Решение задач С4. Планиметрия

1. Решение задач С4

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный
Решение задач С4
Планиметрия
Учитель математики: Семёнова Елена Юрьевна

2.

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их
линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен
диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.
Решение.
a) Найдем периметр ∆О1О2О3
О1О2 r1 r2 ; О1О3 r1 r3 ; О2О3 r2 r3 ;
P r2 r3 r1 r3 r1 r2 2r1 d
r1
r3
1
O3
O1 r1− r2
O2 r 2
(т.е. диаметру большей окружности)

3.

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их
линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен
диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.
Решение (продолжение).
б) Пусть r1 = 6, r2 = 2. Тогда
О1О2 r1 r2 6 2 4 ;
O1
M
r3
O3
r3
r1
r 2 O2
О2О3 r2 r3 2 r3 ;
О1О3 r1 r3 6 r3 ;
О2М О2О32 О3М2
О2М О1О2 О1М 4 О1О32 О3М 2
4
1
2 r3 2 r32 ;
6 r3 2 r32 ;
2 r3 2 r32 4 6 r3 2 r32 ;
4 4r3 4 36 12r3 r3 3.

4.

На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все
стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.
а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров,
является трапецией.
б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а
один из его углов равен 60°.
Решение.
P
С a) ∆AOQ ~ ∆CON (по двум углам) ⟹
D
AO : CO = OQ : ON
⟹
∆AOM
~
∆COP
(по
двум
углам)
⟹
60°
Q
AO : CO = OM : OP
O
⟹ OQ : ON = OM : OP ⟹
∆QOM ~ ∆NOP (по углу ∠MOQ = ∠PON =
N
= 120° и двум прилежащим сторонам)
В
⟹ ∠OQM = ∠ONP (накрест лежащие)
А
M
⟹PN ∥ QM.
SABCD AB AD sin60 AB PM
1
б) SMNPQ MP QN sin120
2
AD sin60 PM
1
S
AD sin 60 AB sin 60 sin120
MNPQ
SABCD AB AD sin60 AD QN
2
2
3
1
1
AB sin60 QN
6
SMNPQ SABCD sin60 sin120 16
2
2
2
2

5.

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O.
На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что ∠BAC + ∠AKC = 90°.
а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной вокруг четырёхугольника OBKC, если cos∠BAC=
=3/5, а BC = 48.
х
А
3
Решение.
В
a) Пусть ∠АВС = х; ∠ВOС = 2∠АВС = 2х
(как центральный и вписанный углы с
К общей дугой ВС); ∠АКС = ∠ОКС = 90° − х
∆ВOС – р/б; ОВ = ОС (радиусы) ⟹
∠ОВС = ∠ОСВ = (180° – 2х) : 2 = 90° − х
⟹ ∠ОКС = ∠ОВС (вписанные в
окружность с общей дугой ОС)
O
ОВКС – вписанный четырёхугольник.
3
б) cos BAC cos x ;
С
2
5
3
7
cos BOC cos 2x 2 cos2 x 1 2 1 ;
25
5
2
7
2
sin BOC 1 cos 2 x 1 0 ,96.
25
BC
48
По теореме синусов: 2R
50 R 25.
sin BOC 0 ,96

6.

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и
пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.
а) Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный треугольник.
б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в
отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a.
Решение.
В
Q
Р
O
А
D
С
4

7.

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и
пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.
а) Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный треугольник.
б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в
отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a.
Решение (продолжение).
В
Q
Р
O
А
H
С
4

8.

Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В
треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и
стороны AD в точке T .
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT = 3.
E
В
K
А
С
O
T
Р
D
Решение.
a) ∠АDE = ∠СDE = ∠АED (как накрест
лежащие при параллельных прямых
AB и DC и секущей DE)
∆AOT = ∆AOK (по общей гипотенузе и
катетам ОТ = ОК = r) ⟹ AT = AK ⟹
∆ATK – р/б ⟹ ∠ATK = ∠AKT
∆AKT ~ ∆AED (по общему углу А и двум
прилежащим сторонам) ⟹ ∠ATK =
= ∠ADE – соответственные ⟹ KT ∥ DE
б) ∆ADE – р/б; AD = AE = 6, АР – высота и медиана ⟹ DP = EP. Пусть АТ = АК = х,
тогда TD = PD = 6 – x, т. к. ∆AKT ~ ∆AED ⟹ AT : AD = KT : ED, x : 6 = 3 : 2(6 – x) ⟹
x = 3.
Значит, ∆AKT и ∆AED – равносторонние, ∠BAD = 60°.
Ответ: 60.
5

9.

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D,
причём AD = R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь
треугольника BEF , если известно, что R = 5 и CD = 15.
Решение.
a) т.к. AD = R и OD⊥AD (как радиус окр.,
проведенный в точку касания) ⟹ ADOE
– квадрат ⟹ ∠САВ = 90° ⟹ ∆AВС – п/у
С
б) АС = AD + CD = 20; CD = CF = 15 (по
свойству вписанной окружности в ∆ABС)
Пусть ВЕ = BF = х, тогда по т. Пифагора
(5 + х)2 + 202 = (15 + х)2 ⟹ х = 10.
В п/у АВС sin∠B = АС : ВС = 20/25 = 0,8
S∆BEF = ½ BE ∙ BF sin∠B = ½ ∙ 102 ∙ 0,8 = 40.
F
D
O
R
А
Е
В
Ответ: 40.
6

10.

Радиусы окружностей с центрами O1 и O2 равны соответственно 2 и 9. Найдите радиус
третьей окружности, которая касается двух данных и прямой O1O2, если O1O2 = 21.
Решение. (1 случай)
АО3 ⊥ О1О2 (как радиус окружности, проведенный в
точку касания) ⟹ ∆АО1О3 и ∆АО3О2 – п/у.
Пусть AO3 = R и АО1 = х, тогда АО2 = 21 – х. Применив
т. Пифагора, составим систему уравнений:
O2
21 – х
А
х
2
R
9
R
O1
R
О3
Ответ: 8.
АО22 АО32 О2О32 ,
АО12 АО32 О1О32 ;
х 2 R2 2 R 2 ,
21 x 2 R2 R 9 2 ;
x 2 4 4R ,
R 26 3x ;
x 6 ,
R 8.
7

11.

Радиусы окружностей с центрами O1 и O2 равны соответственно 2 и 9. Найдите радиус
третьей окружности, которая касается двух данных и прямой O1O2, если O1O2 = 21.
Решение. (2 случай)
АО3 ⊥ О1О2 (как радиус окружности, проведенный в точку
касания) ⟹ ∆АО1О3 и ∆АО3О2 – п/у.
Пусть AO3 = R и АО1 = х, тогда АО2 = 21 + х. Применив т.
Пифагора, составим систему уравнений:
21
O2
O1
х
А
2
9
7
R
R
R
О3
АО22 АО32 О2О32 ,
АО12 АО32 О1О32 ;
х 2 R2 2 R 2 ,
21 x 2 R2 R 9 2 ;
x 2 4 4R ,
R 26 3x ;
x 18 ,
R 80.
Ответ: 80.

12.

Угол C треугольника ABC равен 30°, D – отличная от A точка пересечения окружностей,
построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD : DC = 1 : 6.
Найдите синус угла A.
Решение. (1 случай)
Т.к. точки A, С и D лежат на окружности с
центром О2 и АС – диаметр, то ∆ADC – п/у;
аналогично, ∆ADВ – п/у ⟹ D лежит на ВС.
А
O2
Пусть BD = x, в п/у ∆ADC
выразим АС = 2AD через х:
AD 2 6 x 2 2 AD 2
O1
AD2 12х2 AD 2 3x
В п/у ∆AВD по т. Пифагора:
30°
С
4
cos A
6х
D
х
3 x 13 x 2 7 x 2
3
;
2 4 3 x 13 x
2 39
2
В
AВ2 12 х 2 х 2 13 х 2
По т. косинусов в ∆АВС:
AC 2 AB2 BC 2
cos A
2 AC AB
2
7
3
sin A 1
2 13
2 39
8

13.

Угол C треугольника ABC равен 30°, D – отличная от A точка пересечения окружностей,
построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD : DC = 1 : 6.
Найдите синус угла A.
Решение. (2 случай)
Т.к. точки A, С и D лежат на окружности с
центром О2 и АС – диаметр, то ∆ADC – п/у;
аналогично, ∆ADВ – п/у ⟹ D лежит на ВС.
А
O2
С
30°
5х
4
cos A
В
O1
х
D
3 x 13 x 2 5 x 2
9
;
2 4 3 x 13 x
2 39
2
В п/у ∆ADC выразим АС = 2AD через х:
AD 2 6 x 2 2 AD 2
AD2 12х2 AD 2 3x
В п/у ∆AВD по т. Пифагора:
AВ2 12 х 2 х 2 13 х 2
По т. косинусов в ∆АВС:
AC 2 AB2 BC 2
cos A
2 AC AB
2
5
9
sin A 1
2 13
2 39
8

14.

В окружности проведены хорды PQ и CD, причем PQ = PD = CD = 12, CQ = 4.
Найдите CP .
Q
Решение. (1 случай)
в ∆PQC по т. косинусов:
С
PC 2 PQ2 QC2 2 PQ QC cos PQC
PC 2 122 42 2 12 4 cos PQC
в ∆PDC по т. косинусов:
PC 2 PD 2 DC 2 2 PD DC cos PDC
O
P
9
PC 2 122 122 2 12 2 cos 180 PQC
D
(по свойству четырехугольника, вписанного в
окружность).
Приравнивая эти выражения, получим
уравнение относительно cos∠PQC:
122 42 2 12 4 cos PQC 122 122 2 12 12 cos PQC
1
cos PQC . Подставив обратно в любое из выражений, найдем PC:
3
1
PC 2 122 42 2 12 4 144 16 32 192 ; РС 8 3 .
3

15.

В окружности проведены хорды PQ и CD, причем PQ = PD = CD = 12, CQ = 4.
Найдите CP .
Q
Решение. (2 случай)
в ∆PQC по т. косинусов:
С
PC 2 PQ2 QC2 2 PQ QC cos PQC
PC 2 122 42 2 12 4 cos PQC
в ∆PDC по т. косинусов:
O
D
PC 2 PD 2 DC 2 2 PD DC cos PDC
P
PC 2 122 122 2 12 2 cos PQC
(по свойству вписанных углов в окружность).
Приравнивая эти выражения, получим
уравнение относительно cos∠PQC
122 42 2 12 4 cos PQC 122 122 2 12 12 cos PQC
9
2
cos PQC . Подставив обратно в любое из выражений, найдем PC:
3
2
PC 2 122 42 2 12 4 144 16 64 96 ; РС 4 6 .
3

16.

Окружности радиусов 1 и 4 с центрами O1 и O2 соответственно касаются
внешним образом в точке C. AO1 и BO2 – параллельные радиусы этих
окружностей, причём ∠AO1O2 = 60°. Найдите AB.
O1 1 С
4
Решение. (1 случай)
Т.к. ∠АО1C = 60° и АО1 ∥ ВО2, то по
∠ВО2C = 120° (как внутренние
односторонние при параллельных
прямых и секущей О1О2)
В р/с ∆АО1С АС = 1;
в р/б ∆ВО2С найдем по т. косинусов:
O2
ВC 2 42 42 2 4 4 cos120 48
ВC 4 3
∠АCВ = 180° - 60° - 30° = 90° ⟹
в п/у ∆АВC по т. Пифагора:
1
А
4
В
10
2
АВ2 12 4 3 49
АВ 7.
Ответ: 7.

17.

Окружности радиусов 1 и 4 с центрами O1 и O2 соответственно касаются
внешним образом в точке C. AO1 и BO2 – параллельные радиусы этих
окружностей, причём ∠AO1O2 = 60°. Найдите AB.
В
4
O1
1
С
1
А
10
4
O2
Решение. (2 случай)
Т.к. ∠АО1C = 60° и АО1 ∥ ВО2, то по
∠ВО2C = 60° (как накрест лежащие
при параллельных прямых и
секущей О1О2)
∠ВCО2 = ∠АCО1 = 60° (как
вертикальные) ⟹ ∆ВО2С – р/с ⟹
ВС = 4; в р/с ∆АО1С АС = 1;
АВ = ВС + АС = 1 + 4 = 5
Ответ: 5.

18.

Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A.
Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке
B, а большую – в точке C . Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1= 15°.
Решение. (1 случай)
Т.к. ∠АВО1 = 15° и ∆АО1В – р/б,
то ∠ВАО1 = 15° = ∠CАО2 (как
вертикальные) ⟹ ∠АСО2 = 15°
∠ВО1А = ∠CО2А = 180° − 2 ∙ 15°= 150°
1
SΔ AO2C AO2 CO2 sin AO2C
2
1
1 25
SΔ AO2C 52
2
2 4
1
SΔВАO2 AO2 АВ sin ВAO2
2
1
1 15
SΔВAO2 5 3
2
2 4
С
5
O2
А
3
11
O1
SΔВСO2 SΔВАO2 SΔ АO2С
3
В
SΔВСO2
25 15
10
4
4

19.

Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A.
Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке
B, а большую – в точке C . Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1= 15°.
11
С
5
В
O2
3 2
O1
3
А
Решение. (2 случай)
Т.к. ∠АВО1 = 15° и ∆АО1В – р/б,
то ∠ВАО1 = ∠АCО2 = 15° (как углы р/б
∆АО2С ) ⟹
∠ВО1А = ∠CО2А = 180° − 2 ∙ 15°= 150°
1
SΔ AO2C AO2 CO2 sin AO2C
2
1
1 25
SΔ AO2C 52
2
2 4
1
SΔ АВO1 AO1 ВO1 sin AO2В
2
1 2 1 9
SΔ АВO1 3
2
2 4
1
SΔВO1О2 O1О2 ВO1 sin ВО1O2
2
1
3
SΔВO1О2 5 3 3 sin 180 150
2
2
SΔВСO2 SΔ АO2С SΔ АВO1 SΔВО1O2
⟹
SΔВСO2
25 9 3 5
4 4 2 2

20.

Окружность радиуса 6 вписана в угол, равный 60°. Вторая окружность также
вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что
расстояние между центрами окружностей равно 4. Найдите MN .
O1
4
М
12
O2
С
6
A
N
B
Решение. (1 случай)
О1А ⊥ АС и О2В ⊥ АС (как радиусы
окружностей, проведенных в точку
касания) ⟹ ∆АСО1 и ∆ВСО2 – п/у с углом
∠С = 30° ⟹ СО1 = 12, СО2 = СО1 – О1О2 = 8.
Значит, ВО2 = 4 = О1О2 ⟹ О1 лежит на
второй окружности.
∆NO1О2 – р/б, т.к. NO2 = O1О2 = 4 (радиусы)
NO1 = 6, тогда по формуле Герона:
6 4 4
p
7
2
SΔNO1O2 7 7 6 7 4 2 3 7
1
1
SΔNO1O2 О1О2 h 4 h 3 7
2
2
1
3 7
h MN
MN 3 7 .
2
2

21.

Окружность радиуса 6 вписана в угол, равный 60°. Вторая окружность также
вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что
расстояние между центрами окружностей равно 4. Найдите MN .
O2
М
O1
4
A
N
6
B
12
Решение. (2 случай)
О2А ⊥ АС и О1В ⊥ АС (как радиусы
окружностей, проведенных в точку
касания) ⟹ ∆АСО2 и ∆ВСО1 – п/у с углом
∠С = 30° ⟹ СО1 = 12, СО2 = СО1 + О1О2 = 16.
АO2 = NО2 = 8 (радиусы) NO1 = 6, тогда по
формуле Герона:
6 4 8
p
9
2
SΔNO1O2 9 9 6 9 4 9 8 3 15
1
1
SΔNO1O2 О1О2 h 4 h 3 15
2
2
1
3 15
h MN
MN 3 15 .
2
2
С
Ответ: 3 7 ; 3 15.

22.

Окружность радиуса 6 2 вписана в прямой угол. Вторая окружность также
вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что
расстояние между центрами окружностей равно 8. Найдите MN .
Решить самостоятельно (АНАЛОГИЧНО ПРЕДЫДУЩЕЙ ЗАДАЧЕ).
13
Ответ: 4 2 ; 4 14.

23.

Две стороны треугольника равны 8 и 10, косинус угла между ними равен 2/5. В
треугольник вписан ромб, имеющий с треугольником общий угол (вершина
ромба, противоположная вершине этого угла, лежит на третьей стороне
треугольника). Найдите сторону ромба.
B
К
Решение. (1 случай)
Пусть АВ = 8, АС = 10, примем АМ = АР = х,
тогда ВМ = 8 – х; СР = 10 – х;
∆AВС ~ ∆МВК (по двум углам) ⟹
МК : АС = ВМ : АВ
х : 10 = (8 – х) : 8 ⟹ х = 40/9.
М
х
С
10 – х
14
Р
х
A
Ответ: 40/9.

24.

Две стороны треугольника равны 8 и 10, косинус угла между ними равен 2/5. В
треугольник вписан ромб, имеющий с треугольником общий угол (вершина
ромба, противоположная вершине этого угла, лежит на третьей стороне
треугольника). Найдите сторону ромба.
B
х
К
Решение. (2 случай)
Пусть АВ = 8, АС = 10, примем АМ = АР = х,
тогда ВМ = 8 – х; СР = 10 – х;
cos∠BAC = 2/5, по т. косинусов
М
ВC 2 АВ2 АС 2 2 АВ АС cos ВАС
2
ВC 2 82 102 2 8 10 100
5
ВC 10
х
С
10 – х
14
Р
A
∆AВС ~ ∆МВК (по двум углам) ⟹
МК : АС = ВК : ВС
х : 10 = (10 – х) : 10 ⟹ х = 5.
Ответ: 5.

25.

Расстояния от точки M, расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 4
и 3. Через точку M проведена прямая, отсекающая от угла треугольник, площадь
которого равна 32. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри угла.
B
х
К
С
15
Решение.
Пусть ВК = х, АР = у, тогда АС = 4 + у; СВ = 3 + х.
∆ВКМ ~ ∆МРА (по двум углам) ⟹ ВК : МР = КМ : РА,
х : 3 = 4 : у ⟹ ху = 12.
1
Зная, что SΔABC AC BC 32
2
1
SΔABC 4 у 3 х 32,
М
2
Получим систему:
4
1
3
4 у 3 х 32,
2
ху 12;
По т. Пифагора в п/у ∆АВС:
у
A х 1,
Р
1
АВ2 3 1 2 4 12 2
у 12;
АВ 4 17 ,
1
2
⟹
4
2
х1 9,
2
АВ
3
9
4
АВ 4 97 .
3
у
4
3
;
1
3

26.

Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 66, касается
средней линии, параллельной стороне BC. Известно, что BC = 11. Найдите сторону AB.
Решение.
Пусть АВ = х, АС = у, тогда Р∆АВС = АВ + АС + ВС = х + у + 11;
MN = 5,5 (как средняя линия ∆АВС).
MNCB – трапеция, в которую вписана окружность ⟹
MN + BC = MB + CN = ½ (x + y) = 5,5 + 11 = 16,5 ⟹ х + у = 33;
A
P ∆АВС = 33 + 11 = 44.
По формуле Герона:
М
SΔABC 22 22 х 22 у 22 11 ,
N
O
С
B
Ответ: 13 или 20.
Получим систему:
х у 33,
22 22 х 22 у 11 66;
х у 33,
ху 260 ;
х 13,
х 20,
или
у 20;
у 13.
16

27.

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся
одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы
двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17.
Найдите расстояние между их центрами.
B
O1 7
7
A
С
17
17
Решение. (1 случай)
Пусть обе окружности касаются катетов
и продолжений двух других сторон,
тогда О1О2 = О1С + СО2 (где О1С и СО2 –
диагонали квадратов, построенных на
радиусах окружностей в соответствии
со свойством радиуса окружности,
проведенного в точку касания)
О1О2 7 2 17 2 24 2.
O2
Ответ: 24 2.
17

28.

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся
одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы
двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17.
Найдите расстояние между их центрами.
М 7
К
O2
17
B
17
O1
7
Н
17
С
A
Р
Ответ: 26.
Решение. (2 случай)
Пусть одна из окружностей
касается гипотенузы, а другая
одного из катетов и продолжений
двух других сторон, тогда в п/у
∆МО1О2 по т. Пифагора
О1О22 О1М 2 О2М 2 ,
(где О2М = О2К + КМ = 17 + 7 = 24 –
сумма радиусов;
О1М = МН – О1Н = 17 – 7 = 10 –
разность радиусов)
О1О22 242 102 676 ,
О1О2 26.

29.

Дан прямоугольник KLMN со сторонами: KN = 11, MN = 8. Прямая, проходящая
через вершину M , касается окружности с центром K радиуса 4 и пересекается с
прямой KN в точке Q. Найдите QK.
Решение. (1 случай)
∆MNQ ~ ∆КHQ (по двум углам) ⟹ МN : KH = NQ : HQ.
Пусть KQ = x, тогда QN = 11 – x, в п/у ∆KHQ
HQ2 KQ 2 KH 2 x 2 42 ; HQ x 2 16
H
8 : 4 11 x : x 2 16 x 5.
4
К
x
Q
11 – x
N
8
18
Ответ: 5.
L
11
М

30.

Дан прямоугольник KLMN со сторонами: KN = 11, MN = 8. Прямая, проходящая
через вершину M, касается окружности с центром K радиуса 4 и пересекается с
прямой KN в точке Q. Найдите QK.
Решение. (2 случай)
∆MNQ ~ ∆КHQ (по двум углам) ⟹ МN : KH = NQ : HQ. Пусть KQ = x, тогда
2
2
2
2
2
2
QN = 11 + x, в п/у ∆KHQ HQ KQ KH x 4 ; HQ x 16
8 : 4 11 x : x 2 16
37
x .
3
Q
К
x
N
4
8
H
18
Ответ:
37
.
3
L
11
М

31.

Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 10 и 26 соответственно. Отрезок,
соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24.
Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной
в треугольник ALM .
А
x
y
Решение. (1 случай)
BC = 24, EF = 12, значит СЕ = BF = (24 – 12) : 2 = 6 (как средние
линии ∆KLM и ∆NLM) ⟹ LM = 12;
KN = 2(CE + EF) = 2(6 + 12) = 36 (CF – средняя линия ∆KLN)
∆AKN ~ ∆ALM (по двум углам) ⟹ AL : AK = LM : KN = AM : AN.
М
L
C
К
19
Е
F
В
N
Пусть AL = x, AM = y, тогда AK = 10 + x,
AN = 26 + y.
x : (10 + x) = 12 : 36 ⟹ x = 5;
y : (26 + y) = 12 : 36 ⟹ y = 13.
Значит, ∆AKN ~ ∆ALM – п/у.
1
1
SΔ ALM AL LM 5 12 30
2
2
SΔ ALM
30
r
2.
1
p
5 12 13
2
Ответ: 2.

32.

Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 10 и 26 соответственно. Отрезок,
соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24.
Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной
в треугольник ALM .
А
x
y
Решение. (2 случай)
BC = 24, EF = 12, значит СЕ = BF = (24 – 12) : 2 = 6 (как средние
линии ∆KLM и ∆NLM) ⟹ LM = 12;
KN = 2(CE + EF) = 2(6 + 12) = 36 (CF – средняя линия ∆KLN)
∆AKN ~ ∆ALM (по двум углам) ⟹ AL : AK = LM : KN = AM : AN.
K
N
C
F
Е
L
19
В
M
Ответ: 6.
Пусть AL = x, AM = y, тогда AK = 10 + x,
AN = 26 + y.
x : (10 + x) = 12 : 36 ⟹ x = 5;
y : (26 + y) = 12 : 36 ⟹ y = 13.
Значит, ∆AKN ~ ∆ALM – п/у.
AL = AK + KL = 5 + 10 = 15.
1
1
SΔ ALM AL LM 15 36 270
2
2
SΔ ALM
270
r
6.
1
p
15 39 36
2

33.

Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной 4 и углом 120°. Внутри него
расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается
двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
20
А
30°
В
C
H
Решение. (1 случай)
Проведя высоту на основание, получим два равных п/у ∆АВН и ∆АСН, в каждый
из которых вписана окружность ⟹ АН = 2 (против угла в 30°); ВН = 2 3 .
1
АН ВН
SΔ AВВ
2 2 3
2 3
2 3 3 3
2
r
3 1.
1
p
АН АВ ВН 2 4 2 3 3 3 3 3 3 3
2

34.

Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной 4 и углом 120°. Внутри него
расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается
двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Р
r
r
20
А
r
O1
r O2
M
В
К
H
C
Решение. (2 случай)
Проведём МО1 через центры окружностей, МО1 ∥ АВ, т.к. удалены друг от
друга на r. Рассмотрим п/у ∆МО2К ~ ∆МО1Н ~ ∆ВАН (по двум углам).
Пусть r – радиус вписанных окружностей, тогда О2К = r, О2М = 2r ⟹ MO1 = 4r,
2r 2r 1 3
2r
O1H = 2r. В п/у ∆АРО1 РО1 = r, АО1 =
AH
=
AO
+
O
H
=
2
r
;
;
1
1
3
3
3
2r 1 3
3 3
2
r
.
2
3

35.

В треугольнике ABC известны стороны: AB = 5, BC = 6, AC = 7. Окружность,
проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в
точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности,
вписанной в треугольник ABC . Найдите длину отрезка KL.
21
В
Решение. (1 случай)
ВАС + KLC = 180° (по свойству
трапеции, вписанной в окружность),
L
K
KLC = 180° − ВАС ⟹
BLK = 180° − KLС = ВАС.
Аналогично, ВKL = ВСА ⟹
∆ВАС ~ ∆ВLK ⟹
BK : BC = BL : BA = KL : AC
BK : 6 = BL : 5 = KL : 7
А
C KL + AC = AK + LC (по свойству трапеции,
описанной около окружности). Пусть BK = x, BL = y, тогда АК = 5 – х, BL = 6 – y.
х 1,2у ,
x y KL
4
10
14
,
KL
4
x
y
,
х
;
у
;
KL
.
6
5
7
3
9
9
KL
7
5
x
6
y
;
KL 1,4y ;

36.

Точка O – центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 14 3 .
Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около
треугольников AOB, COD и EOF.
D
E
P
N
F
C
O
А
22
В
M
Решение. (1 случай)
∆AOB = ∆COD = ∆EOF (по свойству
правильного шестиугольника) ⟹
окружности, описанные около этих ∆-ов
имеют один и тот же радиус
AB 14 3
r
14;
3
3
и общую точку пересечения – О.
Окружность с центром O,
касается внутренним образом
окружностей в точках M, N, P,
описанных около треугольников ∆AOB,
∆COD и ∆EOF, и имеет радиус, равный
диаметрам этих окружностей
R = 2r = 28.

37.

Точка O – центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 14 3 .
Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около
треугольников AOB, COD и EOF.
D
E
O4
К
O3
O
F
C
O2
А
22
О1
M
В
Решение. (2 случай)
∆AOB = ∆COD = ∆EOF = ∆O2О3О4
Окружность с центром O1,
касается внутренним образом одной
окружности в точке M и внешним образом
двух других окружностей, описанных
около треугольников ∆COD и ∆EOF.
Пусть радиус этой окружности – r1.
О1О3 r r1 14 r1 ; О1О2 r r1 14 r1 ;
14 3 3
О2К
21;
2
О3О4 АВ 14 3 ;
О1К О2К О1О2 21 14 r1 35 r1 ;
По т. Пифагора в п/у ∆КO1О3
О1О32 О1К 2 КО32 ;
14 r1
2
r1 12.
35 r1 7 3 ;
2
2

38.

Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает
окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная
около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A. Найдите радиус
окружности, описанной около треугольника ABC, если AC = 8, AF = 3, угол BAC равен 45°.
23

39.

В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.
а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что
KN = 8 2 и KMN = 45°.
M
45
A
P
K
8 2
O
B
N
Решение.
а) ∆ANK и ∆BKN – п/у, опирающиеся на
диаметр KN окружности с центром O
(по свойству вписанных в окружность углов),
тогда ABK = ANK как вписанные в эту же
окружность и опирающиеся на дугу АК.
б) ∆ANМ и ∆BKМ – п/у и р/б, т.к. М = 45°,
а AN и BK – высоты.
∆APK и ∆BPN – п/у и р/б
Обозначим АP = АK = х, ВP = ВN = у, тогда
КP = х 2 , PN = у 2 ;
∆APB ~ ∆KPN (по углам) ⟹ АР : КР = ВР : РN =
= AB : KN= 1 / 2 ⟹ АВ = KN : 2 = 8.
в ∆ABM по т. синусов
R AB : 2sin45 8 : 2 4 2.
Ответ: 4 2.
24

40.

Окружность ω1 касается стороны AC и продолжений сторон AB и BC треугольника ABC за точки A
и C соответственно; M − точка её касания с прямой BC. Окружность ω2 касается стороны AB и
продолжений сторон AC и BC за точки A и B соответственно; N − точка её касания с прямой BC.
a) Докажите, что BM = CN
б) Найдите расстояние между центрами окружностей ω1 и ω2, если AC = 17 , AB = 19 , BC = 6.
N
Решение.
а) по свойству касательных к
окружности: BN = BP; CN = CQ;
CK = CM; и т.д.
CN = CB + BN = CB + BP,
CQ = CA + AQ = CA + AP, ⟹
P∆ABC = CB + BP + CA + AP = CN + CQ;
Т.к. CN = CQ = P ∆ABC /2.
⟹
Аналогично, BМ = Р ∆ABC /2;
ВМ = CN.
O2
В
A
Q
Р
К
S
25
С
М
O1

41.

Окружность ω1 касается стороны AC и продолжений сторон AB и BC треугольника ABC за точки A
и C соответственно; M − точка её касания с прямой BC. Окружность ω2 касается стороны AB и
продолжений сторон AC и BC за точки A и B соответственно; N − точка её касания с прямой BC.
a) Докажите, что BM = CN
б) Найдите расстояние между центрами окружностей ω1 и ω2, если AC = 17 , AB = 19 , BC = 6.
r1
O1
М
С
К
r1
S
А
L
25
P
В
N
r2
r2
O2
Решение.
2
2
2
2
2
б) BC = AC + AB = 17 19 62
Значит, ∆ABC – п/у, А = 90°.
CL = CA + AL = 17 + y; BS = BA + AS = 19 + x
Радиус вневписанной окружности:
1
17 19
SΔABC
2
r2
p - AB 1 6 17 19 - 19
2
17 19
;
6 17 19
S
17 19
r1 ΔABC
;
p - AС 6 19 17
O1O2 O1 A AO2 r1 r2 2
Ответ: 6 2.
17 19
17 19
2 6 2.
6 19 17 6 17 19

42.

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая
стороны АВ и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке Р. В каком отношении делит сторону ВС
прямая, проходящая через точку Р и центр окружности, если АМ : МВ = 1 : 2?
С
D
K
N
А
26
Q
S
M
В
Решение.
а) по свойству касательных к
окружности: KN = NQ; QM = MS;
P∆AMN = AM + MQ + QN + NA =
= AM + MS + KN + AN = AS + AK =
½ AB + ½ AD = AB, где S и К – точки
касания окружности с квадратом
или середины сторон квадрата.

43.

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая
стороны АВ и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке Р. В каком отношении делит сторону ВС
прямая, проходящая через точку Р и центр окружности, если АМ : МВ = 1 : 2?
Р
D
E
1,5x
О
N
Q
А xM
26
2x
Решение.
С б) Пусть сторона квадрата = 3х, AN = y.
Тогда AM = x, и MN = P∆AMN – x – y =
= 3x – x – y = 2x – y.
Радиус вневписанной окружности OE:
1
x y
SΔAMN
0,5xy
2
1
,
5x
;
L
1
p - MN
3x - 2x - y y - 0,5x
2
Откуда y = 0,75x, DN = 3x – 0,75x = 2,25x.
В ∆AMN ~ ∆DPN (по углам) ⟹
АM : DР = AN : DN; x : DP = 0,75x : 2,25x,
DP = 3x, EP = 4,5x, CP = 6x.
∆OEP ~ ∆LCP (по углам) ⟹
OE : CL = EP : CP; 1,5x : CL = 4,5x : 6x,
CL = 2x, LB = 3x – 2x = x ⟹ CL : BL = 2 : 1.

44.

На гипотенузе KL равнобедренного прямоугольного треугольника KLM вне
треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая МР пересекает гипотенузу KL в точке N.
а) Докажите, что КN : NL = 2 : 1.
б) Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно МР, пересекает отрезок KQ в
точке R. Найдите KR, если KQ = 1.
Q
K
Р
Решение.
а) Продолжим прямые КМ и РL до
пересечения в точке Е. Рассмотрим ∆КРЕ, в
котором KL, РМ – медианы, по свойству
которых KN : NL = PN : NM = 2 : 1.
N
M
L
E
27

45.

На гипотенузе KL равнобедренного прямоугольного треугольника KLM вне
треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая МР пересекает гипотенузу KL в точке N.
а) Докажите, что КN : NL = 2 : 1.
б) Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно МР, пересекает отрезок KQ в
точке R. Найдите KR, если KQ = 1.
Q
R
K
Р
1
N
M
27
Решение.
б) Рассмотрим ∆NКR, ∆PLN – п/у.
KRN = LNP
∆NKR ~ ∆PLN (по углам) ⟹
PL : KN = LN : KR;
1
1
2
3 2;
KR
3 2
S L
Ответ:
1
.
9
KR
1
2
1
.
3 2 3 2 9

46.

Высоты треугольника ABC пересекаются в
точке H. А медианы – в точке M. Точка K –
середина отрезка MH. Найдите площадь
треугольника AKC, если известно что
АВ 18 2 , СН 12 2 , угол BAC = 45°.
В
P
Н
18 2
К
М
А
E J LF
Решение.
∆ABF – п/у, р/б ⟹ FAB = FBA = 45°,
Т.к. АВ 18 2 , то AF = FB = 18.
∆APC – п/у, р/б ⟹ PAC = PCA = 45°,
∆HFC – п/у, р/б ⟹ CHF = HCF = 45°,
Т.к. СН 12 2 , то CF = HF = 12, AC = 30
HF AC 12 30
SΔ AHC
180.
2
2
ВН = BF – FH = 18 – 12 = 6
BE – медиана ⟹ ВМ : МЕ = 2 : 1.
MJ – высота ∆АМС, MJ = 1/3 BF = 6
MJ AC 6 30
SΔ AMC
90.
2
2
KL – высота ∆АКС, KL = 1/2 (MJ + HF) = 9.
KL AC 9 30
SΔ AKC
135.
2
2
Ответ: 135.
С
28

47.

Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает
окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная
около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F , отличной от A. Найдите
радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если AC = 8, AF = 3, угол BAC
равен 45°.
Решение.
В
x
E
D
45°
А
3
29
F
8
С
Ответ:
11
.
2

48.

Точка М пересечения медиан треугольника ABC, вершина A и середины сторон AB и AC
лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольники AKB и BKM подобны, где K-середина стороны BC.
б) Найдите длину AK, если BC=6√3.
С
3 3
N
К
3 3
В
Решение.
а) PN – средняя линия ∆ABС ⟹ PN ∥ BC
PAM = PNM (как вписанные в
окружность углы, опирающиеся на одну
дугу). PNB = CBN (как накрест
лежащие при параллельных прямых)
MBK = BAK, ∆AKB ~ ∆BKM (по двум
углам, т.к. К у них общий).
М
P
А
30

49.

Точка М пересечения медиан треугольника ABC, вершина A и середины сторон AB и AC
лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольники AKB и BKM подобны, где K-середина стороны BC.
б) Найдите длину AK, если BC = 6√3.
С
3 3
В
3 3 3MK .
2
2
МК = 3, АК = 9.
N
К
3 3
Решение.
∆AKB ~ ∆BKM ⟹ КВ : АК = МК : КВ,
КВ2 = МК ∙ АК, т.к М – точка пересечения
медиан, то АМ = 2КМ, АК = 3КМ,
КВ2 = МК ∙ 3МК = 3МК2
М
P
А
Ответ: 9.
30

50.

Продолжение следует!