовательно AM 1 M 1 M 2 M 2 C1 ч.т.д.

62. Задача 2. Разложение векторов

Разложите вектор по a , b и c :
D
N точка пересечения
медиан ABC
a
A
b
N
c
а) DB
б) CB
в) DC
г) DN
Решение
B
C

63. Решение

а) DB b a
б) CB b c
в) DC c a
г) DN a 1 AN a 1 ( 1 ( b c ))
3
1
1
a b c
6
6
3 2

64. Задача 3. Сложение и вычитание

Упростите выражения:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
CM MK
DM MA
SD ST
PL PK
AC BC PM AP BM
AD MP EK EP MD
Решение

65. Решение

а) CM MK CK
б) DM MA DA
в) SD ST TD
г) PL PK KL
д) AC BC PM AP BM
AC CB MP PA BM
AB MA BM AM MA 0
е) AD MP EK EP MD
AD DM MP PE EK
AK

66. Задача 4. Скалярное произведение

Вычислить скалярное произведение векторов:
C1
B1
A1
D1
a
B
A
а) AD B1C1
б) AC C 1 A1
в)D1 B AC
г)BA1 BC 1
Решение
C
D
Дано :
ABCDA1 B1C1 D1 куб
AB a

67. Задача 4. Скалярное произведение

Вычислить скалярное произведение векторов:
B1
C1
O1
A1
D1
a
B
A
д) A1O1 A1 C1
е)DO1 B1O1
ж)BO1 C1 B
Решение
C
D
Дано :
ABCDA1 B1C1 D1 куб
AB a
A1C1 B1 D1 O1

68. Решение

2
а) AD B1C1 AD AD 2 a 2
б)AC диагональ квадрата
AC A1C1 C1 A1
AC C 1 A1 AC ( A1C1 ) AC A1C1 (a 2 )2 2a 2
в)D1 B диагональ куба
D1 B a 2 (a 2 )2 3a(п( т.Пифагора из ΔDD1 B)
2
a3 3
D1 B AC 3a 2 a 2 cos45 a 3 6
2
г)BA1 , BC 1 диагонали квадратов
ΔA1 BC 1 равносторонний, A1 BC 1 60
1 2a 2
a2
BA1 BC 1 a 2 a 2
2
2

69. Решение

д)A1O1 половина диагонали квадрата
A1C1 диагональ квадрата
O1 A1C1 0
a 2
A1O1 A1 C1
a 2 cos0 a 2
2
е)D1O1 , B1O 1 половины диагонали квадрата
a 2 a 2
a2
D1O1 B1O1 D1O1 ( O1 B1 )
2
2
2

70. Решение

ж)I способ решение по определению :
B1
C1
O1
a 2 2 a 6
A1
BO1 a 2 (
)
D1
2
2
C1 B диагональ квадрата
c
B
1
1
C
b a
O1 BC 1 A1 BC 1 60 30
2
2
A
a 6
3 2 D
BO1 C1 B BO1 ( BC 1 )
a 2 cos30 a
2
2
II способ разложение по базису :
1
1
BO1 a b c
2
2
C1 B b a
2
1
1
BO1 C1 B ( a b c ) ( a b ) ( a ab
2
2
2
1
1
1
1 2
1 2
3
a c bc ab b ) ( a a ) a 2
2
2
2
2
2
2