Показательные уравнения и способы их решения

1.

Представьте в виде степени числа
0,01; 81; 125; 32; 144
Возведите в степень
23; 33; 70; 6-2; (√4)2; (0,1)-2
Является ли число 3 корнем уравнения
3х=9 ?
Является ли число 2 корнем уравнения
0,2х=0,04?

2.

Показательные
уравнения и способы
их решения.

3.

Определение:
Показательные уравнения – уравнения, в
которых переменная входит только в
показатели степеней при постоянных
основаниях.
Например,
4
5
х 1
4,
х 2 3 х
0,5
х 7
5
3 х 8
,
1 2 х
0.5
2,
16 17 4 16 0.
х
х

4. Основные методы решения показательных уравнений

1.Метод уравнивания показателей.
2.Метод разложения на множители.
3. Метод введения новой
переменной.
4. Функционально-графический ( он
основан на использовании
графических иллюстраций или
каких-либо свойств функции).

5. Метод уравнивания показателей

f ( x)
g ( x)
Показательное уравнение a
a
, где a 0, a 1
равносильно уравнению
1 2 x 1 1
( )
,
2
8
1 2 x 1
1 3
( )
( ) ,
2
2
2 x 1 3,
2 x 3 1,
2 x 2,
x 1.
Ответ:х=1.
f ( x) g ( x),

6. Используя формулу

Решим уравнение
16 х
3 6
( ) ( ) ,
9
4
3 2 х
3 6
( )
( ) ,
4
4
2 х 6,
х 6 : ( 2),
х 3 .
Ответ: х = -3
а n
b n
( ) ( )
b
a

7. Метод разложения на множители.

2∙3х+1-6∙3х-1-3х=9
3x 1 (2 32 6 31 ) 9,
x 1
3
9 9,
3x 1 1,
x 1
0
3
3 ,
x 1 0,
x 1.
ОТВЕТ: Х = 1.

8. Решите уравнения:

64 8 x 8 0,
2x
2x
8 (64 x) 0,
2x
т.к.8
2х
0, то
64 x 0,
x 64.
Ответ:х=-64.

9.

1 х
1 х 1
( ) ( )
30
5
5
Т.к. 0 а 1 , то вынесем за скобку степень с
наибольшим показателем
1
1
( ) х (1 ( ) 1 ) 30,
5
5
1 х
( ) (1 5) 30,
5
1
( ) х 6 30,
5
1
( ) х 5,
5
5 х 5,
х 1.
х 1.
Ответ:х=-1

10. Решите уравнение методом введения новой переменной

2 2 х 2 х 2 0;
Пусть 2 х t ,где t 0 ,тогда t 2 t 2 0
По теореме, обратной теореме Виета, получаем:
t t
t1 t 2 1,значит, t 2 не удовлетворяет условию t 0
1
1
Если
2
2
t 1,то
t2 1
2 x 1,
2 x 20 ,
x 0.
Ответ:х=0.

11.

Уравнения, решаемые с помощью
функционально- графического метода
Решить уравнение
7 6 х х 2;
Рассмотрим функции:
у 7 6 х
6 х
у
7
Функция
- показательная, монотонно
и у х 2
убывающая на R.
Функция у х 2 -линейная,
монотонно возрастающая на R. Следовательно,
графики данных функций могут пересекаться не более
1 раза. Значит, уравнение не может иметь более
одного корня, который может быть найдет подбором:
х=5.
Ответ: х=5.

12. Решите графически , в ответ запишите положительный корень:

х
2
х 2
Решите графически
, в ответ
запишите положительный корень:
Ответ:х=2

13. Решение показательных уравнений

Решить уравнение:
Ответ: х = 1.
20.12.2023

14. Решение показательных уравнений

Решить уравнение:
- убывает
- возрастает
х = -1 – единственный
корень
Ответ: х = -1.
20.12.2023