Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Трапеция

1.

Параллелограмм

2.

Параллелограммом называется
четырехугольник, у которого
противоположные стороны попарно
параллельны.
В
С
АВСД – параллелограмм
АВ || ДС; ВС || АД
А
Д

3.

Свойства параллелограмма
1. Теорема: В параллелограмме
противоположные стороны и углы равны.
А
В
Дано: АВСД – параллелограмм
Доказать:
Д
С
АВ = СД; АД = ВС
А = С; В = Д

4.

Доказательство:
А
В
Проведем диагональ ВД .
Она разобьет наш
4
параллелограмм на
два
треугольника.
3
Эти треугольники равны
2
С по стороне и двум
Д
прилежащим к ней углам.
1= 2(накрест лежащие) 3= 4,ВД общая
Из равенства треугольников
следует равенство их элементов. АВ=СД
АД=ВС, А= С и В= Д
1

5.

2. Теорема: Диагонали параллелограмма
точкой пересечения делятся пополам.
А
В
Дано: АВСД – параллелограмм АС
и ВД пересекаются в т. О
Доказать: АО=ОС,ВО=ОД
Д
С

6.

Доказательство:
А
3
Д
1
2
В
4
АОВ= ДОС по стороне и
двум прилежащим к ней
углам
1= 2(накрест лежащие)
3= 4, АВ=ДС (свойство
С параллелограмма)
Из равенства треугольников
следует равенство его
элементов
Значит ОА=ОС , ОВ=ОД

7.

8.

Признаки параллелограмма
А
1. Теорема: Если в четырехугольнике две
стороны равны и параллельны, то этот
четырехугольник параллелограмм.
В
Дано: АВСД – четырехугольник
АВ||ДС,АВ=ДС
Доказать: АВСД параллелограмм
Д
С

9.

Доказательство:
А
В
Проведем диагональ ВД .
Она разобьет наш
4
параллелограмм на
два
треугольника.
3
Эти треугольники равны
2
С по двум сторонам и углу
Д
между ними.
1= 2(накрест лежащие)АВ||ДС и АВ=ДС,ВД общая
Из равенства треугольников
следует равенство их элементов. 4= 3,а они
накрест лежащие , значит АД||ВС. АВСД
параллелограмм по определению
1

10.

2. Теорема: Если в четырехугольнике
противоположные стороны попарно равны,
то этот четырехугольник параллелограмм.
А
В
Дано: АВСД – четырехугольник
АВ=ДС,АД=ВС
Доказать:
Д
С
АВСД параллелограмм

11.

Доказательство:
А
Проведем диагональ ВД .
1
Она разобьет наш
параллелограмм на
4
два треугольника.
3
Эти треугольники равны
2
по трем сторонам. Из
С
Д
равенства треугольников
следует равенство их
элементов
1= 2(накрест лежащие) АВ||ДС, 3= 4 и
АД||ВС , значит АВСД параллелограмм по
определению
В

12.

3. Теорема: Если в четырехугольнике диагонали
пересекаются и точкой пересечения делятся
пополам, то этот четырехугольник
параллелограмм.
А
В
Дано: АВСД – четырехугольник
АС и ВД диагонали. АО=ОС ,
ВО=ОД
Доказать: АВСД - параллелограмм
Д
С

13.

Доказательство:
А
В
1
3
4
2
Д
АОВ= ДОС по двум
сторонам и углу между ними
АО=ОС,ВО=ОД
1= 2(вертикальные)
Из равенства треугольников
С следует равенство его
элементов
Значит АВ=ДС, аналогично
АД=ВС.
АВСД параллелограмм
согласно признаку

14.

Трапеция

15.

Трапецией называется
четырехугольник, у которого две
стороны параллельны, а две другие
не параллельны.
В
С
Параллельные стороны
АД || ВС называются
основаниями.
А
Д АВ, СД – боковые стороны.

16.

Если у трапеции боковые стороны
равны, то она называется
равнобедренной.
В
С
У нее углы при основании
равны.
У нее диагонали равны.
А
Д

17.

Если у трапеции один из углов прямой,
то она называется прямоугольной.
В
А
С
Д