Контактні та циклічні напруження

1.

1
ЛЕКЦІЯ. КОНТАКТНІ ТА ЦИКЛІЧНІ НАПРУЖЕННЯ
План:
1. Контактні напруження в елементах конструкцій.
2. Фізична природа руйнувань матеріалів при повторнозмінних навантаженнях.
3. Характеристики циклів напружень.
4. Крива витривалості. Границя витривалості. Різновиди
діаграм втоми металів.
5. Вплив конструкційно-технологічних чинників на
величину границі витривалості.

2.

1. Контактні напруження в елементах конструкцій.
2
Матеріал у місці контакту, не маючи можливості вільно деформуватись,
перебуває в об’ємному напруженому стані. Хоч контактні напруження мають
місцевих характер і дуже швидко згасають при віддаленні від місця контакту,
їм потрібно приділяти особливу увагу в розрахунках на міцність таких деталей,
як кулькові та роликові підшипники, зубчасті колеса, колеса рухомого складу
тощо.
Уперше правильний розв’язок основних задач про контактні напруження
та деформації виконав методом теорії пружності німецький вчений Г.Герц
(Hertz) за наступних допущень:
– деформації в зоні контакту пружні ;
– площинки контакту малі порівняно з поверхнями контактуючих тіл;
– сили тиску, розподілені по поверхні контакту, нормальні до цієї поверхні.
Початковий контакт у разі дотикання двох тіл може проходити:
– уздовж лінії – два циліндри з паралельними осями, циліндр і площина;
– у точці – дві кулі, куля та площина.
Інженерні розрахунки полягають у визначенні контактних напружень, які
виникають у точках поверхневого шару деталей, що контактують. Ці
напруження позначають σH (індекс Н від німецького прізвища Hertz).

3.

Початковий контакт тіл уздовж лінії
3
Рис. 1.
Циліндри, радіуси яких R1 та R2, виготовлені з матеріалів з модулями пружності
Е1, Е2 та коефіцієнтами Пуассона μ1, μ2.
При взаємному стиску силою FН двох циліндрів завдовжки l, які до
навантаження дотикаються паралельними твірними, розподілене навантаження
дорівнює
F
qH
H
l
.

4.

Початковий контакт тіл уздовж лінії (контакт циліндрів)
4
Ширину прямокутної площинки контакту двох циліндрів визначають за
формулою:
a 2qH Rзв ( 1 2 ),
(1)
1
1
1
.
де зведений радіус кривизни контактуючих поверхонь дорівнює
Rзв R1 R2
Коефіцієнти у формулі (1), що залежать від механічних характеристик
матеріалів циліндрів, визначають так
2(1 12 )
2(1 22 )
1
, 2
.
E1
E2
Нормальні напруження розподілені по площинці контакту нерівномірно.
Найбільше контактне напруження, що виникає в точках лінії початкового дотику
циліндрів з однакових матеріалів, визначають за формулою:
2 FH
2 qH
qH
max H H
z
.
l a a M 2 Rзв
(2)
де коефіцієнт, що враховує механічні властивості матеріалу, дорівнює:
zM
Для сталі
E
.
2
(1 )
1
E 2,2 10 МПа; 0,3; zM 275МПа 2 .
5

5.

Початковий контакт тіл у точці (контакт кульок)
5
Площинка контакту, що виникає при стисканні
двох кульок силами FH (рис. 2), є кругом з
радіусом
a 0,72 3 FH Rзв ( 1 2 ).
(3)
Найбільше контактне напруження, що виникає в
точці початкового контакту кульок, дорівнює:
H 0,918 3
FH
FH
3
z
.
M
2
2
Rзв ( 1 2 )
(2 Rзв )
(4)
Коефіцієнт, що враховує механічні властивості
матеріалу, для кульок з однакового матеріалу:
z M
Рис. 2
1
3
3E
.
2 2
(1 )
2
3
Для сталевих кульок: z M 1755 МПа .
Умова міцності у разі контакту довільних пружних тіл має вигляд:
max H H .
Величина допустимого контактного
контактуючих тіл та їх форми.
напруження
залежить
від
матеріалу

6.

2. Фізична природа руйнувань матеріалів при
повторно-змінних навантаженнях.
6
Рухомі частинах машин під час експлуатації
перебувають під дією змінних у часі навантажень.
Унаслідок дії змінних навантажень у деталях
виникають циклічно-змінні напруження. Розглянемо
приклад напруженого стану в циліндричній деталі,
яким є вал, що обертається з кутовою швидкістю ω
Рис. 3
(рис. 3).
На деталь діє постійна за величиною та напрямом згинальна сила F. У будь-якій
точці перерізу (за винятком точок на осі обертання) за час одного оберту деталі
напруження встигають двічі змінити знак. Наприклад, у розміщеній на поверхні валу
точці А напруження від розтягувального переходить до стискувального та знову до
розтягувального. Таке періодичне, знакозмінне напруження в деталі називають
циклічним. Один цикл зміни напруження відповідає одному оберту деталі. У ряді
випадків можуть виникати неперіодичні знакозмінні напруження.
Опір матеріалу циклічним навантаженням значно відрізняється від його опору
статичному навантаженню. Під дією змінних навантажень матеріал руйнується при
значно менших напруженнях у порівнянні зі статичним навантаженням. Процес
руйнування за навантажень, циклічно змінних у часі, називають втомним
руйнуванням.

7.

Етапи втомного руйнування
7
Втомою називають процес поступового нагромадження пошкоджень у матеріалі
під дією циклічних навантажень, що зумовлює утворення і розповсюдження
тріщини та закінчується руйнуванням.
Витривалість – це здатність матеріалу чинити опір втомі та витримувати при
заданому рівні напружень визначену кількість циклів навантаження до руйнування.
Етапи втомного руйнування у вигляді графіків показані на рис. 4. На першій стадії
втомного руйнування відбувається: І – утворення ліній ковзання; ІІ – утворення
перших мікроскопічних тріщин; ІІІ – злиття мікроскопічних тріщин з утворенням
видимої тріщини.
Ця стадія займає 60% – 90% від повного
числа циклів до руйнування. На другій
стадії відбувається: ІV – початок
прискореного розвитку видимої тріщини;
V – руйнування зразка.
Утворення
тріщин
найчастіше
спостерігають
у
зернах
металу,
розміщених ближче до поверхні деталі.
Для того, щоб при повторно-змінних
напруженнях з мікротріщин утворилась
макротріщина,
потрібна
достатня
величина напружень і значна кількість
повторень зміни навантажень, що іноді
досягає мільйонів циклів.
Рис. 4

8.

3. Характеристики циклів напружень
8
Циклом напружень називають сукупність послідовних значень змінних
напружень за один період їх зміни. Період Т – це тривалість одного циклу (рис. 5).
Найпростіша форма циклу – гармонічна крива з одним максимальним й одним
мінімальним значенням напруження (рис. 5, а).
Алгебраїчну різницю між максимальним і
мінімальним
напруженнями
в
циклі
називають розмахом напружень:
a
2 a max min .
Половину розмаху напружень називають
амплітудою напружень:
a
1
max min .
2
Алгебраїчну пів суму максимального та
мінімального напружень у циклі називають
середнім напруженням:
cp
1
max min .
2
Відношення
мінімального
напруження
циклу
до
максимального
називають
коефіцієнтом асиметрії циклу:
Рис. 5
min
R
.
max

9.

4. Крива витривалості. Границя витривалості.
Різновиди діаграм втоми металів
Рис. 6
9
Експериментальну
залежність
циклічного напруження від кількості
циклів
навантаження
називають
кривою
втоми
або
кривою
витривалості (рис. 6).
Найбільше напруження, за якого
зразок з матеріалу витримує у повітрі
яку завгодно кількість циклів зміни
напружень,
називають
границею
витривалості. Границю витривалості
позначають σR, де індекс R вказує на
значення коефіцієнта асиметрії циклу.
За симетричного циклу (рис.5,а), коли R = -1, границю витривалості позначають
σ-1, за віднульового асиметричного циклу, коли R = 0, границю витривалості
позначають σ0.
Найнижчі границі витривалості є при симетричних циклах, причому границя
витривалості при згині вища від границі витривалості при розтягу та від границі
витривалості при крученні:
р1 0,7 1, k1 0,55 1.

10.

Границя витривалості.
10
Границя витривалості для сталей наближено зв’язана з границею міцності такими
емпіричними залежностями:
1 0,40 мц , р1 0,28 мц , к1 0,22 мц .
Різновиди діаграм втоми металів
Для більшості кольорових металів та для сталей, загартованих до високої
міцності, не вдається встановити границі витривалості. Для таких матеріалів
уводять поняття умовної границі витривалості. За умовну границю витривалості
приймають найбільше напруження, за якого зразок може витримати задану
кількість циклів навантаження без руйнування (рис. 7).
Крива 1 типова для вуглецевих та мало
легованих сталей і її експериментальна
побудова дає можливість визначати певне
значення границі витривалості σR. Крива 2
характерна для цілого ряду інших металів і
сплавів (зокрема, для кольорових металів та
високоміцних сталей), для яких такого певного
граничного напруження не існує, величина
руйнуючого
напруження
неперервно
зменшується зі збільшенням числа циклів
навантаження,
а
числові
параметри
втомлюваності окреслюють значеннями умовної
границі витривалості σNi.
Рис. 7

11.

5. Вплив конструкційно-технологічних чинників на 11
величину границі витривалості
На величину границі витривалості, крім характеристик циклу, впливають: форма
зразка, розміри та стан поверхні деталі, середовище, у якому виконують
випробування, температура середовища тощо. Для оцінки впливу того чи іншого
чинника на величину границі витривалості, як еталон прийнята границя
витривалості σ-1, що отримана випробуванням у повітрі при симетричному циклі
партії гладких полірованих зразків діаметром 7-10 мм. Найважливішим фактором,
який понижує границю витривалості, є концентрація напружень, викликана різкою
зміною перерізу деталі. У тих місцях валів чи інших деталей, де є досить різкі зміни
форми та розмірів (рис. 8), виникають напруження, що значно перевищують
напруження при аналогічному навантаженні в конструкції з плавною формою. Це
явище називають концентрацією напружень. Концентраторами напружень є
галтелі (рис. 8, а), виточки (рис. 8, б), шпонкові пази (рис. 8, в), отвори (рис. 8, г).
Рис. 8

12.

Вплив чинників на величину границі витривалості
12
Концентрація напружень, як правило, сприяє зародженню втомної тріщини,
яка, розвиваючись, викликає втомне руйнування. У розрахунках на міцність
концентрацію напружень ураховують коефіцієнтами концентрації, які визначають
аналітично або експериментально. Вплив на величину границі витривалості
конструкційно-технологічних чинників враховують за допомогою коефіцієнтів, які
для різних матеріалів і типів деформацій беруть з експериментально отриманих
графіків. Такими коефіцієнтами є:
– ефективний коефіцієнт концентрації напружень
1
1
k
, k
,
1к
1к
k
, k 1 ,
– коефіцієнт, що враховує стан обробки поверхні зразка:
1n
1n
n
, n
, n 1 ,
1
1
– масштабний коефіцієнт, що враховує вплив на границю витривалості
розмірів (діаметра) зразка:
1d
м
,
1
1d
м
1
, м 1 .

13.

Розрахунки на міцність при повторно-змінних напруженнях
13
Найбільш поширеним є перевірковий розрахунок на втомну міцність наявної
деталі (зразка), коли визначають коефіцієнт запасу втомної міцності.
Для деталі, що працює при симетричному циклі, коефіцієнт запасу втомної
міцності.
1 n м
1 n м
s
, s
.
а k
а k
Для деталі, що працює при довільному асиметричному циклі:
s
1
1 а k
ср
мц n м
, s
1
1 а k
ср
мц n м
.
Якщо деталь працює при сумісному згині з крученням, то загальний коефіцієнт
запасу стосовно втомного руйнування визначають за формулою:
s
s s
s s
2
2
.

14.

14