Методы решения показательных уравнений

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Урок
обобщения
и
систематизации
знаний

2.

Первый метод решения – уравнивание оснований степеней
Суть данного метода заключается в том, что
используя свойства степеней,
мы приводим уравнение к виду
a f ( x) a g ( x)
При положительном отличном от единицы
a
это уравнение равносильно уравнению
f ( x) g ( x)
При решении используем определения и свойства степеней
a 1; a
0
n
a a a
m
n
m
n
1
m
n
n ;a a
a
m n
m
a
m n
m n
m n
; n a ; (a ) a
a

3. Решить уравнение

2
2 x 1
8
Решение
4
x 1
2 2 x 1 2 2 x 2
6
2
23 x 3
2( 2 x 1) ( 2 x 2) (3 x 3) 26 ;
x 4
2 2 ;
x 4 6;
x 2
6
x 1
64

4.

Второй метод решения – вынесение
общего множителя за скобки
Суть метода заключается в том, что используя
свойства степеней, выносим за скобки степень
с наименьшим показателем
При решении используем свойство степеней
n
a
n m
a
m
a

5. Решить уравнение

Решение
3
x 3
3
x 1
3
x 1
3
x 2
(3 3 3 1) 258;
4
2
3x 3 (81 9 3 1) 258
3
x 3
3
x 3
3
86 258
3
x 3 1;
x 4
x 3
258

6.

Третий метод-вынесение за скобки общего
множителя в уравнениях, содержащих
степени с разными основаниями
Суть метода заключается в следующем:
1.Переносим слагаемые с разными основаниями
в разные стороны уравнения
2.В левой и правой части уравнения выносим
за скобку степени с наименьшими показателями
3.Делим обе части уравнения на подходящие множители,
f ( x)
чтобы получить уравнение вида a
a g ( x)

7. Решить уравнение

Решение:
2
3 x 10
3 x 9
3
3 x 7
3
2
23 x 10 23 x 9 33 x 9 33 x 7
23 x 9 (2 1) 33 x 7 (32 1)
23x 9 3 33 x 7 8
23 x 9 3
1
3
3 x 7
2 3
23 x 6
1
3 x 6
3
2
( )3 x 6 1
3
3x 6 0
x 2
3 x 9
0

8.

Четвертый метод – введение новой переменной
Данный метод применяется в уравнениях вида
Aa
2 f ( x)
Обозначим
Ba
a
f ( x)
f ( x)
c 0
t
Уравнение примет вид
По свойствам показательной
функции t - положительно
At Bt C 0
2
Решая квадратное уравнение , находим значения
Для положительных значений решаем уравнение
a
f ( x)
t
t1 ,t2

9. Решить уравнение

2 22 x 4 2 x 16 0
Решение:
Обозначим
22 x 1 2 x 2 16
2 x t;
Уравнение примет вид:
2t 2 4t 16 0;
t 2t 8 0
2
2
x
t 4 2 4
t 2 ; x
2 2
2 4
x
Из уравнения 2 2
Уравнение
x
решений не имеет
получаем
x 1

10.

Пятый метод – введение новой переменной
в однородных показательных уравнениях
Данный метод применяется в уравнениях вида
Aa
2 f ( x)
Ba
f ( x)
b
f ( x)
Cb
2 f ( x)
Разделим обе части уравнения на
Уравнение примет вид
Обозначим
a f ( x)
( )
t
b
Уравнение примет вид
0
b
2 f ( x)
a 2 f ( x)
a f ( x)
A( )
B( )
C 0
b
b
По свойствам показательной
функции t
- положительно
At Bt C 0
2
Решаем квадратное уравнение и для положительных
a f ( x)
значений t решаем уравнение
( )
t
b

11. Решить уравнение:

3 4x 5 6x 2 9x 0
3 22 x 5 2 x 3x 2 32 x 0
Решение:
Разделим обе части уравнения на
Получим
Обозначим
2 2x
2
3 ( ) ( )x 2 0
3
3
2
( )x t
3
Уравнение примет вид
t 1
2
t
3
32 x
2 x
( 3 ) 1
( 2 ) x 2
3
3
3t 2 5t 2 0
x 0
x 1

12.

Шестой метод – использование свойства монотонности
функций
Теорема: Пусть функция f (x) возрастает на промежутке М,
а функция g (x ) убывает на этом же промежутке.
Тогда уравнение f ( x) g ( x) имеет на этом промежутке
не более одного корня.
Суть метода в следующем:
1.Определяем монотонность функций в левой и правой
частях уравнения
2.Угадываем корень уравнения
3.На основании теоремы делаем вывод
о единственности найденного корня

13. Решить уравнение

1 x
( ) x 1
2
Решение: Рассмотрим две функции.
1 x
y ( )
2
y x 1
x 0
функция, убывающая на всей числовой оси
функция возрастающая на всей числовой оси
является очевидным корнем уравнения.
По теореме этот корень – единственный

14.

Графическая иллюстрация решения уравнения
1 x
( ) x 1
2

15.

Седьмой метод –решение уравнений вида
При положительном значении
a
a f ( x) b g ( x)
прологарифмируем
обе части по любому основанию
Удобнее логарифмировать по основанию
log a (a
f ( x)
) log a (b
g ( x)
)
f ( x) log a a g ( x) log a b
f ( x) g ( x) log a b
Получили алгебраическое уравнение,
решаемое стандартными способами
a
(или
b)

16. Решить уравнение

2 3
x
x 2
Решение: Прологарифмируем обе части
уравнения по основанию 3
log 3 2 x log 3 3x 2
x log 3 2 ( x 2) log 3 3
x log 3 2 x 2
x(log 3 2 1) 2
2
x
log 3 2

17.

Презентацию подготовила
учитель математики БГОУ СОШ №531
Красногвардейского района
города Санкт-Петербурга
СМИРНОВА Галина Васильевна